【文章內容簡介】 決策樹如圖 。 1020200530大 0 . 6大 0 . 6大 0 . 6中 0 . 2中 0 . 2中 0 . 2小 0 . 2小 0 . 2小 0 . 2520500200 520 a1 新 建 330 a2 擴 建200 a3 維 持現狀200101001510050202020圖 郵電局發(fā)展方案的決策樹 例 3 某工廠購買一臺設備 ， 該設備有一關鍵零件需要經常更換 。如果購買設備的同時買進備用件 ， 每件只需 10元；但如果未購買備用件或備用零件不夠用室 ， 損壞時就得臨時購買將造成生產損失 ， 每次 110元 （ 零件 10元 ， 生產損失 100元 ） 。 根據使用同樣設備的記錄資料表明 ， 該設備在整個壽命期間 ， 這種關鍵零件的平均需要量為 ， 其需要量的概率分布為泊松分布 。問購買設備時 ， 應同時購買多少這種關鍵零件最經濟 ？ 解 由于該設備在整個壽命期間 ， 其需要量服從參數為 分布 ， 即 根據這一泊松分布公式 ， 可計算出不同需要量發(fā)生的概率 ， 以及不同購買量時的費用支出 ， 如表 。 ?????? .!.)( ep???表 不同需要量發(fā)生的概率和不同購買量時的費用支出表 購 買 量需要量 ?概率p( ? )0 1 2 3 4 5 6 701234567 2 3 8 8 5 8 5 101 102203304405506607701010120230340450560670202020130240350460570303030301402503604704040404040150260370505050505050160270606060606060601707070707070707070期 望 費 用 支 出? p( ? )0 1 2 3 4 5 6 7012345670 .2 0 20 .3 2 30 .2 5 80 .1 3 80 .0 5 50 .0 1 80 .0 0 50 .0 0 103 5 . 55 6 . 84 0 . 62 4 . 29 .93 .30 .82 .03 .23 0 . 13 1 . 71 8 . 78 .12 .80 .74 .06 .55 .21 7 . 91 3 . 26 .32 .30 .66 .19 .77 .74 .17 .74 .51 .80 .58 .11 2 . 91 0 . 35 .52 .22 .71 .30 .41 0 . 11 6 . 21 2 . 96 .92 .80 .90 .80 .31 2 . 11 9 . 41 5 . 58 .33 .31 .10 .30 .21 4 . 12 2 . 61 8 . 19 .73 .91 .30 .40 .1u( a) 171 9 7 . 3 56 4 2 . 1 4 3 . 4 5 0 . 9 6 0 . 2 70表 不同購買量時的期望費用支出表 從表 ， 購買量為 3件時的期望支出費用最小 。 有試驗風險型決策 貝葉斯決策 摸壇試驗 壇 1 3紅球 7綠球 一張紙條 壇 2 8紅球 2綠球 一張紙條 表 摸壇試驗的自然狀態(tài)概率與各行為方案的后果表 一、無情報試驗 e0 100. 75 ??0 .25 ??25?e?a?a 5 ??0. 25 ??050決策者應選 a1，即他應猜壇 a1 猜壇 1 a2 猜壇 2 自然狀態(tài) 概率 P ( ? ) a 1 a 2? 1? 225 10050二、非全情報試驗 ei 非全情報試驗 e1 為了計算摸一個球抽樣試驗后出現壇 1（ 自然狀態(tài) ?1） 和壇 2（自然狀態(tài) ?2） 的概率 ， 我們令 1） R和 G分別表示摸到的球是紅球和綠球事件； 2） P（ R） 和 P（ G） 分別表示摸到的球是紅球和綠球的概率； 3） P（ R/?1） 和 P（ G/?1） 分別表示從壇中摸到的球是紅球和綠球的概率； 4） P（ R/?2） 和 P（ G/?2） 分別表示從壇中摸到的球是紅球和綠球的概率； 5） P（ ?1/R） 和 P（ ?2/R） 分別表示摸到的球是紅球后出現壇（ 自然狀態(tài) ?1） 和壇 （ 自然狀態(tài) ?2） 的概率； 6） P（ ?1/G） 和 P（ ?2/G） 分別表示摸到的球是綠球后出現壇（ 自然狀態(tài) ?1） 和壇 （ 自然狀態(tài) ?2） 的概率；則 P（ R/?1） =, P（ R/?1） = P（ R/?2） =, P（ G/?2） = 由全概率公式可得 P（ R） = P（ R/?1） P（ ?1） + P（ R/?2） P（ ?2） =*+*= P（ G） = P（ G/?1） P（ ?1） + P（ G/?2） P（ ?2） =*+*= 由貝葉斯公式可得 ???????? ?????????? ???? .. ..)