【文章內(nèi)容簡介】 K X r X r P V X r G k r r d s? ? ?? ? ? ? ?? （ 233） 式 (231)中， tan 代表切向分量， inc 代表入射場， i 代表源邊界區(qū)域， j代表場區(qū)域，0? 是真空中波阻抗， j? 是目標散射體場媒質(zhì)中波阻抗， iJ 和 iM 為電流和磁流源。式 (232)中， jk 是目標散射體場媒質(zhì)中波數(shù)， G 是格林函數(shù)，二維和三維散射問題分別為圖 25 任意目標散射問題模型 Ex LKinner Sinner LKouter Souter Hy x 10 ( 2 )0 ()4 jj H k r r???和 14 jjk r rerr? ????? 。式（ 233)中， （ Cauchy）主值積分， iS是源邊界。在散射模型中，問題被分為內(nèi)外區(qū)域。外算子和外部源邊界記為 outerLK 和 outerS ，內(nèi)算子和內(nèi)部源邊界記為 innerLK 和 innerS 。在內(nèi)部問題中，入射場為零。 引入連接邊界條件， inne r oute rJM JM?? （ 234） innerJM 和 outerJM 分別代表內(nèi)、外部的總電流或磁流。考慮到內(nèi)外邊界法線方向相反，因此有負號。 將式 (231)(233)代入式 (234)，采用迦略金方法得到目標散射體的三維PMCHWT 方程 , i n ci n n e r o u t e rLK LK a E H? ? ? ? ?（ ） ， （ 235) 此處 ? 是定義在目標散射體邊界的矢量基函數(shù)， a 為未 知電流和磁流展開系數(shù)。在二維問題中，展開函數(shù)一般選用脈沖基函數(shù)，測試函數(shù)選迪拉克δ函數(shù)。 矩量法的基本理論 矩量法（ Moment of Method,簡寫為 MOM）是求解微分方程或積分方程的一種重要的數(shù)值計算方法。以下介紹矩量法的基本原理，對于線性非齊次方程： ()L f g? （ 241） 式中 L為微分算子或積分算子， f 為 待求響應(yīng)函數(shù)， g 為激勵函數(shù)或已知函數(shù) ,矩量法就是將式（ 241）所描述的連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組，用數(shù)值法求出近似解。具體如下： （ 1）設(shè)空間為線性的，在算子 L 的定義域內(nèi)選擇一組函數(shù) 1 2 3{}nf f f f、 、 ,首先把f 在 L 定義域中展開為 : 1niiiff???? （ 242） 其中 i? 為待求系數(shù)， if 為在定義域 L 上展開函數(shù)或基函數(shù)。如果要求 f 的精確解，式 (242)級數(shù)通常是無窮項之和，且 if 形成一個基函數(shù)的完備解。對于近似解，式 (242)通常是有限項之和。將式 (242)代入式 (241)，再應(yīng)用算子 L 的線性便可以得到 11 11( ) ( ( )nni i i iiiL f L f L f g????? ? ???） （ 243） （ 2）在 L 域內(nèi)選擇一組加權(quán)函數(shù)（或檢驗函數(shù) ) 1 2 3 nb b b b、 、 ，并以每個mb ? ?1 2 3mn? 、 、 取式（ 243）的內(nèi)積，則有 1 , ( ) ,ni m i mi b L f b g?? ?? （ 244） 式中 1 2 3mn? 、 、 。此方程組可以寫成以下的矩陣 形式 ? ?? ? ? ?mn n ml a g? （ 245） 其中 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 ,2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 ,3 , 1 3 , 2 3 , 3 3 , 1 , 2 , 3 , nnmn nn n n n nb L f b L f b L f b L fb L f b L f b L f b L fl b L f b L f b L f b L fb L f b L f b L f b L f?????????