【文章內(nèi)容簡介】 s|||| baba ???? ?? ( 其中 ? 為 a? 與 b? 的夾角 )實例 兩向量作這樣的運算 , 結(jié)果是一個數(shù)量 . 定義 a?b? ? ?c o s|||| baba ???? ??,Prc o s|| bjb a ??? ?? ,Prc o s|| aja b ?? ??ajbba b ???? Pr||??? .Pr|| bja a ???數(shù)量積也稱為“ 點積 ”、“ 內(nèi)積 ” . 結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積 . 關(guān)于數(shù)量積的說明： 0)2( ?? ba ?? ?? .ba ???)(? ,0?? ba ??? ,0|| ?a? ,0|| ?b?,0c o s ?? ? .ba ????.||)1( 2aaa ??? ??)(? ,ba ??? ? ,0c o s ?? ?.0c o s|||| ??? ?baba ????,0??? .||c o s|||| 2aaaaa ????? ???? ?證 證 ?? ,2?,2????數(shù)量積符合下列運算規(guī)律： （ 1）交換律 ： 。abba ???? ???（ 2）分配律 ： 。)( cbcacba ??????? ??????（ 3）若 為數(shù) ： ? ),()()( bababa ?????? ????? ???若 、 為數(shù) ： ? ? ).()()( baba ???? ??? ????,kajaiaa zyx ???? ??? kbjbibb zyx ???? ???設(shè) ??ba ?? )( kajaia zyx ??? ?? )( kbjbib zyx ??? ???,kji ???? ?? ,0??????? ikkjji ??????,1|||||| ??? kji ????.1??????? kkjjii ??????zzyyxx babababa ??????數(shù)量積的坐標表達式 ?c o s|||| baba ???? ?? ,||||c o s baba ?? ?? ????222222c oszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa????????兩向量夾角余弦的坐標表示式 ??? ba ?? 0??? zzyyxx bababa由此可知兩向量垂直的充要條件為 例 1 已知 }4,1,1{ ??a? ， }2,2,1{ ??b?，求 （ 1 ）ba??? ； （ 2 ） a? 與 b?的夾角； （ 3 ） a? 在 b?上的投影 .解 ba ?? ?)1( 2)4()2(111 ???????? .9??222222c o s)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa????????,21??ajbba b ???? Pr||)3( ?? .3||Pr ?????bbaajb ??????? .43?例 2 證明向量 c? 與向量 acbbca ?????? )()( ??? 垂直 .證 cacbbca ??????? ???? ])()[(])()[( cacbcbca ???????? ??????])[( cacabc ?????? ?????0?cacbbca ??????? ????? ])()[( 設(shè) O 為一根杠桿 L 的支點，有一力 F?作用于這杠桿上 P 點處．力 F?與 OP 的夾角為 ? ，力F?對支點 O 的力矩是一向量 M?，它的模|||||| FOQM ?? ??s i n|||| FOP ??M?的方向垂直于 OP 與 F?所決定的平面 , 指向符合右手系 .實例 LF?PQO?向量 a? 與 b? 的 向量積 為 bac ??? ???s in|||||| bac ??? ? ( 其中 ? 為 a? 與 b? 的夾角 )定義 c? 的方向既垂直于 a? ，又垂直于 b?，指向符合右手系 .關(guān)于向量積的說明： .0)1( ??? ?? aa )0s i n0( ??? ???ba ??)2( // ?? .0??? ?? ba )0,0( ???? ?? ba向量積也稱為“ 叉積 ”、“ 外積 ” . 向量積符合下列運算規(guī)律： （ 1） .abba ???? ????（ 2） 分配律： .)( cbcacba ??????? ??????（ 3） 若 為數(shù)： ? ).()()( bababa ?????? ????? ???)(? ,0???? ?? ba ,0|| ?a? ,0|| ?b?,0s in ?? ? 0??)(? 0s in ?? ?.0s i n|||||| ??? ?baba ????證 ba ??// ba ??? // 或0?? ? ?,kajaiaa zyx ???? ??? kbjbibb zyx ???? ???設(shè) ?? ba ?? )( kajaia zyx ??? ?? )( kbjbib zyx ??? ???,kji ???? ??,0???????? ?????? kkjjii,jik ??? ??,ij ??? ??,kij ??? ??? .jki ??? ??? ,ijk ??? ???kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy ??? )()()( ??????向量積的坐標表達式 向量積還可用三階行列式表示 zyxzyxbbbaaakjiba???????ba ??// ??zzyyxxbababa ??由上式可推出 zzyxbaaa ??00 0,0 ??? yx aa補充 || ba??? 表示以 a? 和 b?為鄰邊的平行四邊形的面積 .xb 、 yb 、 zb 不能同時為零，但允許兩個為零，例如， a?b?bac ??? ??例 3 求與 kjia????423 ??? ， kjib????2??? 都垂直的單位向量 .解 zyxzyxbbbaaakjibac?????????211423???kji???,510 kj ?? ??,55510|| 22 ???c??