人教a版高中數(shù)學(xué)必修二132球的體積和表面積(編輯修改稿)
2024-12-25 10:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 題的關(guān)鍵 . 變式訓(xùn)練 1.（ 2020 全國高考卷Ⅰ，理 7） 已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為 4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ ） 分析： 由 V=Sh，得 S=4，得正四棱柱底面邊長為 ，該正四棱柱的對角線即為球的直徑，所以，球的半徑為 R= 642221 222 ??? ，所以球的表面積為S=4π R2=24π . 答案 ： C 2.（ 2020湖南數(shù)學(xué)競賽， 13） 一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為 a，則這個(gè)球的體積為 _____________. 分析： 把正四面體補(bǔ)成正方體的內(nèi)接正四面體，此時(shí)正方體的棱長為 a22 ，于是球的半徑為 a42 ， V= 3242 a? . 答案： 3242 a? 3.（ 2020 天津高考，理 12） 一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上 的三條棱的長分別為 1,2,3，則此球的表面積為 ___________. 分析： 長方體的對角線為 14321 222 ??? ，則球的半徑為214,則球的表面積為4π ( 214 )2=14π . 答案： 14π 例 2 圖 5是一個(gè)底面直徑為 20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為 6 cm，高為 20 cm的一個(gè)圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？ 圖 5 活動(dòng)： 學(xué)生思考杯里的水 將下降的原因，通過交流和討論得出解題思路 .因?yàn)椴ＡП菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為 20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度 . 解： 因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為 2)26(31 ??? 20=60π（ cm3）， 設(shè)水面下降的高度為 x，則小圓柱的體積為 x2)220(? =100π x（ cm3） . 所以有 60π =100π x，解此方程得 x=（ cm） . 答：杯里的水下降了 cm. 點(diǎn)評： 本題主要考查幾何體的體積問題，以及應(yīng)用體積解決實(shí)際問題的能力 .明確幾何體的形狀及相應(yīng)的體積公式是解決這類問題的關(guān)鍵 .解實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型 .本題的數(shù)學(xué)模型是下降的水的體積等于取出的圓錐形鉛錘的體積 .明確其體積公式中的相關(guān)量是列出方程的關(guān)鍵 . 變式訓(xùn)練 ，外直徑為 12 cm，壁厚 cm，問它在水中能浮起來嗎？（鋼的密度為 g/cm3）和它一樣尺寸的空心鉛球呢？（鉛的密度為 g/cm3） 分析： 本題的關(guān)鍵在于如何判斷球浮起 和沉沒，因此很自然要先算出空心鋼球的體積，而空心鋼球的體積相當(dāng)于是里、外球的體積之差，根據(jù)球的體積公式很容易得到空心鋼球的體積，從而算出空心鋼球的質(zhì)量，然后把它與水的質(zhì)量相比較即可得出結(jié)論，同理可以判斷鉛球會(huì)沉沒 . 解： 空心鋼球的體積為 V 鋼 = 33 ??? ???? ≈(cm3)， ∴鋼的質(zhì)量為 m 鋼 ==(g). ∵水的體積為 V 水 = 34? 6 3=(cm3)， ∴水的質(zhì)量為 m 水 =1=(g)＞ m 鋼
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