蘇教版選修1-1高中數(shù)學(xué)11命題及其關(guān)系1(編輯修改稿)
2024-12-23 23:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x2＋ bx ＋ c ＝ 0沒有實(shí)數(shù)根或只有一個(gè)根 ， 是假命題．這是因?yàn)槟婷}是假命題 ， 否命題和逆命題互為逆否命題 ， 具有相同的真假性． 逆否命題：已知 a ， b ， c ∈ R ， 若 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 沒有實(shí)數(shù)根或只有一個(gè)根 ， 則 ac ≥ 0 ， 是真命題．因?yàn)樵}是真 命題 ，逆否命題與原命題同真假． 1 ． 寫出一個(gè)命題的其他三種命題 ， 關(guān)鍵是找出原命題的條件和結(jié)論 ， 對(duì)于像 ( 1 ) 這樣的命題 ， 條件與結(jié)論不明顯 ， 需將原命題改寫成 “ 若 p 則 q ” 的形式 ， 必要時(shí)可以加入字母或文字． 2 ． 若命題含有大前提 ， 注意大前提既不是命題的條件也不是命題的結(jié)論 ， 所以其他三種命題中都需保留大前提． 分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題 ， 并判斷它們 的真假． ( 1 ) 若 q ≤ 1 ， 則方程 x2＋ 2 x ＋ q ＝ 0 有實(shí)根； ( 2 ) 若 ab ＝ 0 ， 則 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ； ( 3 ) 若 x2＋ y2＝ 0 ， 則 x ， y 全為零． 【解】 ( 1 ) 逆命題：若方程 x2＋ 2 x ＋ q ＝ 0 有實(shí)根 ， 則 q ≤ 1.為真命題． 否命題：若 q ＞ 1 ， 則方程 x2＋ 2 x ＋ q ＝ 0 無實(shí)根．為真命題． 逆否命題：若方程 x2＋ 2 x ＋ q ＝ 0 無實(shí)根 ， 則 q ＞ 1. 為真命題． ( 2 ) 逆命題：若 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ， 則 ab ＝ 0. 為真命題． 否命題：若 ab ≠ 0 ， 則 a ≠ 0 且 b ≠ 0. 為真命題． 逆否命題：若 a ≠ 0 且 b ≠ 0 ， 則 ab ≠ 0. 為真命題． ( 3 ) 逆命題 ：若 x ， y 全為零 ， 則 x2＋ y2＝ 0. 為真命題． 否命題：若 x2＋ y2≠ 0 ， 則 x ， y 不全為零．為真命題． 逆否命題：若 x ， y 不全為零 ， 則 x2＋ y2≠ 0. 為真命題． 逆否命題的應(yīng)用 判斷命題 “ 若 m ＞ 0 ， 則方程 x 2 ＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有實(shí)數(shù)根 ” 的逆否命題的真假． 【思路探究】 【自主解答】 法一 方程 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 的判別式 Δ＝ 12 m ＋ 4. ∵ m 0 ， ∴ 12 m 0 ， ∴ 12 m ＋ 4 ＞ 0. ∴ 原命題 “ 若 m ＞ 0 ， 則方程 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有實(shí)數(shù)根 ”為真． 又因原命題與它的逆否命題等價(jià) ， 所以 “ 若 m ＞ 0 ， 則方程 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有實(shí)數(shù)根 ” 的逆否命題也為真． 法二 原命題 “ 若 m ＞ 0 ， 則 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有實(shí)數(shù)根 ”的逆否命題為 “ 若 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 無實(shí)數(shù)根 ， 則 m ≤ 0 ” ． ∵ x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 無實(shí)數(shù)根 ， ∴ Δ ＝ 12 m ＋ 4 ＜ 0 ， ∴ m －13， ∴ m ≤ 0. ∴ “ 若 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 無實(shí)數(shù)根 ， 則 m ≤ 0 ” 為真命題． 因此 “ 若 m ＞ 0 ， 則方程 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有實(shí)數(shù)根 ” 的逆否命題是真命題 . 1 ． 由于原命題與其逆否命題是等價(jià)的 ， 因此當(dāng)原命題不易證明或不易判斷真假時(shí) ， 可考慮證明或判斷它的逆否命題是否成立． 2 ． 利用逆否命題與原命題等價(jià) ， 可以省去否定條件和結(jié)論的過程 ， 簡化問題的求解． 把 本例命題改換成 “ 已知 a ， x 為實(shí)數(shù) ， 若關(guān)于 x 的不等式 x2＋
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