湖南師大附中20xx屆高三高考模擬卷二教師版數(shù)學(xué)理word版含解析(編輯修改稿)
2025-01-01 19:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1， 由題知存在唯一的整數(shù) x0， 使得 g(x0)≤ ax0－ 1. 因?yàn)?g′(x)＝ xex. 當(dāng) x0 時 ， g′ (x)＜ 0， 即 g(x)單調(diào)遞減 ， g(x)的值域?yàn)?(－ 1， 0)； 當(dāng) x＝ 0 時 ， [g(x)]min＝－ 1； 當(dāng) x0 時 ， g′ (x)＞ 0， 即 g(x)單調(diào)遞增 ， g(1)＝ 0 且 g(x)的值域?yàn)?(－ 1， ＋ ∞ )， 直線 y＝ ax－ 1 恒過點(diǎn) (0， － 1)． 作出圖象知當(dāng)且僅當(dāng) a∈ [0， 1)時滿足題設(shè)． 三、解答題：共 70 分 ， 解答應(yīng)寫出文字說明 ， 證明過程或演算步驟． (17)(本小題滿分 12 分 ) 已知 Sn是等差數(shù)列 {an}的前 n 項和 ， 且 S6＝ 3a7－ a2， S7＝ 2a11＋ 7. (Ⅰ )求數(shù)列 {an}的通項公式； (Ⅱ )若 b1＝ 3， 數(shù)列 {bn}的第 n 項 bn是數(shù)列 {an}的第 bn－ 1項 (n≥ 2)． (ⅰ )證明： {bn－ 1}是等比數(shù)列； (ⅱ )求數(shù)列 {anbn}的前 n 項和 Tn. 【解析】 (Ⅰ )設(shè)等差數(shù)列 { } an 的公差為 d， 由已知得 ?????6a1＋ 6 52 d＝ 3（ a1＋ 6d）－（ a1＋ d） ，7a1＋ 7 62 d＝ 2（ a1＋ 10d）＋ 7，即?????2a1－ d＝ 0，5a1＋ d＝ 7. 解得 ?????a1＝ 1，d＝ 2. 所以 an＝ 1＋ (n－ 1) 2＝ 2n－ 1.(4 分 ) (Ⅱ )(ⅰ ) 依題意 ， n≥ 2 時 ， bn＝ abn－ 1＝ 2bn－ 1－ 1， 所以 bn－ 1＝ 2(bn－ 1－ 1)， 又 b1－ 1＝ 2， 從而 { }bn－ 1 是以 2 為首項 ， 2 為公比的等比數(shù)列． (8分 ) (ⅱ )由 (ⅰ )知 bn－ 1＝ 22n－ 1＝ 2n， 即 bn＝ 2n＋ 1. 故 anbn＝ (2n－ 1)(2n＋ 1)＝ (2n－ 1)2n＋ (2n－ 1)， 所以 Tn＝ [ ]12＋ 322＋ ? ＋（ 2n－ 1） 2 n ＋ [ ]1＋ 3＋ ? ＋（ 2n－ 1） ， 即 Tn＝ [ ]12＋ 322＋ ? ＋（ 2n－ 1） 2 n ＋ n2 ① 2Tn＝ [ ]122＋ 323＋ ? ＋（ 2n－ 1） 2 n＋ 1 ＋ 2n2 ② ① － ② 得－ Tn＝ 2＋ 2(22＋ 23＋ ? ＋ 2n)－ (2n－ 1)2n＋ 1－ n2 ＝ (3－ 2n)2n＋ 1－ n2－ 6 所以 Tn＝ (2n－ 3)2n＋ 1＋ n2＋ 6.(12 分 ) (18)(本小題滿分 12 分 ) 某高校在自主招生期間 ， 把高三學(xué)生的平時成績按 “ 百分制 ” 進(jìn)行折算 ， 選出前 n 名學(xué)生 ， 并對這 n 名學(xué)生按成績分組 ， 第一組 [75， 80)， 第二組 [80， 85)， 第三組 [85， 90)， 第四組 [90， 95)， 第五組 [95， 100]， 如圖為頻率分布直方圖的一部分 ， 其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列．且第四組的學(xué)生人數(shù)為 60， 第五組對應(yīng)的小長方形的高為 . (Ⅰ )請在圖中補(bǔ)全頻率分布直方圖； (Ⅱ )若該大學(xué)決定在成績較高的第三、四、五組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取 6 名學(xué)生進(jìn)行面試 ， 并且在這 6 名學(xué)生中隨機(jī)抽取 3 名學(xué)生接受考官 B 的面試 ， 設(shè)第三組有 ξ 名學(xué)生被考官 B 面試 ， 求 ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解析】 (Ⅰ )因?yàn)榈谒慕M的學(xué)生人數(shù)為 60， 且第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的學(xué)生人數(shù)依次成等差數(shù)列 ， 所以總?cè)藬?shù)為 n＝ 5 60＝ 300， 由頻率分布直方圖可知 ， 第五組的學(xué)生人數(shù)為 5 300＝ 30， 又公差為 60－ 302 ＝ 15， 所以第一組的學(xué)生人數(shù)為 45， 第二組的學(xué)生人數(shù)為 75， 第三組的學(xué)生人數(shù)為 90. 故第一、二、三、四組的頻率分別為 45300＝ ， 75300＝ ， 90300＝ ， 60300＝ . 補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖： )(5 分 ) (Ⅱ )由題意得 ， 用分層抽樣的方法在第三、四、五組中應(yīng)分別抽取的學(xué)生人數(shù)為 90690＋ 60＋ 30＝ 3， 60690＋ 60＋ 30＝ 2， 30690＋ 60＋ 30＝ 1， 則 ξ的所有可能取值為 0， 1， 2，3.(6 分 ) P(ξ＝ 0)＝ C03C33C36 ＝120， P(ξ＝ 1)＝C13C23C36 ＝920， P(ξ＝ 2)＝ C23C13C36 ＝920， P(ξ＝ 3)＝C33C03C36 ＝120. 因此 ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P 120 920 920 120 (10 分 ) E(ξ)＝ 0 120＋ 1 920＋ 2 920＋ 3 120＝ 32.(12 分 ) (19)(本小題滿分 12 分 ) 如圖 ， 已知多面體 MNABCD 的一個面 ABCD 是邊長為 2 的菱形 ， 且 ∠ ABC＝ 60176。， BM⊥ 平面 ABCD， BM∥ DN， BM＝ 2DN， 點(diǎn) E 是線段 MN 上任意一點(diǎn)． (Ⅰ )證明：平面 EAC⊥ 平面 BMND； (Ⅱ )若 ∠ AEC 的最大值是 2π3 ， 求三棱錐 M－ NAC 的體積．
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