[理學(xué)]第5章約束優(yōu)化方法(編輯修改稿)
2025-05-10 22:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 仍不滿足收斂準(zhǔn)則 ， 則進(jìn)入第三次迭代 ， … 螺栓緊固件最小成本的優(yōu)化設(shè)計 （一）問題的提出 如壓力容器示意圖（見圖），其結(jié)構(gòu)方案和有關(guān)尺寸已定。內(nèi)部氣體壓強(qiáng)P=, 容器內(nèi)徑 A=120mm。螺栓孔分布圓直徑 D=200mm。壁厚 E=20mm, 用襯墊密封 , 要求合理地選擇緊固螺栓的直徑和螺栓數(shù)量。 緊固件在機(jī)械設(shè)計中大量存在 , 有些產(chǎn)品用的緊固件很多 , 有些產(chǎn)品上盡管緊固件用量不多 , 但很重要 。 緊固件個數(shù)和尺寸 , 對保證產(chǎn)品的可靠性 , 提高壽命及降低成本等都是很有意義的 。 （ 二 ） 數(shù)學(xué)模型的建立 確定目標(biāo)函數(shù) 螺栓總成本取決于螺栓單價和個數(shù) 。 根據(jù)螺栓單價 ， 可回歸得到螺栓直徑與單價的關(guān)系式： C=。 則目標(biāo)函數(shù)為： C*n=()*n 設(shè)計變量 x=[d n]T=[x1 x2]T 約束函數(shù) （ 1） 強(qiáng)度約束： 042?? PAnF ??（ 2） 密封條件 為保證密封性能 ， 有約束： 010 ?? nDd ?（ 3） 扳手空間條件 為保證拆裝方便 ， 有約束： 05 ?? dnD?由于可行域邊界比較復(fù)雜 ， 取 y1=n*d， y2=n， 則有： minF(y) = . g1(y)?0 g2(y)=?0 g3(y)=?0 y1?0 y2?0 K x1 x2 F(*) 3 4 懲罰函數(shù)法 (SUMT) 懲罰函數(shù)法是一種使用很廣泛、很有效的間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題 中的不等式約束和等式約束經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，與原目標(biāo)函數(shù)一起構(gòu)成新的 目標(biāo)函數(shù) –– 懲罰函數(shù) 通過改變加權(quán)因子 r(k)、 m(k)的值，求得懲罰函數(shù)的一系列無約束最優(yōu)解，并使其不斷逼近原約束優(yōu)化問題得最優(yōu)解。 m in ( ). . ( ) 0 , 1 , 2 , . . . ,( ) 0 , 1 , 2 , . . . ,nuvFxx D Rs t g x u ph x v q??????? ? ? ????????qvvpukukkk xhHmxgGrxFmrx11)()()()( )()()(),(?——懲罰函數(shù)法 式中 和 稱為加權(quán)轉(zhuǎn)化項，并根據(jù)它們在懲罰函數(shù)中的作用，分別稱為 障礙項和懲罰項 。 障礙項的作用 是當(dāng)?shù)c在可行域內(nèi)時，在迭代過程中阻止迭代點越出邊界 。 懲罰項的作用 是當(dāng)?shù)c在非可行域或不滿足不等式約束條件時，在迭代過程之中迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面 。 ? ???puuk xgGr1)( )( ? ???qvvk xhHm1)( )(罰函數(shù)法 ， 常稱為序列無約束極小化方法 (SUMT: Sequential Unconstrained Minimization Technique) ——懲罰函數(shù)法 一、內(nèi)點懲罰函數(shù)法 內(nèi)點懲罰函數(shù)法簡稱內(nèi)點法。 其 基本思想 是將新目標(biāo)函數(shù)定義在可行域內(nèi)，序列迭代點在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界的最優(yōu)點。 內(nèi)點法只能求解具有 不等式約束的優(yōu)化問題 。 ——懲罰函數(shù)法 懲罰函數(shù)的形式 對于求解只具有不等式約束的優(yōu)化問題 懲罰函數(shù)形式為 或 式中， r(k)為懲罰因子，它是從大到小且趨近與零的數(shù)列，即r0r1r2... rk? 0 m in ( ). . ( ) 0 , 1 , 2 , . . . ,nuFxx D Rs t g x u p???? ?????( ) ( )11( , ) ( )()pkku ux r F x r gx???? ?( ) ( )1( , ) ( ) l n [ ( ) ]pkk uux r F x r g x??? ? ??障礙項 由于內(nèi)點法的迭代過程在可行域內(nèi)進(jìn)行 ， “ 障礙項” 的作用是阻止迭代點越出可行域 。 由 “ 障礙項 ” 的函數(shù)形式可知 ， 當(dāng)?shù)c靠近某一約束邊界時 ， 其值趨近于 0， 而 “ 障礙項 ” 的值陡然增加 ， 并趨近于無窮大 ， 好像在可行域的邊界上筑起了一道 “ 高墻 ” ，使迭代點始終不能越出可行域 。 罰因子的作用 是：由于內(nèi)點法只能在可行域內(nèi)迭代 ， 而最優(yōu)解很可能在可行域內(nèi)靠近邊界處或就在邊界上 ， 此時盡管泛函的值很大 ， 但罰因子是不斷遞減的正值 ， 經(jīng)多次迭代 ， 懲罰因子 rk?0， 接近最優(yōu)解 。 例 1 用內(nèi)點法求 2212m i n ( )f x x??x1s . t . ( ) 1 0gx? ? ?x的約束最優(yōu)解。 解 : 用內(nèi)點法求解該問題時，首先構(gòu)造內(nèi)點懲罰函數(shù) : 221 2 1( , ) l n ( 1 )kr x x r x? ? ? ? ?x用解析法求函數(shù)的極小值 ， 運用極值條件： 1112220120krxxxxx????? ? ??????????? ??聯(lián)
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