最優(yōu)化計(jì)算方法(工程優(yōu)化)第1章(編輯修改稿)
2025-03-10 12:56 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2) 建立模型：變量、參數(shù)、目標(biāo)之間的關(guān)系表示 3) 模型求解：數(shù)學(xué)方法及其他方法 4) 解的檢驗(yàn)：制定檢驗(yàn)準(zhǔn)則、討論與現(xiàn)實(shí)的一致性 5) 靈敏性分析：參數(shù)擾動(dòng)對(duì)解的影響情況 6) 解的實(shí)施：回到實(shí)踐中 7) 后評(píng)估：考察問(wèn)題是否得到完滿解決 最優(yōu)化方法解決問(wèn)題的工作步驟 最優(yōu)化問(wèn)題舉例 最優(yōu)化在物質(zhì)運(yùn)輸、自動(dòng)控制、機(jī)械設(shè)計(jì)、采礦冶金、經(jīng)濟(jì)管理等科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。下面舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例。 例 1： 把半徑為 1的實(shí)心金屬球熔化后，鑄成一個(gè)實(shí)心圓柱體，問(wèn)圓柱體取什么尺寸才能使它的表面積最??？ 解： 決定圓柱體表面積大小有兩個(gè)決策變量：圓柱體底面半徑 r、高 h。 問(wèn)題的約束條件是所鑄圓柱體重量與球重相等。即 2343r h R? ? ? ?? ? ? ? . ?? R?? 為金屬比重 即： 問(wèn)題追求的目標(biāo) 是圓柱體表面積最小，即 min 則得原問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型： 利用在高等數(shù)學(xué)中所學(xué)的 Lagrange乘子法可求解本問(wèn)題 分別對(duì) r, h,λ求偏導(dǎo)數(shù) ,并令其等于零 .有 : 0342 ??hr2 4 ,3rh???? ?222rh r???22m in 2 24. . 03rh rs t r h??? ??? ???? ? ? 22 4, , 2 23L r h rh r r h? ? ? ???? ? ? ?????最優(yōu)化問(wèn)題舉例 所以，圓柱體的表面積為： 222 4 2 02 0 2403Lh r rhrLr r h rhLrh? ? ??????? ? ? ????????? ? ? ? ???????? ? ? ????3 2 / 3r??32 2 / 3h ?23263S ???? ????最優(yōu)化問(wèn)題舉例 例 2:多參數(shù)曲線擬合問(wèn)題 已知兩個(gè)物理量 x和 y之間的依賴關(guān)系為 : 其中 為待定參數(shù) , 為確定這些參數(shù) , 對(duì) x,y 測(cè)得 m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn) : 試將確定參數(shù)的問(wèn)題表示成最優(yōu)化問(wèn)題。 214351 ln 1 e x payaxaaa???? ??? ????1 2 3 4 5, , , ,a a a a a? ? ? ? ? ?1 , 1 2 , 2, , ,mmx y x y x y最優(yōu)化問(wèn)題舉例 解 :很顯然對(duì)參數(shù) 任意給定的一組數(shù)值 ,就由上式確定了 y關(guān)于 x的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式 ,在幾何上它對(duì)應(yīng)一條曲線 ,這條曲線不一定通過(guò)那 m個(gè)測(cè)量點(diǎn) ,而要產(chǎn)生“偏差” . xy1 2 3 4 5, , , ,a a a a a2211 4351 ln 1 e x pmii iaS y axaaa?????????? ? ??? ?? ??? ?? ?????????顯然偏差 S越小 ,曲線就擬合得越好 ,說(shuō)明參數(shù)值就選擇得越好，從而我們的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為 5維無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。即： 將測(cè)量點(diǎn)沿垂線方向到曲線的距離的 平方和作為這種“偏差”的度量 . 即 最優(yōu)化問(wèn)題舉例 2211 435m in1 ln 1 e x pmii iayaxaaa????????????? ?? ??? ?? ?????????最優(yōu)化問(wèn)題舉例 例 3： 有一旅行團(tuán)從 出發(fā)要遍游城市 ，已知從 到 的旅費(fèi)為 ，問(wèn)應(yīng)如何安排行程使總費(fèi)用最?。? 0v 12, , ... , nv v vjiv
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