【正文】 《美國物理評論》雜志上，即刻引起學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注，被推薦作為《自然》雜志焦點(diǎn)新聞之一。 2020 年 11月，東南大學(xué)毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室以崔鐵軍和程強(qiáng)為首的研究團(tuán)隊(duì)成功地制作出人造電磁學(xué)收集器，在微波環(huán)境中，它能夠像宇宙中的“黑洞”一樣去吸收環(huán)境中的微波。 Pendry 在 2000 年就曾建議制作“超級透鏡”（也稱理想棱鏡）以實(shí)現(xiàn)左手材料的應(yīng)用，這一建議在 2020 年被變成了現(xiàn)實(shí)，科學(xué)家利用左手材料已經(jīng)成功制造出平板微波透鏡。根據(jù)雙負(fù)媒質(zhì)材料不同凡響的特性，科學(xué)家已預(yù)言可以應(yīng)用于通訊系統(tǒng)以及資料儲存媒介的設(shè)計(jì)上，用來制造更小的移動電話或者是容量更大的儲存媒體；等效的負(fù)折射媒質(zhì)電路可以有效減少器件的尺寸，拓寬頻帶，改善器件的性能。各種雷達(dá)的具體用途和結(jié)構(gòu)不盡相同，但基本形式是一致的，包括 :發(fā)射機(jī)、發(fā)射天線、接收機(jī)、接收天線，處理部分以及顯示器，還有電源設(shè)備、數(shù)據(jù)錄取設(shè)備、抗干擾設(shè)備等輔助設(shè)備。星載和機(jī)載 合成孔徑雷達(dá) 已經(jīng)成為當(dāng)今 遙感 中十分重要的 傳感器 。為了定量描述散射體目標(biāo)的電磁散射的強(qiáng)弱，人們定義了雷達(dá)散射截面（ Radar Cross Section，簡寫為 RCS），用符號 ? 表示。盡可能降低散射的 RCS 是各種隱身技術(shù)的最終目的，使 5 目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的可能性盡可能低，以增強(qiáng)武器的突防能力、戰(zhàn)場生存能力和確保戰(zhàn)爭中先敵發(fā)現(xiàn)、先敵攻擊的能力；另一方面，為了應(yīng)對隱身武器的威懾力，各國都積極參與研究探測隱身目標(biāo)的能力，對隱身目標(biāo)的探測是新型雷達(dá)研制的重要指標(biāo)。由于雷達(dá)工作在微波頻段，常見的軍用目標(biāo)如導(dǎo)彈、飛機(jī)等除外形復(fù)雜之外，電大尺寸所導(dǎo)致的未知量數(shù)目的增多也加大了分析的復(fù)雜度。二，在上述條件下，實(shí)現(xiàn)較快速的分析與計(jì)算。由于折射率小于零，所以電磁波不能在這類材料中傳播。 單頻率的平面波電場和磁場方程為： [ ( )]0[ ( )]0j kr wtj kr wtEEHHee ???? （ 222） 把式（ 23）代入式（ 22），可以得出 00k E Hk H E???? ??? ???? ? ? （ 223）當(dāng)波數(shù) k 滿足色散方程： 22k ???? （ 224） 此時(shí)式（ 223）有非零解。此時(shí)，電場強(qiáng)度 E 、磁場強(qiáng)度 H 、電磁波的波數(shù) k 三者構(gòu)成左手螺旋關(guān)系，即左手關(guān)系，則稱雙負(fù)媒 質(zhì)材料為左手材料，如圖 23所示?，F(xiàn)研究雙負(fù)媒質(zhì)材料的折射率，分析如下： 媒質(zhì)一為右手媒質(zhì)（ 00????、 ），而媒質(zhì)二為雙負(fù)媒質(zhì)（ 00????、 ），由麥克斯韋方程可以得到電磁場在媒質(zhì)邊界的連續(xù)性邊界條件 [8]： 12121 1 2 21 1 2 2ttttnnnnEEHHEEHH???????? （ 227） 由上式可知電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度在 邊界面的切線方向連續(xù)，對于各向同性媒質(zhì)材料，電位移矢量 DE?? ，磁感應(yīng)強(qiáng)度 BH?? ，電位移矢量 D 和磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 在法線方向連續(xù)。此時(shí)折射光線 4與入射光線 1在法線同側(cè)，相當(dāng)于折射角為負(fù)值，我們把這種材料稱為負(fù)折射率材料。 9 考慮 ZTM 平面波入射到任意散射體的問題 ,式（ 231） （ 233）給出了一個(gè)簡化的StrattonChu 積分方程。