【文章內(nèi)容簡介】 是基于 MoM 的商業(yè)軟件 FEKO，因此在這里著重介紹一下矩量法原理。 矩量法的基本原理 設(shè)有算子方程 L（u）=f （233）式中，L 為線性算子，算子方程或積分方程；f 是已知的源函數(shù)，代表一種激勵(lì)；u 是待求的場函數(shù)，這里，假定它們都只是二維平面上（x，y）的函數(shù)。 在函數(shù)空間中取一組基函數(shù) 對(duì) u 進(jìn)行展開，即ng U（x，y）= （234）),(1yxanN??應(yīng)當(dāng)注意，這里每項(xiàng) 都滿足算子方程的邊界條件。式中， 為待),(n na定系數(shù)。N 為整數(shù)，其大小根據(jù)要求的計(jì)算精度確定。一般地說，N 可以無限增加，因{ }為完備系列，從而獲得精確解。但是對(duì)于實(shí)際問題，只要求有一定ng的準(zhǔn)確度，因此對(duì)于近似解僅使 N 為有限的。將展開式（234）式代入原方程式（233）式，并由算子 L 的線性特性，得 （235）fgann???)(1 其次，按照問題定義的合適的內(nèi)積 , 其中 ，為定mnwL),( Nw,.21義在 L(u)值域上的權(quán)函數(shù)，對(duì)上式按每個(gè) 內(nèi)積，得出 （m=1,2，…，N） （236）????? mnNnfwgLa,),(1寫成矩陣形式，得 （237）nfal式中 ... ),(),( .2221 11 ????? wgLwgLlmn， （2??????????nnaa21 ????????????Nmwfff,2138）如果矩陣 的逆矩陣存在，則 便可由下式給出：mnl na （239）mnfl1??將求得的展開系數(shù) 代入到（2）式，便得到原來算子方程（233）的解 （240）nTflgyxu1),(?解答可能是精確的或者近似的，有賴于選擇合適的 和 wm。 應(yīng)該能較ngn好地逼近 u。wm 也應(yīng)該是線性無關(guān)的，并依賴 f 的性質(zhì)。設(shè)有一平行板電容，板 A，B 之間相距為 1，板間分布電荷為，x 沿垂直平板方向。求極板間電位分布 。)41()2x???? )(x?由電磁場中的泊松方程和邊界條件可以建立該問題的數(shù)學(xué)模型 u（0）=u（1）=0 （241）2241xdu??注意，這里取 u(x)= .不難按金典方法求解出解答為)(? （242）42365)( xxux?現(xiàn)在說明采用矩量法的求解過程。選擇冪函數(shù)構(gòu)成的系列為基函數(shù)，令 （n=1,2，….，N） （243）1)(??nng式中，單獨(dú)項(xiàng) x 是為了保證 在 L 的定義域中，或者說是為了保證 滿足邊界g ng條件所需要的。在算子 L 的定義域內(nèi)選擇一組權(quán)函數(shù) ，它是在 L 值域的全域上mw,.21存在的一組權(quán)函數(shù)，這里取權(quán)函數(shù)等于基函數(shù)有 （244）1???mxw因此 由（238）式 ，有 1)]()[(),(10 121 ????????? nmdxxdxgLl nmmnmn )4)(2(38)()4(, 1102???wff通過矩陣求逆，由（239）式可得到展開系數(shù)為（1）若 N=1 時(shí)， ，由式（233）式，得1? （245） )(0)(2xxu???（2）若 N=2 時(shí)， ， ，于是132 （246）321)(xxx（3）若 N=3 時(shí)， ， ， ，于是21??03?? （247）4265)(xxux??顯然，當(dāng) N=3 時(shí)已得到了電位分布的精確解。當(dāng) N4 是，得到的仍然是這個(gè)答案。這就是因?yàn)榫_解是冪函數(shù)的線性組合，而我們選定呆的基函數(shù)就是冪函數(shù)。