高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-1第三章12橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-12-23 17:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (0 ，－ 2) ， (0,2) ．離心率 e ＝53. 2．已知橢圓方程為 4x2＋ 9y2＝ 36，求橢圓的長軸 長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率． [ 例 2] 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． (1) 離心率 e ＝23，短軸長為 8 5 ； (2) 在 x 軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為 6. [ 思路點(diǎn)撥 ] (1) 焦點(diǎn)的位置不確定，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2＋y2b2 ＝ 1 ，或y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0) ． (2) 畫出圖形，結(jié)合圖形明確已知條件． [ 精解詳析 ] (1) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ， 或y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0) ． 由已知得 e ＝ca＝23， 2 b ＝ 8 5 ， ∴c2a2 ＝a2－ b2a2 ＝49， b2＝ 80. ∴ a2＝ 144. ∴ 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2144＋y280＝ 1 或y2144＋x280＝ 1. (2) 如圖所示， △ A 1 FA 2 為一等腰直角三角形， OF 為斜邊 A 1 A 2 的中線 ( 高 ) ，且 OF ＝ c ， A 1 A 2 ＝ 2 b ， ∴ c ＝ b ＝ 3 ， ∴ a2＝ b2＋ c2＝ 18 ， 故所求橢圓的方程為x218＋y29＝ 1. [ 一點(diǎn)通 ] 利用橢圓的性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是： (1) 確定焦點(diǎn)位置． (2) 設(shè)出相應(yīng)橢圓的方程 ( 對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程 ) ． (3) 根據(jù)已知條件建立關(guān)于參數(shù)的方程，利用方程 ( 組 ) 求參數(shù)，列方程 ( 組 ) 時(shí)常用的關(guān)系式為 b2＝ a2－ c2， e ＝ca等． 解析： 易知 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ，且焦點(diǎn)在 y 軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 24 ＋y 29 ＝ 1. 3．已知 P(2,0)， Q(0，－ 3)為橢圓上兩點(diǎn)，則橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ________________________． 答案： x24 ＋y 29 ＝ 1 4 ．已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，中心 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， F 是 一個(gè)焦點(diǎn)， A 是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是 6 ，且 co s ∠ OF A ＝2
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