在散射模型中，問題被分為內(nèi)外區(qū)域?？紤]到內(nèi)外邊界法線方向相反，因此有負(fù)號。以下介紹矩量法的基本原理，對于線性非齊次方程： ()L f g? （ 241） 式中 L為微分算子或積分算子， f 為 待求響應(yīng)函數(shù)， g 為激勵函數(shù)或已知函數(shù) ,矩量法就是將式（ 241）所描述的連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組，用數(shù)值法求出近似解。將式 (242)代入式 (241)，再應(yīng)用算子 L 的線性便可以得到 11 11( ) ( ( )nni i i iiiL f L f L f g????? ? ???） （ 243） （ 2）在 L 域內(nèi)選擇一組加權(quán)函數(shù)（或檢驗(yàn)函數(shù) ) 1 2 3 nb b b b、 、 ，并以每個(gè)mb ? ?1 2 3mn? 、 、 取式（ 243）的內(nèi)積，則有 1 , ( ) ,ni m i mi b L f b g?? ?? （ 244） 式中 1 2 3mn? 、 、 。 用矩量法求解電磁場問題的關(guān)鍵是如何選擇好基函數(shù) ( 1 2 3 )ifi? 、 、 和檢驗(yàn)函數(shù)1 2 3mbm?（ 、 、 ）。 基函數(shù)可分為整域基與分域基兩大類 ，整域基是指基函數(shù)在整個(gè)算子的定義域內(nèi)都是確定的，通常采用的整域基函數(shù)有傅里葉級數(shù)、切比雪夫多項(xiàng)式、麥克勞林級數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式等；分域基是指在算子定域的各個(gè)分段上有確定值，分域之外為零。隨著電磁頻譜的擁擠以及高性能雷達(dá)的戰(zhàn)備要求，雷達(dá)工作頻率不斷的提高，工作波長的不斷縮小，被研究的雷達(dá)目標(biāo)將變?yōu)殡姶蟪叽缒繕?biāo)。這意味著在整個(gè)頻帶內(nèi)矩陣方程求解次數(shù)的增加，占用大量的 CPU 時(shí)間，這是非常耗時(shí)的，不具有可行性。當(dāng)目標(biāo)的 RCS 隨頻率變化劇烈時(shí)，必須以很小的頻率間隔計(jì)算才能得到精確的頻率響應(yīng)。文獻(xiàn) [15]將 AWE與有限 差分法相結(jié)合求解電磁場問題，文獻(xiàn) [1618]將 AWE 引入到有限元中分析了電磁散射與輻射問題，文獻(xiàn) [19]提出一種基于小波變換的 AWE技術(shù)和 MBPE。在 AWE 技術(shù)中，首先在感興趣的頻率點(diǎn)附近展開為泰勒（ Taylor）級數(shù) [20]，然后把Taylor 展開與矩陣 方程相聯(lián)系。此時(shí)的 k 是對應(yīng)于任意頻率 f 的波數(shù)。所以由式（ 254）、（ 2510）并代入 0kk? 得： 15 ()01 ( ) ( )0 0 01()1 ( )0001()!( ) ( ) ( ) ( ) ! !() 1 ( ) ( )!! ( 1 2 3 )nnnniniin niniixkmnA k b k A k n i mnbkA k A k mninN???????????????????????????、 、 （ 2511） 求出系數(shù) nm 之后，任意頻率下的未知向量 ()xk 可以根據(jù)式（ 252）求解得到。一般泰勒展開可表示為： ( 1 )0 0 0() 0 0 1( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )! nn nf x f x f x x xf x x x R xn ?? ? ? ? ??? （ 2512） 記它的前 n項(xiàng)部分和為 ()npx，則有 ( 1 )0 0 0() 00( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )!nnnp x f x f x x xf x x xn? ? ?? ? ? （ 2513) ( 1 ) ( 1 )0()( ) ( )( 1 )n nn fR x x xn ?? ???? ！ （ ? 在 x 與0x之間 ） (2514) 以 ()xf x e? 為例，在 ? ?1,1? 上在 0 0x? 處四 次泰勒展開可以得到 554( ) ( ) 120x eR x e p x x?? ? ? 4 ( ) 0 .0 2 2 6120x ee p x? ? ? 根據(jù)誤差理論分析，得出誤差分布情況見圖 26,從圖中可以清楚的看到它在 0x? 附近誤差較小，但在區(qū)間兩端誤差很大，誤差分布很不均勻，在精度要求較高 的時(shí)候不適合作為逼近的方法。