9連續(xù)系統(tǒng)的振動之集中質(zhì)量法、假設(shè)模態(tài)法、模態(tài)綜合法(編輯修改稿)
2025-03-22 16:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 l dxxEIV 0 2m ax )(21 ? ),2,1,(,)()(21 0 njidxxxEIk l jiij ??????? ? ??nnij Rk ??? ][~K aKa ~21 T?y xl0 cx 2kb1kaxm若梁上存在彈性支撐 222102m ax)]([)]([ )]([21cblxkxkdxxEIV????????? ?aKKKa )(21 210 ??? TKa ~21 T? )()()()()()(~~ 210 cjcibjbiljijiij xxkxxkdxxxEIkk ?????? ?????????? ?連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 假設(shè)模態(tài)法 aMaaKa ~~)(TTR ??2~?? ),(),()(21*21m a xnnaaaTaaaVR???? ),2,1(,0)( niaRi????? ?得特征值問題： 0aK ?? )~~~( 2?可求得 n個特征值 和 n特征向量 2~i? )(ia? 里茲法改善了瑞利法對基頻的估計，還可計算高階固有頻率 ? n 愈大，計算精度愈高 ?計算精度也與基函數(shù) 的選擇有關(guān)，通常采用冪函數(shù)、三角函數(shù)、貝塞爾函數(shù)或條件相近的有精確解的梁的模態(tài)函數(shù)作為基函數(shù) ),2,1( nii ??? Tiniii aaa ],[ )()(2)(1)( ??a???njjiji xax1)()( )( )( ??第 i 階模態(tài)函數(shù)： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 假設(shè)模態(tài)法 例：等截面簡支梁 梁中部有一集中質(zhì)量 Ma，大小等于梁的質(zhì)量 采用里茲法，求：梁的模態(tài)函數(shù)近似解 y x2/l2/l0Ma 選取無集中質(zhì)量時的梁的模態(tài)函數(shù)作為里茲基函數(shù)： ),2,1(,si n)( ??? il xixi ??解： 基函數(shù)滿足自然邊界條件（兩端撓度和彎矩為零） )0(0)(,0)( lorxxx ii ????? ??連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 假設(shè)模態(tài)法 離散化強迫振動方程： )( tQKqqM ???? ????????????101sin)( 0 tPt ?Q?????????????3020102032Sl?M??????????81001600134lEI?K????????????02)1(Sl?a???????????0102)2(Sl?a???????????02)3(Sl?a41 SlEI?? ? 42 SlEI?? ? 43 SlEI?? ?模態(tài)試函數(shù)： ??????3131si n)( )(iiiii lxiatax ???若對第三階固有頻率的精度要求不高，取 n＝ 3 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 假設(shè)模態(tài)法 ????????????02)1(Sl?a???????????01022(Sl?a???????????02)3(Sl?a模態(tài)試函數(shù)： ??????3131si n)( )(iiiii lxiatax ???梁的模態(tài)函數(shù)近似解： )(2 )()1( l xl xSlx ???? ??lxSlx???2sin2 )()2( ? )(2 )()3(lxlxSlx???? ??連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 假設(shè)模態(tài)法 例：楔形懸臂梁 單位厚度 截面變化 lxAxA0)( ?bA 20 ?為根部截面積 用里茲法求基頻 l xby0解： 截面對中性軸的慣性矩： 3303)2(121)(lxIlbxxI ?? 30 )2(121 bI ?根部截面對中性軸的慣性矩 取基函數(shù)： ),2,1(,)()1()( 12 nilxlxx ii ???? ??可以驗證，基函數(shù)滿足所有位移邊界條件和力邊界條件 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 假設(shè)模態(tài)法 單位厚度 截面變化 lxAxA0)( ?bA 20 ?為根部截面積 l xby截面對中性軸的慣性矩： 3303)2(121)(lxIlbxxI ?? 30 )2(121 bI ?根部截面對中性軸的慣性矩 基函數(shù)： ),2,1(,)()1()( 12 nilxlxx ii ???? ?? ? ????? ljiij dxxxEIk 0 )()(21 ??? ljiij dxxxSm 0 )()( ???取 n＝ 2 ???????????2801105110513010 lA?M???????????52525210 lA?K質(zhì)量陣： 剛度陣： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 假設(shè)模態(tài)法 ???????????2801105110513010 lA?M???????????52525210 lA?K由： 02 ?? MK ? 