【正文】 mnA k b k A k n i mnbkA k A k mninN???????????????????????????、 、 （ 2511） 求出系數(shù) nm 之后，任意頻率下的未知向量 ()xk 可以根據(jù)式（ 252）求解得到。實(shí)際計(jì)算時(shí)，可通過(guò)對(duì)矩陣 0()Ak 進(jìn)行 LU 分解來(lái)求它的逆。一般泰勒展開(kāi)可表示為： ( 1 )0 0 0() 0 0 1( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )! nn nf x f x f x x xf x x x R xn ?? ? ? ? ??? （ 2512） 記它的前 n項(xiàng)部分和為 ()npx，則有 ( 1 )0 0 0() 00( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )!nnnp x f x f x x xf x x xn? ? ?? ? ? （ 2513) ( 1 ) ( 1 )0()( ) ( )( 1 )n nn fR x x xn ?? ???? ！ （ ? 在 x 與0x之間 ） (2514) 以 ()xf x e? 為例，在 ? ?1,1? 上在 0 0x? 處四 次泰勒展開(kāi)可以得到 554( ) ( ) 120x eR x e p x x?? ? ? 4 ( ) 0 .0 2 2 6120x ee p x? ? ? 根據(jù)誤差理論分析，得出誤差分布情況見(jiàn)圖 26,從圖中可以清楚的看到它在 0x? 附近誤差較小，但在區(qū)間兩端誤差很大，誤差分布很不均勻，在精度要求較高 的時(shí)候不適合作為逼近的方法。)逼近將 ()xk 展開(kāi)成有理函數(shù) ,即 0000()()()LiiiMjjja k kxkc k k??????? （ 2515） 其中 L M N??， 0 1c? 。求解過(guò)程中只需要一次矩陣求逆運(yùn)算，便可以求得整個(gè)頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)，這正是 AWE 方法提高計(jì)算效率的原因所在。逼近也是存在誤差，下面我們簡(jiǎn)單分析一下 Pad233。根據(jù)一致逼近理論和 Pad233。 逼近 [L/M] , 通?？捎帽环Q為“ Pad233。 表 21 Pad233。逼近中，以 L 和 M 相等或接近相等者最精確。逼近；當(dāng) 21Nn??時(shí)，應(yīng)采用 1n n?????（ ）或者 ( 1)n n???????Pad233。由此可得，應(yīng)采用 Pad233。逼近。實(shí)驗(yàn)計(jì)算和理論分析是相輔相成的，一般來(lái)說(shuō)理論分析 僅限于一些經(jīng)典的，有解析解的情況。 自然界中并不存在雙負(fù)煤質(zhì)，以下利用等離子體電磁理論的 Drude 色散模型來(lái)模擬雙負(fù)媒質(zhì)。 如圖 31 所示， TMz 平面波垂直入射到雙負(fù)媒質(zhì)散射體上，利用等效原理將此散射問(wèn)題等效為兩個(gè)區(qū)域，記散射體外等效的區(qū)域?yàn)?0區(qū)，散射體內(nèi)等效的區(qū)域?yàn)?1區(qū)，那么雙負(fù)媒質(zhì)的 PMCHWT 方程如下： Sin L1 K1 Sout L0 K0 Hy x Ex 圖 31 雙負(fù)媒質(zhì)散射問(wèn)題模型 20 0 0 1 1 0 1 t a n0 0 1 1 0 1 t a n[ L ( J ) L ( J ) K ( M ) K ( M ) E ][ K ( J ) K ( J ) L ( M ) L ( M ) 0 ]i n c?? ? ? ? ?? ? ? ? （ 313） 其中 ( 0 1)ii i i?? ???、 ()incEr為入射場(chǎng)， J、 M為目標(biāo)表面感應(yīng)電、磁流， L K1為 1 區(qū)的積分算子， L0、 K0是 0 區(qū)的積分算子。 圖 31所示外部源邊界記為 Sout，內(nèi)部源邊界記為 Sin,在散射體內(nèi)部問(wèn)題中，入射場(chǎng)為零，利用邊界條件， in outJM JM?? （ 315） in outJM JM和 分別代表內(nèi)、外部的總電流或磁流，聯(lián)立式 314)(316)，采用迦略金方法得到雙負(fù)媒質(zhì) PMCHWT 方 程的矩量法解。