湖南師大附中20xx屆高三高考模擬卷二教師版數(shù)學(xué)理word版含解析-閱讀頁
2024-12-16 19:09本頁面
【正文】 x224 ， 由 (Ⅰ )知 A(－ 2， 1)， 所以 k2－ k1＝x224－ 1x2＋ 2－x214－ 1x1＋ 2＝x2－ x14 . 又 k2－ k1＝ 2， 所以 x2－ x1＝ 8.(5 分 ) 設(shè)直線 BD 的方程是 y－ x214 ＝ k(x－ x1)， 與 x2＝ 4y 聯(lián)立得 x2－ 4kx＋ 4kx1－ x21＝ 0. 令 Δ＝ 16k2－ 4(4kx1－ x21)＝ 0， 解得 k＝ x12， 所以直線 BD 的方程是 y－ x214 ＝x12 (x－ x1)， 即 y＝ x12x－ x214 . 同理可得直線 CD 的方程為 y＝ x22x－ x224 .(7 分 ) 聯(lián)立直線 BD 和 CD 的方程 ， 解得 xD＝ x1＋ x22 ， yD＝ x1x24 .(8 分 ) 設(shè) BC 的中點為 P， 則 P 的坐標(biāo)為 ?? ??x1＋ x22 ， x21＋ x228 ， 所以 S1＝ S△ BDP＋ S△ CDP＝ 12| |DP | |x2－ x1 ＝ （ x2－ x1）316 ＝ 32.(9 分 ) 另一方面 ， S2＝ 12| |AM ， 即 k1k2＝－ 1， 又 k2－ k1＝ 2， 故 k1＝－ 1， k2＝ 1. 所以 S1S2的最小值為 16.(12 分 ) (21)(本小題滿分 12 分 ) 已知 f(x)＝ ex＋ ax2－ x－ 1， 其中 a 為實數(shù)． (Ⅰ )若 a≥ 0， 求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ )設(shè) g(x)＝ f(x)＋ 6ln(2a＋ 2)＋ 2a2－ 6a－ 72(a－ 1)， 若對任意 x≥ 0， g(x)≥ 0， 求實數(shù) a 的取值范圍． 【解析】 (Ⅰ )當(dāng) a≥ 0 時 ， f′ (x)＝ ex＋ 2ax－ 1 為單調(diào)增函數(shù) ， 且 f′(0)＝ 0， 故當(dāng) x∈ (0， ＋ ∞ )時 ， f′ (x)0， 即 f(x)在 (0， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增； 當(dāng) x∈ (－ ∞ ， 0)時 ， f′ (x)0， 即 f(x)在 (－ ∞ ， 0)上單調(diào)遞減． (4 分 ) (Ⅱ )因為 g′(x)＝ ex＋ 2ax－ 1， g″ (x)＝ ex＋ 2a. 若 a≥ － 12， 則對任意 x≥ 0， 有 g″(x)＝ ex＋ 2a≥ 1＋ 2a≥ 0， 即 g′(x)在 (0， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增 ， 則 g′(x)≥ g′(0)＝ 0， 所以有 g(x)在 (0， ＋ ∞ )上單調(diào)遞增 ，則 g(x)≥ g(0)＝ 6ln(2a＋ 2)＋ 2a2－ 6a－ 72； 令 h(a)＝ 6ln(2a＋ 2)＋ 2a2－ 6a－ 72?? ??a≥ － 12 ， 則 h′(a)＝4a?? ??a－ 12a＋ 1 ， 當(dāng) a∈ ?? ??－ 12， 0 時 ， h′ (a)0， 即 h(a)在 ?? ??－ 12， 0 上單調(diào)遞增； 當(dāng) a∈ ?? ??0， 12 時 ， h′ (a)0， 即 h(a)在 ?? ??0， 12 上單調(diào)遞減； 當(dāng) a∈ ?? ??12， ＋ ∞ 時 ， h′ (a)0， 即 h(a)在 ?? ??12， ＋ ∞ 上單調(diào)遞增； 又由于 h?? ??－ 12 ＝ 12＋ 3－ 72＝ 0， h?? ??12 ＝ 6(ln 3－ 1)0， 所以當(dāng) a∈ ?? ??－ 12， ＋ ∞ 時 ， g(x)≥ 0.(8 分 ) 若－ 1a－ 12， g″ (0)＝ 1＋ 2a0， 而 g″(x)單調(diào)遞增 ， 且一定存在 x00 使得 g″(x0)＝ 0， 此時 ， 對任意的 x∈ (0， x0)， g″ (x)0， 即 g′(x)在 (0， x0)上單調(diào)遞減 ， 則 g′(x)≤ g′(0)＝ 0， 所以有 g(x)在 (0， x0)上單調(diào)遞減 ， 于是當(dāng) x∈ ( )0， x0 時 ， g(x)g(0)＝ 6ln(2a＋ 2)＋ 2a2－ 6a－ 72； 令 m(a)＝ 6ln(2a＋ 2)＋ 2a2－ 6a－ 72?? ??－ 1a－ 12 ， 則 m′(a)＝4a?? ??a－ 12a＋ 1 0， 又由于 m?? ??－ 12 ＝ 12＋ 3－ 72＝ 0， 故當(dāng) a∈ ?? ??－ 1， － 12 時 ， m(a)0； 于是當(dāng) a∈ ?? ??－ 1， － 12 時 ， g(0)0， 與題設(shè)不符； 綜上 ， 所求實數(shù) a 的取值范圍是 ?? ??－ 12， ＋ ∞ .(12 分 ) 請考生在第 (22)、 (23)兩題中任選一題作答 ， 如果多做 ， 則按所做的第一題計分． (22)(本小題滿分 10 分 )選修 4－ 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 ， 曲線 C的參數(shù)方程為 ???x＝ 3＋ rcos φ ，y＝ 1＋ rsin φ (r0, φ為參數(shù) )， 以坐標(biāo)原點 O 為極點 ， x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 ， 直線 l的極坐標(biāo)方程為 ρsin?? ??θ－ π 3 ＝ 1，若直線 l與曲線 C 相切． (Ⅰ )求曲線 C 的極坐標(biāo)方程； (Ⅱ )在曲線 C 上取兩點 M， N 與原點 O 構(gòu)成 △ MON， 且滿足 ∠ MON＝ π 6 ， 求 △ MON 面積的最大值． 【解析】 (Ⅰ )由題意可知直線 l的直角坐標(biāo)方程為 y＝ 3x＋ 2, 曲線 C 是圓心為 ( )3， 1 ， 半徑為 r 的圓 ， 直線 l與曲線 C 相切 ， 可得： r＝ | |3ρ 2＝ 4sin?? ??θ＋ π 3
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