多目標(biāo)優(yōu)化方法講義(編輯修改稿)
2025-03-09 11:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 價(jià)函數(shù)法 盡管多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題有各種意義下的最優(yōu)解 .但在應(yīng)用中 ,需要的還是有效解和弱有效解 .本節(jié)介紹求有效解和弱有效解最基本的方法 評(píng)價(jià)函數(shù)法 . 評(píng)價(jià)函數(shù)法的基本思想是 :借助于幾何或應(yīng)用中的直觀效果 .構(gòu)造所謂的評(píng)價(jià)函數(shù) .從而將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題 .然后利用單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解方法求出最優(yōu)解 .并把這種最優(yōu)解當(dāng)作多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解 .這里關(guān)鍵的問(wèn)題是轉(zhuǎn)化后的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解必須是多目標(biāo)問(wèn)題的有效解和弱有效解 .否則是不能接受的 . 所謂評(píng)價(jià)函數(shù) ,是利用 (VP)的目標(biāo)函數(shù) ,構(gòu)造一個(gè)復(fù)合函數(shù) .然后在 (VP)的約束集 D上極小化 , 的構(gòu)造必須保證在一定條件下 , min 的最優(yōu)解是 (VP)的有效解或弱有效解 . 下面先討論在什么條件下 , min 的最優(yōu)解才能是 (VP) min 的有效解 or弱有效解 . ()fx( ( ))fx? ))? ( ( ))( ( ))fx?()fx定義 6. 設(shè) : ,總有 ,則稱(chēng) 為 的嚴(yán)格單增函數(shù) . 2 若 時(shí) ,總有 ,則稱(chēng) 為 的單增函數(shù) . ? 39。, :p n PE E f D E E? ??12ZZ? 12( ) ( )ZZ???()Z?Z?( ) ( )? 定理 1 . 設(shè)： : ,又設(shè) ，是問(wèn)題min 的極小點(diǎn) ,那么 : 若 為 Z的嚴(yán)格單增函數(shù) ,則 是 min 有效解 . 若 為 Z的單增函數(shù) ,則 是 min 的弱有效解 . ?pE?39。 : nPf D E E??*x( ( ))fx?? *x*x ()fx重要定理 幾種常用的構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)的方法 一 . 理想點(diǎn)法 : 在 (VP)中 ,先求解 P個(gè)單目標(biāo)問(wèn)題 j=1， 2， p x∈D 設(shè)其最優(yōu)值為 ,我們稱(chēng) 為值域中的一個(gè)理想點(diǎn) 。 m in ( )jfx*jf * * * *12( , , , ) Tpf f f f? 因?yàn)橐话愫茈y達(dá)到它 ,這樣 ,就期望在某種等量下 ,尋求距最近的 f作為近似值 ,一種最直接的想法是構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù) = （ ） ()Z?2*1()piiiZf??? 然后極小化即求解： 并將它的最優(yōu)解 作為 (VP)在這種意義下的 “最優(yōu)解” ,由于 ,因此由 是嚴(yán)格單增的 ,從而 是 (VP)的有效解 . *21m in ( ) ( ( ) )piiif x f x f????*x *()i i iZ f x f??()Z?*x 二 . 線性加權(quán)和法 . 在具有多個(gè)指標(biāo)的問(wèn)題中 ,人們總希望對(duì)那 些相對(duì)重要的指標(biāo)給予較大的權(quán)系數(shù) ,基于這種 現(xiàn)實(shí) ,自然如下的構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù) ,令 1 2 ,1( , , ) | 0 1pTp i ii? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ????? ?且1 2 , 1( , , ) | 0 1pTp i ii? ? ? ? ? ????? ? ? ??且稱(chēng)之為權(quán)向量集 ,令 再求解 而將它的最優(yōu)解 , 作為 (VP)在該意義下的最優(yōu)解 . 1( ) * ,pTiiiP Z Z Z or? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??m in ( ( ) ) * ( )Tf x f x?? ?*x 三 . 極大極小法 在決策時(shí)，采取保守策略是穩(wěn)妥的。即在最壞的情況下，尋求最好的結(jié)果。按照這種想法，可以構(gòu)造如下評(píng)價(jià)函數(shù) 然后求解 并將它的最優(yōu)解 作為（ VP）在這種意義下的最優(yōu)解。 ipi zz ??? 1max)(? )(maxmin))((min1 xfxf ipiDxDx ???? ???x 1. 主目標(biāo)法 轉(zhuǎn)化為 第三節(jié) 多目標(biāo)優(yōu)化的第一類(lèi)方法 主目標(biāo)法就是從多目標(biāo)中依據(jù)重要程度選擇一個(gè)目標(biāo)作為主目標(biāo)，而將其它目標(biāo)轉(zhuǎn)化為約束，即將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題 ? ?12m in ( ) ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , ,TmuvF X f X f X f Xg X u ph X v q????? 0m in ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 1 , 2 , , ,kuvllfXg X u ph X v qf X f l m l k????? ? ? 主目標(biāo)法中約束目標(biāo)的約束值選取 0* 1 , 2 , , ,l l lf f l m l k?? ? ? ?** ( ) m in ( ) 1 , 2 , , ,Xllll XDf f Xf f X l m l k???式中 為目標(biāo)函數(shù) 的單目標(biāo)極小值， 即 ＝ * ( ) ~) 1 , , 2 , ,llllfXf l m l k?? ??式中 為對(duì)目標(biāo)函數(shù) 的單目標(biāo)極小值的放大值，一般可取 ＝（ 2. 線性加權(quán)法 轉(zhuǎn)化為 線性加權(quán)法就是將多目標(biāo)的加權(quán)和作為單目標(biāo)，即將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題 ? ?12m in ( ) ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , ,TmuvF X f X f X f Xg X u ph X v q?????m in ( ) ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , mllluvF X w f Xg X u ph X v q?????? (2）對(duì)權(quán)系數(shù)的要求 (3) 權(quán)系數(shù)的確定 0 1 , 2 , ,lw l m??非負(fù)要求 1 1mllw???歸一化要求 老手法 **1 m i n ( )l l lXDlw f f Xf ???線性加權(quán)法的有關(guān)說(shuō)明： （ 1) 線性加權(quán)之前，各目標(biāo)應(yīng)進(jìn)行無(wú)量綱化處理。 3. 極小極大法 轉(zhuǎn)化為 極小極大法就是求取多目標(biāo)函數(shù)中的最大值，然后使最大值函數(shù)在可行域內(nèi)極小化，即將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題 ? ?12m in ( ) ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , ,TmuvF X f X f X f Xg X u ph X v q?????? ?1m in m a x ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , llmuvfXg X u ph X v q?????? (2)極小極大法也可以引入一個(gè)變量 ?和 m個(gè)約束，即 極小極大法的有關(guān)說(shuō)明： （ 1) 考慮到各目標(biāo)的重要程度差別，可以對(duì)各目標(biāo)乘以權(quán)系數(shù)，然后再求最大值函數(shù)，即 ? ?1m in m a x ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , lllmuvw f Xg X u ph X v q??????m in . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 1 , 2 , ,uvllg X u ph X v qw f X j m???????? 4. 理想點(diǎn)法 轉(zhuǎn)化為 理想點(diǎn)法就是將距理想點(diǎn)最近的點(diǎn)作為多目標(biāo)問(wèn)題的優(yōu)惠解，即將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題 ? ?12m in ( ) ( ) , ( ) , , ( ) . ( ) 0 1 , 2 , , ( ) 0 1 , 2
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