【文章內容簡介】 是基于 MoM 的商業(yè)軟件 FEKO，因此在這里著重介紹一下矩量法原理。 矩量法的基本原理 設有算子方程 L（u）=f （233）式中，L 為線性算子，算子方程或積分方程；f 是已知的源函數，代表一種激勵；u 是待求的場函數，這里，假定它們都只是二維平面上（x，y）的函數。 在函數空間中取一組基函數 對 u 進行展開，即ng U（x，y）= （234）),(1yxanN??應當注意，這里每項 都滿足算子方程的邊界條件。式中， 為待),(n na定系數。N 為整數，其大小根據要求的計算精度確定。一般地說，N 可以無限增加，因{ }為完備系列，從而獲得精確解。但是對于實際問題，只要求有一定ng的準確度，因此對于近似解僅使 N 為有限的。將展開式（234）式代入原方程式（233）式，并由算子 L 的線性特性，得 （235）fgann???)(1 其次，按照問題定義的合適的內積 , 其中 ，為定mnwL),( Nw,.21義在 L(u)值域上的權函數，對上式按每個 內積，得出 （m=1,2，…，N） （236）????? mnNnfwgLa,),(1寫成矩陣形式，得 （237）nfal式中 ... ),(),( .2221 11 ????? wgLwgLlmn， （2??????????nnaa21 ????????????Nmwfff,2138）如果矩陣 的逆矩陣存在，則 便可由下式給出：mnl na （239）mnfl1??將求得的展開系數 代入到（2）式，便得到原來算子方程（233）的解 （240）nTflgyxu1),(?解答可能是精確的或者近似的，有賴于選擇合適的 和 wm。 應該能較ngn好地逼近 u。wm 也應該是線性無關的，并依賴 f 的性質。設有一平行板電容，板 A，B 之間相距為 1，板間分布電荷為，x 沿垂直平板方向。求極板間電位分布 。)41()2x???? )(x?由電磁場中的泊松方程和邊界條件可以建立該問題的數學模型 u（0）=u（1）=0 （241）2241xdu??注意，這里取 u(x)= .不難按金典方法求解出解答為)(? （242）42365)( xxux?現在說明采用矩量法的求解過程。選擇冪函數構成的系列為基函數，令 （n=1,2，….，N） （243）1)(??nng式中，單獨項 x 是為了保證 在 L 的定義域中，或者說是為了保證 滿足邊界g ng條件所需要的。在算子 L 的定義域內選擇一組權函數 ，它是在 L 值域的全域上mw,.21存在的一組權函數，這里取權函數等于基函數有 （244）1???mxw因此 由（238）式 ，有 1)]()[(),(10 121 ????????? nmdxxdxgLl nmmnmn )4)(2(38)()4(, 1102???wff通過矩陣求逆，由（239）式可得到展開系數為（1）若 N=1 時， ，由式（233）式，得1? （245） )(0)(2xxu???（2）若 N=2 時， ， ，于是132 （246）321)(xxx（3）若 N=3 時， ， ， ，于是21??03?? （247）4265)(xxux??顯然，當 N=3 時已得到了電位分布的精確解。當 N4 是，得到的仍然是這個答案。這就是因為精確解是冪函數的線性組合，而我們選定呆的基函數就是冪函數。矩量法的概念，可以由函數空間的理論來說明。令 S(L(u))為 L(u)在函數空間中所覆蓋的線族，而 S(L( ))為 所覆蓋的線族， 為 所覆的ng)(nL)(nwS線族。如果我們對所求解的答案限制在 的線族上，就是使 S(L(u))與S(L( ))對 的投影相等ng)(nwS （248）?????mnwfgL,),(?因為誤差是投影正交的，屬于二階的，不影響主要部分。我們可以形象地以矢量 F 代表空間的一點，以 f 代表限制在 xy 平面上的一個近似解。所謂最佳的近似，是要求“距離”Ff 為極小。