矩量法的概念，可以由函數(shù)空間的理論來說明。令 S(L(u))為 L(u)在函數(shù)空間中所覆蓋的線族，而 S(L( ))為 所覆蓋的線族， 為 所覆的ng)(nL)(nwS線族。如果我們對(duì)所求解的答案限制在 的線族上，就是使 S(L(u))與S(L( ))對(duì) 的投影相等ng)(nwS （248）?????mnwfgL,),(?因?yàn)檎`差是投影正交的，屬于二階的，不影響主要部分。我們可以形象地以矢量 F 代表空間的一點(diǎn)，以 f 代表限制在 xy 平面上的一個(gè)近似解。所謂最佳的近似，是要求“距離”Ff 為極小。因此取內(nèi)積有： xfF???yf???這個(gè)概念可以簡單地說明矩量法。 圖 1， 函數(shù)空間中的投影（加入所有的圖號(hào)） 基函數(shù)和權(quán)函數(shù)的選擇用矩量法去解決一些電磁場問題，其繁簡以及所得解精確的高低，在很大程度上取決于基函數(shù) 和權(quán)函數(shù) 的選擇，對(duì)于計(jì)算結(jié)果有很大關(guān)系。這些ngmw函數(shù)的選擇時(shí)常要由給定的問題而定，而缺乏一般性。取決于不同問題的特征，可以選取不同類型的基函數(shù)。總體來說，基函數(shù)可以分為全域基和分域基兩大類；權(quán)函數(shù)可以分為全域權(quán)，分域權(quán)和點(diǎn)匹配，它們之間的不同組合便形成不同的方法?；瘮?shù) 的選擇ng全域基函數(shù)：是指在算子 L 的定義域內(nèi)的全域上都有定義的一組基函數(shù)。他們應(yīng)該滿足邊界條件且彼此線性無關(guān)。全域基函數(shù)通常應(yīng)用的有：傅里葉級(jí)數(shù)： =cos na。 sin nan馬克勞林級(jí)數(shù)： =gx勒讓德多項(xiàng)式： 等。)(Pn收斂快是全域基的最大優(yōu)點(diǎn)。他的缺點(diǎn)是，未知函數(shù)的特性往往事先并不了解，或者很難用一個(gè)函數(shù)在全域描述它，因此無法選擇合適的全域基函數(shù)。有時(shí)，即使找到了合適的全域基函數(shù)，由于算子本身很復(fù)雜，再加上求積分變得更復(fù)雜，顯著增加了計(jì)算量，從而限制了全域基的應(yīng)用。（2）分域基函數(shù)：系指不是在算子 L 定義域的全域上存在的，而僅僅是存在于算子定義域的各個(gè)分域上的函數(shù)。選擇分域基作為未知函數(shù)的展開函數(shù)，在矩量法求解的離散化過程中是一種區(qū)域離散，即未知函數(shù)表示為各個(gè)分域上存在的函數(shù)之線性組合。這與有限元法的網(wǎng)格劃分，分區(qū)插值的方法有些類似。 分域基中選取的基函數(shù)通常有分段均勻（脈沖）函數(shù)和+分段線性（三角形）函數(shù)。一維的脈沖函數(shù)可以寫成 （249）????????)21(,0,)(hxxPnn式中 h 是在 0≤x≤1 中等間隔的長度。如下圖所示。每個(gè)函數(shù)僅有二個(gè)值，稱為二值函數(shù)，具有計(jì)算較為簡單的特點(diǎn)。但是注意到 的一階導(dǎo)數(shù)仍)(nxP?為廣義函數(shù)，在矩量法中中得出的系數(shù)矩陣為奇異陣，不可求逆，除非改變內(nèi)積的定義，使算子的定義域延拓，否則不能以 為基函數(shù)。)(nx )(nxP? T（ ）nx?1x4x3x2x100 一維空間的分域基函數(shù)（脈沖函數(shù)，三角形函數(shù)）三角形函數(shù)是廣泛應(yīng)用的分段基函數(shù)，一維的三角形函數(shù)寫成 （250）???????01)(hxxTnn ???????)(hxn由圖可見：T（ ） ，當(dāng) n 不同時(shí)是線性無關(guān)的，但并非正交的。