( )/()()( )()/( Rp RppRp RpRp ????同理可得 P（ ?2/R） =, P（ ?1/G） =, P（ ?2/G） = 根據上述計算結果 ， 可做出非全情報試驗 e1的決策樹如圖 從圖 ， 我們可以得到如下結論： 1） 如果摸到一個球為紅球 ， 則要采取行為方案 a1(猜壇 )， 其期望收益值為 ； 2） 如果摸到一個球為綠球 ， 則要采取行為方案 a2(猜壇 )， 其期望收益值為 ； 3） 摸一個球所獲得的情報價值為 =； 4）由于摸一個球所獲得的情報價值（ ）大于摸一個球所付出的費用（ 5元），所以，摸一個球的抽樣試驗是有利的。 0100. 53 ??0. 47 ?? ?? ??2550?a?a0. 91 ??0. 91 ?? ?? 9 ??2510050?a?aR G 5圖 非全情報試驗 e1的決策樹 非全情報試驗 e2 380100. 24 ?? ??0. 24 ?? ??255038?a?a18100 .8 0 ?? ??251005018?a?aRRRG或GR100. 80 ?? ??1 ?? 8 ?? ??0. 02 ??2510050?a?aGG圖 非全情報試驗 e2的決策樹 從圖 ， 我們可以得到如下結論： 1） 如果摸到 2個球為紅球 ， 則要采取行為方案 a2(猜壇 )， 其期望收益值為 38； 2） 如果摸到 2個球為綠球 ， 則要采取行為方案 a1(猜壇 )， 其期望收益值為 ； 3） 如果摸到 2個球為一個紅球和綠球 ， 則要采取行為方案 a1(猜壇)， 其期望收益值為 18； 4） 摸 2個球所獲得的情報價值為 =； 5） 由于摸 2個球所獲得的情報價值 （ ） 小于摸 2個球所付出的費用 （ 10元 ） ， 所以 ， 摸 2個球的抽樣試驗是不利的 。 三 、 全情報試驗 eP 全情報試驗 eP的決策樹如圖 。 從圖 ， 我們可以得到如下結論： 1） 摸出紙條所獲得的情報價值為 =15元； 2） 由于摸出紙條所獲得的情報價值 （ 15元 ） 小于摸出紙條所付出的費用 （ 20元 ） ， 所以 ， 摸出紙條的抽樣試驗是不利的 。 25250101 ??0 ??25500?a?a1050251005050?a?a201 ??0 ??1 ??0 ??Pe1 ??0 ??圖 全情報試驗 eP的決策樹 ?e1 7 .55 ?e 14 .35 ?e 11 .25 Pe52010圖 全體決策樹 有試驗風險型決策模型的定義 從摸壇試驗的分析過程 ， 我們可推得 ， 有試驗風險型決策模型具有如下內容： 無試驗決策模型中的組成部分： a?A， ??S及 P(?)。 概率分布 P(?)， ??S表示決策者在觀察試驗結果前對自然 ?發(fā)生可能的估計 。 這一概率稱為先驗分布； 一個可能的試驗集合 E, e?E， 無情報試驗 e0通常包括在集合E之內； 一個試驗結果集合 Z, z?Z， 試驗結果 z取決于試驗 z的選擇 。以 z0表示的結果只能是無情報試驗 e0的結果； 概率分布 P(z/e, ?), z?Z表示在自然狀態(tài) ?的條件下 ， 進行 e試驗后發(fā)生 z結果的概率 。 這一概率分布稱為似然分布； 一個可能的后果集合 C， c?C以及定義在后果集合 C的效用函數 u(e, z, a, ?)。 每一后果 c = c(e, z, a, ?)取決于 e, z, a和 ?。 效用 u (c) 形成一個復合函數 u [c (e, z, a, ?)]， 并可寫成 u(e, z, a, ?)。 有試驗風險型決策模型分析步驟 從前面分析和討論的結果 ， 我們可以把有試驗風險型決策模型的分析步驟歸納如下： 分析和畫出無試驗 e0的決策樹； 從可能的試驗集合 E中選擇某一試驗 ei， ei?E， 考察該試驗的各種可能結果 ， 分別計算在每一試驗結果發(fā)生條件下的各自然狀態(tài)發(fā)生的概率 ， 即計算與某一試驗結果相對應的各自然狀態(tài)的后驗概率 。 計算后驗概率的步驟如下： 1） 利用先驗概率 P(?)和似然分布 P(z/e, ?)求在給定試驗 ei條件下每一試驗結果發(fā)生的概率 其中 ， m為自然狀態(tài) ?在離散情況下的狀態(tài)數目 ， 當自然狀態(tài)是連續(xù)情況下 ， 將求和運算符用積分運算符替代 。 n為給定試驗 ei的試驗結果個數 。 2） 利用貝葉斯公式求與某一試驗結果相對應的各自然狀態(tài)的后驗概率 ?????m