因此取內積有： xfF???yf???這個概念可以簡單地說明矩量法。 圖 1， 函數空間中的投影（加入所有的圖號） 基函數和權函數的選擇用矩量法去解決一些電磁場問題，其繁簡以及所得解精確的高低，在很大程度上取決于基函數 和權函數 的選擇，對于計算結果有很大關系。這些ngmw函數的選擇時常要由給定的問題而定，而缺乏一般性。取決于不同問題的特征，可以選取不同類型的基函數?？傮w來說，基函數可以分為全域基和分域基兩大類；權函數可以分為全域權，分域權和點匹配，它們之間的不同組合便形成不同的方法?；瘮?的選擇ng全域基函數：是指在算子 L 的定義域內的全域上都有定義的一組基函數。他們應該滿足邊界條件且彼此線性無關。全域基函數通常應用的有：傅里葉級數： =cos na。 sin nan馬克勞林級數： =gx勒讓德多項式： 等。)(Pn收斂快是全域基的最大優(yōu)點。他的缺點是，未知函數的特性往往事先并不了解，或者很難用一個函數在全域描述它，因此無法選擇合適的全域基函數。有時，即使找到了合適的全域基函數，由于算子本身很復雜，再加上求積分變得更復雜，顯著增加了計算量，從而限制了全域基的應用。（2）分域基函數：系指不是在算子 L 定義域的全域上存在的，而僅僅是存在于算子定義域的各個分域上的函數。選擇分域基作為未知函數的展開函數，在矩量法求解的離散化過程中是一種區(qū)域離散，即未知函數表示為各個分域上存在的函數之線性組合。這與有限元法的網格劃分，分區(qū)插值的方法有些類似。 分域基中選取的基函數通常有分段均勻（脈沖）函數和+分段線性（三角形）函數。一維的脈沖函數可以寫成 （249）????????)21(,0,)(hxxPnn式中 h 是在 0≤x≤1 中等間隔的長度。如下圖所示。每個函數僅有二個值，稱為二值函數，具有計算較為簡單的特點。但是注意到 的一階導數仍)(nxP?為廣義函數，在矩量法中中得出的系數矩陣為奇異陣，不可求逆，除非改變內積的定義，使算子的定義域延拓，否則不能以 為基函數。)(nx )(nxP? T（ ）nx?1x4x3x2x100 一維空間的分域基函數（脈沖函數，三角形函數）三角形函數是廣泛應用的分段基函數，一維的三角形函數寫成 （250）???????01)(hxxTnn ???????)(hxn由圖可見：T（ ） ，當 n 不同時是線性無關的，但并非正交的。在相鄰n分段點之間，實際上近似為線性變化。將待求解答表示為 （251）)(1nNnxTau???當 N 趨近無窮大時，可以任意逼近準確解。十分明顯，分域基都具有“局部化”的特點，即其只在一個局部范圍內不為零，其余全為零。這樣，離散的節(jié)點值的變化將只直接影響到與其相銜接的分域，從而保證了當節(jié)點數遞增時插值過程的數值穩(wěn)定性。一般地說，分域基1x4x3 0 30x20x11000的數值穩(wěn)定性較高，而整域基的收斂性好。當所選用的基函數和實際解答愈接近時，收斂愈快，所以基函數的選擇應結合場的定性分析。權函數 的選擇mw不同類型權函數的選擇，將得到各種不同計算模式的矩量法。例如在上面的簡單例題中，選擇權函數為基函數，就構成了伽遼金計算模式。在實際應用中，當然還可以有更多的其它權函數選擇的方法。但求（）式中的的積分都比較困難。對于每個函數要計算 ，而每???nmngLl),( ??nwgL),(個 不同，只能逐個考慮，工作量隨之增大了。w為了減小這一困難，可以應用 離散化的概念你。具體地說，一種是點匹配法，即只要求近似解在一些離散點上滿足方程式。這相當于采用狄拉克函數為權函數。)(x?在討論點匹配的問題。設方程和邊界條件仍為（241）式?；瘮等匀贿x 1???nnxg取權函數 )(mmw?式中 稱為匹配點。為了求出點匹配解，我們將區(qū)間[0,1]分為 N+1 個分區(qū)x間對于等間隔劃分，則 （252） 1??Nm),.21(N?