在相鄰n分段點(diǎn)之間，實(shí)際上近似為線性變化。將待求解答表示為 （251）)(1nNnxTau???當(dāng) N 趨近無窮大時(shí)，可以任意逼近準(zhǔn)確解。十分明顯，分域基都具有“局部化”的特點(diǎn)，即其只在一個(gè)局部范圍內(nèi)不為零，其余全為零。這樣，離散的節(jié)點(diǎn)值的變化將只直接影響到與其相銜接的分域，從而保證了當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)遞增時(shí)插值過程的數(shù)值穩(wěn)定性。一般地說，分域基1x4x3 0 30x20x11000的數(shù)值穩(wěn)定性較高，而整域基的收斂性好。當(dāng)所選用的基函數(shù)和實(shí)際解答愈接近時(shí)，收斂愈快，所以基函數(shù)的選擇應(yīng)結(jié)合場的定性分析。權(quán)函數(shù) 的選擇mw不同類型權(quán)函數(shù)的選擇，將得到各種不同計(jì)算模式的矩量法。例如在上面的簡單例題中，選擇權(quán)函數(shù)為基函數(shù)，就構(gòu)成了伽遼金計(jì)算模式。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)然還可以有更多的其它權(quán)函數(shù)選擇的方法。但求（）式中的的積分都比較困難。對(duì)于每個(gè)函數(shù)要計(jì)算 ，而每???nmngLl),( ??nwgL),(個(gè) 不同，只能逐個(gè)考慮，工作量隨之增大了。w為了減小這一困難，可以應(yīng)用 離散化的概念你。具體地說，一種是點(diǎn)匹配法，即只要求近似解在一些離散點(diǎn)上滿足方程式。這相當(dāng)于采用狄拉克函數(shù)為權(quán)函數(shù)。)(x?在討論點(diǎn)匹配的問題。設(shè)方程和邊界條件仍為（241）式?；瘮?shù)仍然選 1???nnxg取權(quán)函數(shù) )(mmw?式中 稱為匹配點(diǎn)。為了求出點(diǎn)匹配解，我們將區(qū)間[0,1]分為 N+1 個(gè)分區(qū)x間對(duì)于等間隔劃分，則 （252） 1??Nm),.21(N?將權(quán)函數(shù) 和基函數(shù) 代入（238）式，即可求出元素為wng （253）1)(?nmnl （254）241??Nf如果 N=1 時(shí)， =2， =2，故 =1，于是lf1a （255）2)(xgx???如果 N=2 時(shí)，矩陣方程為 （256）????????????????92534221a求得 =1/8， =2/3，于是1a （257）32183)(xx???如果取 N=3 時(shí)，則又得到準(zhǔn)確解 （258）42365)(?而 N=4 時(shí)，繼續(xù)仍然得出準(zhǔn)確解。點(diǎn)匹配的解答比伽遼金法精確度要低一些，在低階解中對(duì)匹配點(diǎn)的位置很敏感。但是，我們看到這種方法有典型意義，對(duì)于高階解，均勻分割的匹配點(diǎn)，能得到較好的結(jié)果，而且矩量法隨著 N 的增大，能給出更為滿意的計(jì)算精度。綜上所述，在矩量法中一個(gè)關(guān)鍵的問題是基函數(shù)和權(quán)函數(shù)的選擇。為了使矩陣方程(239)的解更好地接近原問題(233)的解，{ }和{ )應(yīng)盡可能的ngmw完備。因此，{ }和{ }必須各自線性無關(guān)。ngmw理想的基函數(shù)應(yīng)具備以下特性：1．可以獲得高精度的解：2．可以容易地計(jì)算矩陣單元 ；mnl3．需要盡可能少的基函數(shù)與權(quán)函數(shù)數(shù)目以生成一個(gè)小的系數(shù)矩陣；4．矩陣 為良態(tài)矩陣。