， ? ? ? ?1,12,233, nmnnbgbgag bgbg???????? ???? ???? ?????? ???? ???? ???? ???????? 函數(shù) ()Wx與 ()fx的內(nèi)積定義為： ( ) , ( ) ( ) ( )W x f x W x f x d x? ? （ 3）現(xiàn)已把（ 241）的連續(xù)方程離散化為（ 245)的代數(shù)方程組了。如果矩陣 ? ?mnl是非奇異的（即 ? ? 0mnl ? ），則 ? ?mnl 存在逆矩陣 【 10】 ，記為 ? ?1mnl ? ， f 的解由式 (242)得出。則待求系數(shù) 1 2 3 n? ? ? ?、 、 可由下式解得 12 ? ? ? ? ? ?1213n m n mna l g??????????????????????? （ 246） 解出 1 2 3 n? ? ? ?、 、 后，可由式（ 242）解得所需的 f 。 用矩量法求解電磁場問題的關(guān)鍵是如何選擇好基函數(shù) ( 1 2 3 )ifi? 、 、 和檢驗函數(shù)1 2 3mbm?（ 、 、 ）。 if 必須是線性無關(guān)的，并且使得它們的某種疊加式（ 242）能很好地逼進 f 。 mb 也必須是線性無關(guān)的，并且也應(yīng)該使得內(nèi)積 ,mbg取決于 g 的獨立性?；瘮?shù)和檢驗函數(shù)的選擇一般應(yīng)考慮如下幾個因素 【 11,12】 ： （ 1） 計算矩陣元素的難易程度； （ 2） 矩陣 ? ?mnl 是否良態(tài)； （ 3） 收斂的快慢； （ 4） 解的精確度。 基函數(shù)可分為整域基與分域基兩大類 ，整域基是指基函數(shù)在整個算子的定義域內(nèi)都是確定的，通常采用的整域基函數(shù)有傅里葉級數(shù)、切比雪夫多項式、麥克勞林級數(shù)、勒讓德多項式等；分域基是指在算子定域的各個分段上有確定值，分域之外為零。通常采用的分域基函數(shù)有脈沖函數(shù)、三角函數(shù)等。 以上是矩量法的基本理論，在具體利用矩量法求解電磁散射問題時相當復(fù)雜的，要視具體情況而定。 漸近波形估計技術(shù)的基本理論 寬頻電磁散射的意義 隨著電磁場理論與應(yīng)用的發(fā)展，很多電磁應(yīng)用問題都需要獲得寬頻電磁散射特性，以獲得更多，更豐富的目標信息，如在雷達目標識別 中，需要目標的寬帶雷達散射截面（ RCS）以產(chǎn)生一維距離像和合成孔徑雷達（ SAR）像，在天線分析與設(shè)計中，需要在一個很寬的頻帶內(nèi)計算輸入阻抗。隨著電磁頻譜的擁擠以及高性能雷達的戰(zhàn)備要求，雷達工作頻率不斷的提高，工作波長的不斷縮小，被研究的雷達目標將變?yōu)殡姶蟪叽缒繕?。?yīng)用面積分方程（ SIE）可以精確地預(yù)估計目標的 RCS,但每次計算只能得到一個頻率點的 RCS。研究問題的不斷變化，要求研究雷達電磁散射的方法也應(yīng)該不斷的更新，以適應(yīng)新的問題。為了獲得目標的寬帶 RCS,應(yīng)用矩量法就必須在給定頻帶內(nèi)的每個頻率點上逐點計算 ，當目 13 標的 RCS 隨著頻率變化劇烈，必須以很小的頻率間隔計算才能得到精確的頻率響應(yīng)。這意味著在整個頻帶內(nèi)矩陣方程求解次數(shù)的增加，占用大量的 CPU 時間，這是非常耗時的，不具有可行性。 矩量法是通過求解電場積分方程 (EFIE)或磁場積分方程 (MFIE)，得到散射體目標表面電流密度分布，進而計算出遠區(qū)散射場和目標的雷達散射截面 (RCS)。但傳統(tǒng)的矩量法得到的是一個稠密矩陣，計算矩陣元素和矩陣求逆需要消耗大量的 CPU時間，是一項非常繁瑣與耗時的工作。更重要的是，如果我們要獲得寬頻帶的頻率響應(yīng)時，必須重復(fù)求解這個矩陣方 程。當目標的 RCS 隨頻率變化劇烈時，必須以很小的頻率間隔計算才能得到精確的頻率響應(yīng)。