求解過程中只需要一次矩陣求逆運(yùn)算，便可以求得整個(gè)頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)，這正是 AWE 方法提高計(jì)算效率的原因所在。根據(jù)一致逼近理論和 Pad233。 表 21 Pad233。逼近；當(dāng) 21Nn??時(shí)，應(yīng)采用 1n n?????（ ）或者 ( 1)n n???????Pad233。逼近。 自然界中并不存在雙負(fù)煤質(zhì)，以下利用等離子體電磁理論的 Drude 色散模型來模擬雙負(fù)媒質(zhì)。 圖 31所示外部源邊界記為 Sout，內(nèi)部源邊界記為 Sin,在散射體內(nèi)部問題中，入射場為零，利用邊界條件， in outJM JM?? （ 315） in outJM JM和 分別代表內(nèi)、外部的總電流或磁流，聯(lián)立式 314)(316)，采用迦略金方法得到雙負(fù)媒質(zhì) PMCHWT 方 程的矩量法解。 雙負(fù)媒質(zhì) AWE 技術(shù)的理論推導(dǎo) 應(yīng)用矩量法求解式 (316)每次只能獲得一個(gè)頻率點(diǎn)的解，為獲得其寬頻帶解 ， AWE 技術(shù)首先對感應(yīng)電流 ()Ik 實(shí)施 Taylor 展開： 000( ) ( ) ( )iiiI k c k k k?? ??????? (321) 21 ? ? ( ) ( )1 000 0 01( ) ( )( ) ( ) ( )!!il ii i lm m nmn lV k Z kc k Z k I k? ??????????? (322) 其中 0()ick 為 Taylor 展開系數(shù) , 0()imVk（ ） 、 ()0()lmnZk分別是激勵向量的第 i 階導(dǎo)數(shù)和阻抗矩陣的第 l 階導(dǎo)數(shù) ,在理論上，通過泰勒級數(shù)近似可以準(zhǔn)確得到在 0k 附近的寬頻電流()Ik? 。聯(lián)立式 (321)與 (323)，整理對比 0kk?（ ） 同類項(xiàng)系數(shù)可得系數(shù) lmnnab、 ，從而可以計(jì)算出任意頻點(diǎn)的極化電流和 RCS 。 由于 ??、 都是關(guān)于頻率的復(fù)雜函數(shù)，如果將雙負(fù)媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式代入到阻抗元素表 22 達(dá)式后，直接對阻抗元素進(jìn)行求導(dǎo)，求導(dǎo)工作將非常繁瑣，高階導(dǎo)數(shù)將 很難實(shí)現(xiàn)。 23 計(jì)算實(shí)例與分析 在本文算例中，泰勒級數(shù)取 7階， Pad233。 24 圖 32 雙負(fù)媒質(zhì)圓柱 RCS比較（ 0emHz? ?? ? ， 926 10 /em rad s??? ? ?） 25 圖 33雙負(fù)媒質(zhì)圓柱 RCS比較（ 10em Hz? ? ? ? ?， 926 10 /em rad s??? ? ?） 算例 3： 邊長 a=1mm 雙負(fù)媒質(zhì)二維方柱，在 TM 高斯脈沖平面波垂直照射 下，矩量法和 AWE技術(shù)計(jì)算的 RCS對比。 26 圖 34 雙負(fù)媒質(zhì)方柱 RCS比較（ 0emHz? ?? ? ， 926 10 /em rad s??? ? ?） 27 圖 35 雙負(fù)媒質(zhì)方柱 RCS比較（ 10em Hz? ? ? ? ?， 926 10 /em rad s??? ? ?） 從圖 32— 圖 35 的計(jì)算結(jié)果可以清晰看出： AWE 技術(shù)能很好逼近雙負(fù)媒質(zhì)的 MOM 逐點(diǎn)計(jì)算解； 泰勒級數(shù)展開和 Pad233。 表 31 MOM 和 AWE技術(shù)計(jì)算效率對照表 圖 32 圖 33 圖 34 圖 35 MOM 耗時(shí) /s AWE 耗時(shí) /s 提高倍數(shù) 28 4 總結(jié)與展望 寬頻帶的雷達(dá)電磁散射問題是計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域一個(gè)極其重要而且快速發(fā)展 的課題。 作為一種新型的合成材料 — 雙負(fù)媒質(zhì)材料 ，分析其寬頻 電磁散射特性是及其重要 的。總的來說，今后尚需在以下幾方面開展更進(jìn)一步的研究： 1. 有理函數(shù)逼近技術(shù)方面， 本文中所討論的僅是基于有理多項(xiàng)式分式函數(shù)思想的 Pad