湖南師大附中20xx第五次月考數(shù)學(xué)試題(編輯修改稿)
2024-09-28 20:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )2 4 2k x k k Z? ? ???? ? ? ? ? ? ?（， 32 2 )44k x k Z????? ? ? ? ?（ ? ()fx的遞減區(qū)間為 3[ 2 2 ] )44k k k Z????? ? ?， （ （ 2） (2fA??） ， 2 s in ( ) 24A ?? ? ? ? ?. 242Ak???? ? ? ?kZ? 又因?yàn)?0,2A ????????， 4A ??? 在 ABC? 中， 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? 即 2 2 2) 2 ( 2 2 )b c bc bc? ? ? ? ?(2 2 22bc? ? ? （當(dāng)且僅當(dāng) bc? 時(shí)取等號(hào)） 1 1 2 2 1s in ( 2 2 )2 2 2 2 2S b c A? ? ? ? ? ? ? ? ? ABC? 的面積的最大值為 2122? 1（本小題滿分 12 分） 在三棱錐 S ABC? 中，△ ABC 是邊長(zhǎng)為 4 的正三角形，平面 SAC ⊥平面 ABC ， 23SA SC?? ， M 、 N 分別為 AB 、 SB 的中點(diǎn) . （Ⅰ）證明： AC SB? ； （Ⅱ）求二面角 N CM B??的 余弦 值； （Ⅲ）求點(diǎn) B 到 平面 CMN 的距離 . 解析 ： 解法一 ： （Ⅰ）取 AC 中點(diǎn) D ，連結(jié) SD 、 BD . ∵ SA SC AB BC AC SD? ? ? ?， ， ， AC BD? 又 BD SD D? ， ∴ AC? 平面 SDB ，又 SB? 平面SDB ， AC SB??. （Ⅱ）∵ AC? 平面 SDB ， AC? 平面 ABC ∴平面 SDB? 平面 ABC . 過 N 作 NE BD? 于 E ， 則 NE? 平面 ABC ， 過 E 作 EF CM? 于 F ，連結(jié) NF ，則 NF CM? . ∴ NFE? 為二面角 N CM B??的平面角 .∵平面SAC? 平面 ABC ， SD AC? ， ∴ SD? 平面 ABC .又∵ NE? 平面 ABC ， ∴ NE ∥ SD . ∵ SN NB? ，∴ 221 1 1 1 2 4 22 2 2N E S D S A A D? ? ? ? ? ?， 且 ED EB? .在正△ ABC 中，由平幾知識(shí)可求得 1142EF MB??， 在 Rt NEF? 中， tan NFE? ? ENEF=22， 1cos3NFE??. ∴二面角 N CM B??的余弦值為 13. （Ⅲ）在 Rt NEF? 中， NF? 22EF EN? ? 32， ∴ CMNS? 12? CM NF? 3 32?, CMBS? 12? BMCM? 23? 設(shè)點(diǎn) B 到平面 CMN 的距離為 h ，∵ B CMN N CMBVV??? ， NE ⊥平面 CMB ，∴ 13 CMNS? h =13 CMBS NE? ， ∴ h? CMBCMNS NES??? = 423 .即點(diǎn) B 到平面 CMN 的距離為 423 . 解法二：（Ⅰ）取 AC 中點(diǎn) O ，連結(jié) OS 、 OB .∵ SA SC? ， AB BC? ，∴ AC SO? 且 AC BO? . ∵平面 SAC ⊥平面 ABC ， 平面 SAC ∩平面 ABC AC? . ∴ SO⊥面 ABC ，∴ SO BO? . 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz? 則 (2,0,0)A ， (0,2 3,0)B ， (2,0,0)C ， (0,0,2 2)S ， (1, 3,0)M ， (0, 3, 2)N ∴ ( 4,0,0)AC ?? ， (0, 2 3 , 2 2 )SB ? ， ∵ 0AC SB??， ∴ AC SB? . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 (3,3 3, 0)CM ? ， ( 1, 0, 2 )MN ?? ，設(shè) ( , , )n x y z? 為平面 CMN 的一個(gè)法向量，則 3 3 020C M n x yMN n x z? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 取 1z? ，則 2x? ， 6y?? ， ∴ ( 2, 6,1)n ??， 又 (0, 0, 2 2 )OS ? 為平面 ABC 的一個(gè)法向量， 1co s ,3n O Sn O S n O S?? ? ?? ??.∴ 二面角 N CM B??的余弦值為 13. （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 ( 1, 3, 0)MB ?? ， ( 2, 6,1)n ??為平面 CMN 的一個(gè)法向量， ∴點(diǎn) B 到平面 CMN 的距離 423n MBdn???. 18． (本小題滿分 12 分 ) 某商場(chǎng) 準(zhǔn)備在春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該商場(chǎng)決定從 2 種服裝， 2 種家電，3 種日用品這 3 類商品中，任意選出 3 種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)。 （ 1） 試求選出的 3 種商品中至少有一種是日用商品的概率； （ 2） 商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格 提高 150 元，同時(shí)，若顧客購買該商品，則允許有 3 次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都獲得數(shù)額為 m 元的獎(jiǎng)金。假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是 12，請(qǐng)問：商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額 m 最高定為多少元，才能使促銷方案 對(duì)商場(chǎng)有利？ 解析：（ 1）從 2 種服裝， 2 種家電， 3 種日用品中，任選出 3 中商品一共有 37C 種選法，選出的 3 種商品中沒有日用品的選法有 34C 種，所以選出的 3 種商品中至少有一種日用商品的概率為 3437 311 35CP C? ? ?。 （ 2）顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)為 X，其所有可能值為 0，m,2m,3m. 當(dāng) X=0 時(shí)，表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中都沒有獲獎(jiǎng)，所以 0 0 33 1 1 1( 0 ) ( ) .( )2 2 8P X C? ? ?, 同理可得 1 1 23 1 1 3( ) ( )
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