在 2 維問(wèn)題中，展開(kāi)函數(shù)選用脈沖基函數(shù)，測(cè)試函數(shù)選狄拉克δ函數(shù)。 雙負(fù)媒質(zhì) AWE 技術(shù)的理論推導(dǎo) 應(yīng)用矩量法求解式 (316)每次只能獲得一個(gè)頻率點(diǎn)的解，為獲得其寬頻帶解 ， AWE 技術(shù)首先對(duì)感應(yīng)電流 ()Ik 實(shí)施 Taylor 展開(kāi)： 000( ) ( ) ( )iiiI k c k k k?? ??????? (321) 21 ? ? ( ) ( )1 000 0 01( ) ( )( ) ( ) ( )!!il ii i lm m nmn lV k Z kc k Z k I k? ??????????? (322) 其中 0()ick 為 Taylor 展開(kāi)系數(shù) , 0()imVk（ ） 、 ()0()lmnZk分別是激勵(lì)向量的第 i 階導(dǎo)數(shù)和阻抗矩陣的第 l 階導(dǎo)數(shù) ,在理論上，通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)近似可以準(zhǔn)確得到在 0k 附近的寬頻電流()Ik? 。 逼近拓展有效計(jì)算帶寬 0000()()()Lllnln Mmmnma k kIkb k k??????? （ 323） LM、 是 Pad233。聯(lián)立式 (321)與 (323)，整理對(duì)比 0kk?（ ） 同類項(xiàng)系數(shù)可得系數(shù) lmnnab、 ，從而可以計(jì)算出任意頻點(diǎn)的極化電流和 RCS 。 二維散射體阻抗矩陣及阻抗元素求導(dǎo) 從雙負(fù)（ DNG）媒質(zhì)的 PMCHWT 方程的推導(dǎo)過(guò)程可以清楚看出，雙負(fù)媒質(zhì)的阻抗元素在外等效時(shí)和普通介質(zhì)目標(biāo)沒(méi)有區(qū)別，因此對(duì)外等效阻抗矩陣 00AB、 不作討論，以下主要研究?jī)?nèi)等效時(shí)的阻抗矩陣 00CD、 。 由于 ??、 都是關(guān)于頻率的復(fù)雜函數(shù)，如果將雙負(fù)媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式代入到阻抗元素表 22 達(dá)式后，直接對(duì)阻抗元素進(jìn)行求導(dǎo)，求導(dǎo)工作將非常繁瑣，高階導(dǎo)數(shù)將 很難實(shí)現(xiàn)。得出阻抗元素及其各階導(dǎo)數(shù)的矩陣表達(dá)如下： 76543210010 1 20 1 2 30 1 2 3 40 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6 700 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 20 0 0 0 3 30 0 0 4 6 40 0 5 10 10 50 6 15 20 15 67 21 35 35 21 7gpgppgp p pgp p p pp p p p p gp p p p p p gp p p p p p pgp p p p p p p pg???? ???? ?????????? ?????????? ?????? ????? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?01234567, , ,C m nC m nC m nC m nmnC m nC m nC m nC m n???????????????????????????? (334) 76543210010 1 20 1 2 30 1 2 3 40 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6 700 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 20 0 0 0 3 30 0 0 4 6 40 0 5 10 10 50 6 15 20 15 67 21 35 35 21 7ghghhgh h hgh h h hh h h h h gh h h h h h gh h h h h h hgh h h h h h h hg???? ?????????????? ???????? ?????? ????? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?01234567, , ,C m nC m nC m nC m nmnC m nC m nC m nC m n???????????????????????????? (335) 其中 ? ?1 2 3 4 5 6 7i i i ih g C p i ?、 、 、 、 、 、 、 、 、分別是 0 0 0 0h g C p、 、 、 的 i 階導(dǎo)數(shù)。 23 計(jì)算實(shí)例與分析 在本文算例中，泰勒級(jí)數(shù)取 7階， Pad233。 算例 1:半 經(jīng) a=3mm 的 DNG 媒質(zhì)的無(wú)限長(zhǎng)圓柱 ， 在 TM 平面波垂直照射下， DNG 媒質(zhì)參數(shù)分 別 取 0emHz? ?? ? ， 926 10 /em rad s??? ? ?，計(jì)算頻帶 為 18 22GH z GH z， 中心頻率分別 20GHz ， 解析解 、 矩量法和 AWE 計(jì)算的 RCS 對(duì)比如圖 32所示 。 24 圖 32 雙負(fù)媒質(zhì)圓柱 RCS比較（ 0emHz? ?? ? ， 926 10 /em rad s??? ? ?） 25 圖 33雙負(fù)媒質(zhì)圓柱 RCS比較（ 10em Hz? ? ? ? ?， 926 10 /em rad s??? ? ?） 算例 3： 邊長(zhǎng) a=1mm 雙負(fù)媒質(zhì)二維方柱，在 TM 高斯脈沖平面波垂直照射 下，矩量法和 AWE技術(shù)計(jì)算的 RCS對(duì)比。 計(jì)算頻帶在 8 12GHz GHz， 中心頻率 為 10GHz。 26 圖 34 雙負(fù)媒質(zhì)方柱 RCS比較（ 0emHz? ?? ? ， 926 10 /em rad s??? ? ?） 27 圖 35 雙負(fù)媒質(zhì)方柱 RCS比較（ 10em Hz? ? ? ? ?， 926 10 /em rad s??? ? ?） 從圖 32— 圖 35 的計(jì)算結(jié)果可以清晰看出： AWE 技術(shù)能很好逼近雙負(fù)媒質(zhì)的 MOM 逐點(diǎn)計(jì)算解； 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)和 Pad233。逼近比泰勒展開(kāi)近似頻帶更寬，與理論分析相一致，達(dá)到了預(yù)期的效果。 表 31 MOM 和 AWE技術(shù)計(jì)算效率對(duì)照表 圖 32 圖 33 圖 34 圖 35 MOM 耗時(shí) /s AWE 耗時(shí) /s 提高倍數(shù) 28 4 總結(jié)與展望 寬頻帶的雷達(dá)電磁散射問(wèn)題是計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域一個(gè)極其重要而且快速發(fā)展 的課題。在以往，分析寬頻帶的電磁散射特性都是利用傳統(tǒng)的矩量法進(jìn)行逐個(gè)頻率點(diǎn)求解，在信息化的今天，特別是數(shù)據(jù)的快速傳輸和編碼，這種 傳統(tǒng)的做法是不可行的，極大的浪費(fèi) 時(shí)間和計(jì)算機(jī)資源。 作為一種新型的合成材料 — 雙負(fù)媒質(zhì)材料 ，分析其寬頻 電磁散射特性是及其重要 的。 2. 介紹了 PMCHWT 方程推導(dǎo)過(guò)程，作為最基本的理論 — 矩量法，本文 給予了重點(diǎn)的介紹， 詳細(xì)地闡述 了漸進(jìn)波形估計(jì)技術(shù)的基本原理； 3. 研究了雙負(fù)媒質(zhì)的一般特性和基本模型 的建立， 針對(duì)雙負(fù) 媒質(zhì)的求導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜，通過(guò)數(shù)學(xué)處理實(shí)現(xiàn)了雙負(fù)媒質(zhì)阻抗矩陣的求導(dǎo)， 并將 AWE 技術(shù)應(yīng)用于 雙負(fù)媒質(zhì)體散射的電磁散射特性分析 。總的來(lái)說(shuō)，今后尚需在以下幾方面開(kāi)展更進(jìn)一步的研究： 1. 有理函數(shù)逼近技術(shù)方面， 本文中所討論的僅是基于有理多項(xiàng)式分式函數(shù)思想的 Pad233。 3 可以進(jìn)一步研究雙負(fù)媒質(zhì)其他方面特性