新人教b版高中數(shù)學(xué)選修1-1函數(shù)的最大值與最小值(編輯修改稿)
2024-12-23 11:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2(4)22( 2 ppppf????故所求最大值是 .)2(4 2 ppp ??練習(xí) 1:求函數(shù) f(x)=2x3+3x212x+14在區(qū)間 [3,4]上的最 大值和最小值 . 答案 :最大值為 f(4)=142,最小值為 f(1)=7. 四、實(shí)際應(yīng)用 . 在日常生活、生產(chǎn)和科研中 ,常常會(huì)遇到求函數(shù)的 最大 (小 )值的問題 .建立目標(biāo)函數(shù) ,然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路 . 在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí) ,一定要注意確定函數(shù)的定義域 . 在實(shí)際問題中 ,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使 的情形 ,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大 (小 )值 , 那么不與端點(diǎn)值比較 ,也可以知道這就是最大 (小 )值 . 這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間 . 0)( ?? xf滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)” . 例 1:在邊長(zhǎng)為 60cm的正 方形鐵皮的四角切去相等 的正方形 ,再把它的邊沿虛 線折起 (如圖 ),做成一個(gè)無 蓋的方底箱子 ,箱底邊長(zhǎng)為 多少時(shí) ,箱子的容積最大 ?最大容積是多少 ? 解 :設(shè)箱底邊長(zhǎng)為 x,則箱高 h=(60x)/ V(x)=x2h=(60x2x3)/2(0x60). 令 ,解得 x=0(舍去 ),x= V(40)= 16000. 02360)( 2 ???? xxxV由題意可知 ,當(dāng) x過小 (接近 0)或過大 (接近 60)時(shí) ,箱子的容積很小 ,因此 ,16000是最大值 . 答 :當(dāng) x=40cm時(shí) ,箱子容積最大 ,最大容積是 16000cm3. 類題 :圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí) ,它的高與底半徑 應(yīng)怎樣選取 ,才能使所用的材料最省 ? 解 :設(shè)圓柱的高為 h,底半徑為 r,則表面積 S=2πrh+2πr2. 由 V=πr2h,得 ,則 2rVh??.2222)( 222 rrVrrVrrS ???? ?????令 ,解得 ,從而 ,即 h=2r. 042)( 2 ????? rrVrS ? 3 2?Vr ?232)2(??? VVrVh ??33224??VV ??由于 S(r)只有一個(gè)極值 ,所以它是最小值 . 答 :當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí) ,所用的材料最省 . 例 2:如圖 ,鐵路線上 AB段長(zhǎng) 100km,工廠 C到鐵路的 距離 CA= 在 AB上某一處 D,向 C修 一條公路 .已知鐵路每噸 千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為 3
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