這些都意味著在整個頻帶內(nèi)矩陣方程求解次數(shù)的增加，從而導(dǎo)致計算時間的大幅度增加。 為了克服這個缺點，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究工作，其中以漸近波形估計（ AWE）技術(shù)與?；鶇?shù)估計（ MBPE）最為突出。在文獻 [13]中， 等人成功將漸近波形估計技術(shù)應(yīng)用于矩量法，求解了三維導(dǎo)體目標的寬帶雷達散射截面，隨后其又在文獻 [14]中應(yīng)用 MBPE 方法分析了天線的寬帶特性并將該方法與 AWE 進行了比較。文獻 [15]將 AWE與有限 差分法相結(jié)合求解電磁場問題，文獻 [1618]將 AWE 引入到有限元中分析了電磁散射與輻射問題，文獻 [19]提出一種基于小波變換的 AWE技術(shù)和 MBPE。由此可見， AWE 技術(shù)得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。 漸近波形估計技術(shù)基本原理 漸近波形估計 (AWE)技術(shù)是適用于解決頻域積分方程的一個數(shù)值計算方法。部分頻域電磁計算問題最本質(zhì)的工作是求解一個矩陣方程，求出的解只是一個單頻率點上的電磁信息。在 AWE 技術(shù)中，首先在感興趣的頻率點附近展開為泰勒（ Taylor）級數(shù) [20]，然后把Taylor 展開與矩陣 方程相聯(lián)系。泰勒展開系數(shù)通過求導(dǎo)在展開頻率點由矩陣方程元素獲得。一旦獲得了 Taylor 展開系數(shù)，就可以近似獲得感興趣頻段內(nèi)的頻率響應(yīng)。 應(yīng)用矩量法可將電磁場積分方程離散化成： ( ) ( ) ( )A k x k b k? （ 251） 式中 ()Ak 為對應(yīng)于波數(shù) k 的 NN? 維阻抗矩陣， ( ) ( )b k x k、 為特定頻率下的激勵向量和待求解未知向量。此時的 k 是對應(yīng)于任意頻率 f 的波數(shù)。如果想獲得一個寬頻帶的頻率響應(yīng)， AWE 技術(shù)首先確定在這個感興趣頻率段內(nèi)一個頻率點 0f ， 0f 對應(yīng)的波數(shù)為 0k ，把未知函數(shù) ()xk 展開為關(guān)于 0()xk 的泰勒級數(shù)，以此獲得頻率響應(yīng)的近似解，即 14 ( 2 )( 1 ) 200 0 0 0()00()( ) ( ) ( ) ( )2!() n nxkx k x k x k k k k kxk kkn? ? ? ? ?? ? ? ?（ ）（ ）！ （ 252） 式中 ()0()nxk為 ()xk 在 0k 處的 n階導(dǎo)數(shù)值。 將式（ 252）簡寫并將有限項截斷后可得： 00( ) ( ) ( )N nnnnx k m k k R k?? ? ?? （ 253） 其中 () 0() ( 0 1 2 )!nn xkm n Nn?? 、 、 （ 254） ()nRx為截斷誤差（也稱拉拉格朗日型余項）， ( 1 ) ( 1 )0()( ) ( )( 1 )n nn xR k k kn ?? ???? ！， ? 為 k 與 0k 之間某點。由式（ 254）、（ 251）可得： 10 0 0 0( ) ( ) ( )m x k A k b k??? （ 255）對式（ 251）兩邊對參量 k 求導(dǎo)可得： ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )x k A k b k A k x k? ?????? (256) 將 0kk? 代入式（ 255）并由（ 253）得： ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x k A k b k A k x k? ?????? （ 257） 1 ( 1 ) ( 1 )1 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )m A k b k A k x k? ?????? （ 258） 對式（ 25