北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)74二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題(編輯修改稿)
2024-12-24 18:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 利用基本不等式證明不等式 [ 規(guī)范解答 ] ∵ a 0 ， b 0 ， c 0 ， ∴bca＋cab≥ 2bcacab＝ 2 c ； bca＋abc≥ 2bcaabc＝ 2 b ； cab＋abc≥ 2cababc＝ 2 a . 以上三式相加得： 2(bca＋cab＋abc) ≥ 2( a ＋ b ＋ c ) ． 即bca＋cab＋abc≥ a ＋ b ＋ c . [ 方法總結(jié) ] 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題． 已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1. 求證：1a＋1b＋1c≥ 9. [ 證明 ] ∵ a 0 ， b 0 ， c 0 ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， ∴1a＋1b＋1c＝a ＋ b ＋ ca＋a ＋ b ＋ cb＋a ＋ b ＋ cc＝ 3 ＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc ＝ 3 ＋ (ba＋ab) ＋ (ca＋ac) ＋ (cb＋bc) ≥ 3 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 9. 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c ＝13時(shí)，取等號(hào) . 利用基本不等式求最值 ( 1) 已知 x 0 ， y 0 ，且 2 x ＋ y ＝ 1 ，則1x＋1y的最小值為 ________ ； ( 2) 當(dāng) x 0 時(shí)，則 f ( x ) ＝2 xx2＋ 1的最大值為 ________ ． [ 思路分析 ] 第 ( 1) 問把1x＋1y中的 “ 1” 代換為 “ 2 x ＋ y ” ，展開后利用基本不等式； 第 ( 2) 問把函數(shù)式中分子分母同除 “ x ” ，再利用基本不等式． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) ∵ x 0 ， y 0 ，且 2 x ＋ y ＝ 1 ， ∴1x＋1y＝2 x ＋ yx＋2 x ＋ yy ＝ 3 ＋yx＋2 xy≥ 3 ＋ 2 2 . 當(dāng)且僅當(dāng)????? yx＝2 xy2 x ＋ y ＝ 1，即????? x ＝ 1 －22y ＝ 2 － 1時(shí)，取等號(hào)． ( 2) ∵ x 0 ， ∴ f ( x ) ＝2 xx2＋ 1＝2x ＋1x≤22＝ 1 ， 當(dāng)且僅當(dāng) x ＝1x，即 x ＝ 1 時(shí)取等號(hào)． [ 答案 ] 3 ＋ 2 2 ( 2) 1 [ 方法總結(jié) ] 利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注 意 “ 一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小 ” ． 常用的方法為：拆、湊、代換、平方． ( 1) 已知 x 1 ，則 f ( x ) ＝ x ＋1x － 1的最小值為 ________ ． ( 2) 已知 0 x 25，則 y ＝ 2 x － 5 x2的最大值為 ________ ． ( 3) 若 x ， y ∈ (0 ，＋ ∞ ) 且 2 x ＋ 8 y － xy ＝ 0
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1