高中數(shù)學(xué)人教a版選修2-2教學(xué)課件：2、1-3-1(編輯修改稿)
2024-12-23 17:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)． 又 f ( 1) ＝ 1 － ln2 1 － lne ＝ 0 ，即 f ( 1) 0 ，所以f ( x ) 0( x 1) ，即 x ln(1 ＋ x )( x 1) ． [例 4] 已知向量 a＝ (x2， x＋ 1)， b＝ (1－ x， t)， 若函數(shù)f(x)＝ ab在區(qū)間 (－ 1,1)上是增函數(shù) ， 求 t的取值范圍 ． [分析 ] 由向量的數(shù)量積和運(yùn)算法則求函數(shù) f(x)的解析表達(dá)式 ， 再 f′(x)≥0在 (－ 1,1)上恒成立 ， 求出 t的范圍 ． [解析 ] 解法 1： f(x)＝ ab＝ x2(1－ x)＋ t(x＋ 1) ＝－ x3＋ x2＋ tx＋ t f′(x)＝－ 3x2＋ 2x＋ t ∵ 函數(shù) f(x)在 (－ 1,1)上是增函數(shù) ， ∴ f′ (x)≥ 0在 x∈ (－ 1,1)上恒成立 ∴ － 3x2＋ 2x＋ t≥ 0在 (－ 1,1)上恒成立 即 t≥ 3x2－ 2x在 (－ 1,1)上恒成立 令 g(x)＝ 3x2－ 2x， x∈ (－ 1,1) ∴ g ( x ) ∈ ( － 13 ， 5) 故要使 t≥3x2－ 2x在區(qū)間 (－ 1,1)上恒成立 ， 只需 t≥5， 即所求 t的取值范圍為： t≥5. 解法 2：依題意 ， 得 f(x)＝ x2(1－ x)＋ t(x＋ 1) ＝－ x3＋ x2＋ tx＋ t f′(x)＝－ 3x2＋ 2x＋ t ∵ 函數(shù) f(x)在區(qū)間 (－ 1,1)上是增函數(shù) ， ∴ f′(x)≥0對 x∈ (－ 1,1)恒成立 又 ∵ f′(x)的圖象是開口向下的拋物線 ∴ 當(dāng)且僅當(dāng) f′ (1)＝ t－ 1≥ 0， 且 f′ (－ 1)＝ t－ 5≥ 0時 ，即 t≥ 5時 ， f′ (x)在區(qū)間 (－ 1,1)上滿足 f′ (x)＞ 0 使 f(x)在 (－ 1,1)上是增函數(shù) 故 t的取值范圍是 t≥5. [點(diǎn)
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