1?mnl然而，理想的基函數(shù)及權(quán)函數(shù)并不存在，且上述要求經(jīng)常發(fā)生矛盾。在電磁場數(shù)值分析中，經(jīng)常采用的基函數(shù)與權(quán)函數(shù)有兩類。如果 g 與 w 定義在相同的空間內(nèi)(F,G)，則我們可以取 g=w，這就是著名的 Galerkin 方法。其優(yōu)點(diǎn)是：N 的數(shù)目通常較小，但其最大缺點(diǎn)是計(jì)算系數(shù)矩陣 極為困難。另一類常用的1?mnl方法是點(diǎn)匹配法，可以容易地計(jì)算出系數(shù)矩陣 。但通常需要較多的基函數(shù)數(shù)目。 本章小結(jié)對(duì)于電磁場仿真，有效使用這些軟件必須建立在對(duì)電磁場理論的深刻理解之上，只有對(duì)電磁理論和使用工具深刻了解，才能正確的使用電磁仿真軟件；本章系統(tǒng)地總結(jié)了與后續(xù)章節(jié)相關(guān)的基本理論,首先詳細(xì)的介紹了麥克斯韋方程組的求解過程，包括分離變量法，Green 函數(shù)法及數(shù)值方法中的矩量法。著重介紹了數(shù)值計(jì)算中矩量法原理。 第 3 章 汽車電磁環(huán)境仿真技術(shù)的討論對(duì)于目前應(yīng)用較多的車載通信系統(tǒng)來說，它常常上裝多部無線通信設(shè)備，致使高密度寬頻譜的電磁信號(hào)其頻段相互重疊，構(gòu)成了極其復(fù)雜的電磁環(huán)境，使通信系統(tǒng)受到了嚴(yán)重的的考驗(yàn)。隨著計(jì)算電磁學(xué)發(fā)展，數(shù)值仿真分析在電磁環(huán)境仿真領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用空間。 計(jì)算電磁學(xué)的主要方法電磁分析與電磁計(jì)算是根據(jù) Maxwell 方程，利用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件確定所關(guān)心區(qū)域或物體內(nèi)的電磁場分布或電流分布，進(jìn)而給出所需要的物理參量。復(fù)雜環(huán)境中電磁場的分析與計(jì)算在很多電子與電氣工程領(lǐng)域具有重要的指導(dǎo)意義。自 1864 年麥克斯韋建立電磁場基本方程以來，電磁波理論與應(yīng)用的發(fā)展已經(jīng)過了 100 多年的歷史。對(duì)電磁分布邊值問題的求解從圖解、模擬、解析到目前所采用的數(shù)值計(jì)算方法，經(jīng)歷了四個(gè)過程。解析方法只能解決一些經(jīng)典問題，具體到復(fù)雜的實(shí)際環(huán)境，往往需要通過數(shù)值解得到具體環(huán)境中的電磁波特性。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，已提出多種實(shí)用有效的求解麥克斯韋方程的數(shù)值方法，主要有矩量法、有限元法、有限積分法、和時(shí)域有限差分法等。 矩量法1968 年 R．FHarrington 首先將矩量法引入到電磁領(lǐng)域之后，采用矩量法求解積分方程，進(jìn)而求出天線的電流分布已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。它能夠準(zhǔn)確地求解輻射體上的電流分布，方便地計(jì)算出電磁兼容問題中所關(guān)心的一系列物理量，如耦合度，遠(yuǎn)近場輻射場強(qiáng)，方向圖等。矩量法用于任意形狀和非均勻性問題，目前仍然是計(jì)算天線輻射及電磁散射等的主要方法。但矩量法的缺點(diǎn)是計(jì)算可能會(huì)導(dǎo)致非常大的病態(tài)矩陣，占用計(jì)算機(jī)的內(nèi)存較大，大矩陣求逆過程非常費(fèi)時(shí)，而且積分方程由特定電磁問題導(dǎo)出，