||0ccc ????? .5152 ?????? ??? kj ??例 4 在頂點為 )2,1,1( ?A 、 )2,6,5( ?B 和)1,3,1( ?C 的三角形中，求 AC 邊上的高 BD .ABC解 D}3,4,0{ ??AC}0,5,4{ ??AB三角形 ABC的面積為 ||21 ABACS ?? 222 16121521 ??? ,225?|| AC ,5)3(4 22 ???? ||21 BDS ?? || AC||521225 BD??? .5|| ?? BD例 5 設(shè)向量 pnm??? ,兩兩垂直，符合右手規(guī)則，且4|| ?m? ， 2|| ?n? ， 3|| ?p? ，計算 pnm ??? ?? )( .解 ),s i n (|||||| nmnmnm ?????? ?? ?,8124 ????0),( ???? pnm ???? ?pnm ??? ?? )( ?c o s|||| pnm ??? ??? .2438 ???依題意知 nm ?? ? 與 p? 同向，定義 設(shè)已知三個向量 a?、 b?、 c?，數(shù)量 cba??? ?? )(稱為這三個向量的 混合積 ，記為 ][ cba???.][ cba ??? cba ??? ??? )(zyxzyxzyxcccbbbaaa?,kajaiaa zyx ???? ??? ,kbjbibb zyx ???? ???設(shè) ,kcjcicc zyx ???? ???混合積的坐標表達式 （ 1）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積][ cba???cba?????? )( 是這樣的一個數(shù)，它的絕對值表示以向量 a?、 b?、 c?為棱的平行六面體的體積 .a?c?b?ba ???關(guān)于混合積的說明： ][)2( cba ??? cba ??? ??? )( acb ??? ??? )( .)( bac ??? ???（ 3 ）三向量 a? 、 b?、 c? 共面?? .0][ ?cba ??? 已知 2][ ?cba ???， 計算 )()]()[( accbba ??????????? .解 )()]()[( accbba ?????? ?????)()][ accbbbcaba ?????????? ??????????ccbcccacba ??????????? ??????????? )(0)()(acbaacaaba ??????????? ??????????? )(0)()(0? 0?0? 0? cba ??? ??? )(cba ??? ??? )(2 ][2 ba ???? .4?例 6 例 7 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點),( 111 zyxA 、 ),( 222 zyxB 、 ),( 333 zyxC 、),( 444 zyxD , 求四面體的體積 .解 由立體幾何知，四面體的體積等于以向量 AB 、AC 、 AD 為棱的平行六面體的體積的六分之一 .][61 ADACABV ?},{ 121212 zzyyxxAB ?????},{ 131313 zzyyxxAC ????},{ 141414 zzyyxxAD ????14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV????????????式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致 . 向量的數(shù)量積 向量的向量積 向量的混合積 （結(jié)果是一個數(shù)量） （結(jié)果是一個向量） （結(jié)果是一個數(shù)量） （注意共線、共面的條件） 思考題 已知向量 0???a ， 0???b ，證明 2222 )(|||||| bababa?????????? .思考題解答 )(si n|||||| ,2222 bababa ?????? ????)](co s1[|||| ,222 baba ???? ????22 |||| ba ?? ?? )(co s||| ,222 baba ???? ???22 |||| ba ?? ?? .)( 2ba ?? ??一、 填空題：1 、 已知 a?=3 ， b?=26 ， ba??? =7 2, 則 ba??? =__ ___ ___ _ ；2 、 已知 （ ba??, ） =32 ?，且 a?=1 ， b?=2 ，則 2)( ba??? =__ _ ___ _ ___ ___ _ ；3 、 ba ? 的幾何意義是以 ba??, 為其鄰邊的 ___ __ ___ _ ；4 、 三向量 cba???, 的混 合積 [ cba???] 的幾何意 義是___ __ _ ；5 、 兩向量的的內(nèi)積為零的充分必要條件是至少其中有 一個向量為 ___ __ ___ ，或它們互相 ___ ___ __ ；6 、 兩向量的外積為零的充分必要條件是至少其中有一 個向量為 ___ __ ___ ___ _ ，或它們互相 ___ __ _ ；練 習 題 7 、設(shè) kjia????23 ??? ， kjib??????? 2 , 則 ba??? = _ _ __ ， ba??? = _ __ __ _ _ , ba??3)2( ?? = _ __ _ __ _ , ba??2? = _ __ __ __ _ _ ， ),co s ( ba?? = _ __ _ __ __ __ ；8 、設(shè) a?= kji????? 32 , kjib????3??? 和 ,2 jic ?? 則 bcacba )()( ??? = __ __ __ __ _ __ _ _ , ???? )()( cbba _ __ _ __ __ __ _ _ _ , cba????? )( = _ _ __ __ __ _ __ __ __ _ _ .二、 已知 cba ??? ,為 單 位 向 量 ， 且 滿 足0??? cba ??? ，計算 accbba ?????? ????? .三、設(shè)質(zhì)量為 10 0 千克的物體從點 )8,1,3(1M 沿直線移動到點