4001 lAEI?? ?若取 n＝ 1： 4001 lAEI?? ?精確解 ： 4001 lAEI?? ?連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 假設(shè)模態(tài)法 教學(xué)內(nèi)容 ? 一維波動方程 ? 梁的彎曲振動 ? 集中質(zhì)量法 ? 假設(shè)模態(tài)法 ? 模態(tài)綜合法 ? 有限元法 ? 模態(tài)綜合法 ?對于由多個構(gòu)件組成的復(fù)雜系統(tǒng)，很難找到適合于整個系統(tǒng)的假設(shè)模態(tài) ?子結(jié)構(gòu)的劃分應(yīng)使得子結(jié)構(gòu)易于分析，并且對接面盡量縮小，以減少子結(jié)構(gòu)之間的耦合 ?實際工程問題中低階模態(tài)占主要成分，因此對每個子結(jié)構(gòu)只需要計算少量低階模態(tài)，然后加以綜合 對策： 將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解成若干個較簡單的子結(jié)構(gòu)，對每個子結(jié)構(gòu)選定假設(shè)模態(tài)，然后根據(jù)對接面上的位移和力的協(xié)調(diào)條件，將各個子結(jié)構(gòu)的假設(shè)模態(tài)綜合成總體系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù) 模態(tài)綜合法 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 模態(tài)綜合法 等截面直角梁的彎曲振動問題 1o 2o1x2x1y2y3o兩根梁，長度 l，截面抗彎剛度 EI 梁材料密度 ，截面積 A ?3o處固接 將直角梁分為兩個子結(jié)構(gòu) 坐標： 111yxo ? 222 yxo ?子結(jié)構(gòu)模態(tài)的選?。?固定界面法 ， 自由界面法 固定界面法：將兩子結(jié)構(gòu)的界面 o3 加以固定，使兩子結(jié)構(gòu)成為兩端固定的直梁 滿足幾何邊界條件的模態(tài)函數(shù)： 221 1)( ?????? ??????????????lxlxx iii?不計梁的縱向振動，界面無橫向位移，但界面可自由轉(zhuǎn)動 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 模態(tài)綜合法 1o 2o1x2x1y2y3o當界面 o3 產(chǎn)生單位角位移時，各子結(jié)構(gòu)滿足幾何邊界條件的模態(tài)稱為 約束模態(tài) ，取為： 滿足幾何邊界條件的模態(tài)函數(shù)： 221 1)( ?????? ??????????????lxlxx iii? ?????? ??????????????lxlxx iii 1)(22?梁的橫向位移的模態(tài)表達式： )()()()(),( 21211111 txtxtxy ???? ?? )()()()(),( 42232122 txtxtx ???? ??界面應(yīng)滿足： 2211 ),(),(xtlyxtly?????22222112 ),(),(xtlyEIxtlyEI?????位移協(xié)調(diào)條件 彎矩協(xié)調(diào)條件 代入，得約束方程： 4231 ???? ＝，?連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 模態(tài)綜合法 1o 2o1x2x1y2y3o )()()()(),( 21211111 txtxtxy ???? ?? )()()()(),( 42232122 txtxtx ???? ??記： 2211 ),(),(xtlyxtly?????22222112 ),(),(xtlyEIxtlyEI?????4231 ???? ＝，?令系統(tǒng)廣義坐標： 2211?? ＝， qq ? Tqq )( 21?q T)( 4321 ?????ζ得： 系統(tǒng)動能： βqζ ? ?????????10100101β ??????????????????????????? l dxttxyttxyAT0222211 ),(),(21 ?系統(tǒng)勢能： ? ?????????????????????????????? l dxxtxyxtxyEIV0222222221112 ),(),(21連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 模態(tài)綜合法 1o 2o1x2x1y2y3o )()()()(),( 21211111 txtxtxy ???? ?? )()()()(),( 42232122 txtxtx ???? ??221 ?? ＝， qq ? Tqq )( 21?q T)( 4321 ?????ζ βqζ ??????????10100101β? ???????? ?????? ????????? ??? l dxt txyt txyAT 0222211 ),(),(21 ?221 1)( ?????? ??????????????lxlxx iii? ?????? ??????????????lxlxx iii 1)(22? ζMζ ?? ~21 T? qq ?? T21?βMβM ~T?? ????????
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