將權函數 和基函數 代入（238）式，即可求出元素為wng （253）1)(?nmnl （254）241??Nf如果 N=1 時， =2， =2，故 =1，于是lf1a （255）2)(xgx???如果 N=2 時，矩陣方程為 （256）????????????????92534221a求得 =1/8， =2/3，于是1a （257）32183)(xx???如果取 N=3 時，則又得到準確解 （258）42365)(?而 N=4 時，繼續(xù)仍然得出準確解。點匹配的解答比伽遼金法精確度要低一些，在低階解中對匹配點的位置很敏感。但是，我們看到這種方法有典型意義，對于高階解，均勻分割的匹配點，能得到較好的結果，而且矩量法隨著 N 的增大，能給出更為滿意的計算精度。綜上所述，在矩量法中一個關鍵的問題是基函數和權函數的選擇。為了使矩陣方程(239)的解更好地接近原問題(233)的解，{ }和{ )應盡可能的ngmw完備。因此，{ }和{ }必須各自線性無關。ngmw理想的基函數應具備以下特性：1．可以獲得高精度的解：2．可以容易地計算矩陣單元 ；mnl3．需要盡可能少的基函數與權函數數目以生成一個小的系數矩陣；4．矩陣 為良態(tài)矩陣。1?mnl然而，理想的基函數及權函數并不存在，且上述要求經常發(fā)生矛盾。在電磁場數值分析中，經常采用的基函數與權函數有兩類。如果 g 與 w 定義在相同的空間內(F,G)，則我們可以取 g=w，這就是著名的 Galerkin 方法。其優(yōu)點是：N 的數目通常較小，但其最大缺點是計算系數矩陣 極為困難。另一類常用的1?mnl方法是點匹配法，可以容易地計算出系數矩陣 。但通常需要較多的基函數數目。 本章小結對于電磁場仿真，有效使用這些軟件必須建立在對電磁場理論的深刻理解之上，只有對電磁理論和使用工具深刻了解，才能正確的使用電磁仿真軟件；本章系統(tǒng)地總結了與后續(xù)章節(jié)相關的基本理論,首先詳細的介紹了麥克斯韋方程組的求解過程，包括分離變量法，Green 函數法及數值方法中的矩量法。著重介紹了數值計算中矩量法原理。 第 3 章 汽車電磁環(huán)境仿真技術的討論對于目前應用較多的車載通信系統(tǒng)來說，它常常上裝多部無線通信設備，致使高密度寬頻譜的電磁信號其頻段相互重疊，構成了極其復雜的電磁環(huán)境，使通信系統(tǒng)受到了嚴重的的考驗。隨著計算電磁學發(fā)展，數值仿真分析在電磁環(huán)境仿真領域有廣闊的應用空間。 計算電磁學的主要方法電磁分析與電磁計算是根據 Maxwell 方程，利用適當的邊界條件確定所關心區(qū)域或物體內的電磁場分布或電流分布，進而給出所需要的物理參量。復雜環(huán)境中電磁場的分析與計算在很多電子與電氣工程領域具有重要的指導意義。自 1864 年麥克斯韋建立電磁場基本方程以來，電磁波理論與應用的發(fā)展已經過了 100 多年的歷史。對電磁分布邊值問題的求解從圖解、模擬、解析到目前所采用的數值計算方法，經歷了四個過程。解析方法只能解決一些經典問題，具體到復雜的實際環(huán)境，往往需要通過數值解得到具體環(huán)境中的電磁波特性。隨著計算機技術的發(fā)展，已提出多種實用有效的求解麥克斯韋方程的數值方法，主要有矩量法、有限元法、有限積分法、和時域有限差分法等。 矩量法1968 年 R．FHarrington 首先將矩量法引入到電磁領域之后，采用矩量法求解積分方程，進而求出天線的電流分布已經得到了廣泛的應用。它能夠準確地求解輻射體上的電流分布，方便地計算出電磁兼容問題中所關心的一系列物理量，如耦合度，遠近場輻射場強，方向圖等。矩量法用于任意形狀和非均勻性問題，目前仍然是計算天線輻射及電磁散射等的主要方法。但矩量法的缺點是計算可能會導致非常大的病態(tài)矩陣，占用計算機的內存較大，大矩陣求逆過程非常費時，而且積分方程由特定電磁問題導出，