【文章內容簡介】 y 2 1/2 數學表達式 除了使用 SymPy中預先定義好的具有特殊運算含義的數學函數之外，還可以使用Function()創(chuàng)建自定義的數學函數： 請注意 Function雖然是一個類，但是上面的語句所得到的 f并不是 Function類的實例。和預定義的數學函數一樣， f是一個類，它從Function類繼承： 31 f = Function(f) isinstance(f, Function) False 數學表達式 當我使用 f創(chuàng)建一個表達式時，就相當于創(chuàng)建它的一個實例： f的實例 t可以參與表達式運算： 32 t = f(x,y) isinstance(t, Function) True type(t) f （ 其中 func和 args是 Basic類的兩個非常重要的屬性，分別表示對象的類和對象的參數 ） f (x, y) t+t*t f(x, y)**2 + f(x, y) 符號運算 ?表達式變換和化簡 simplify()可以對數學表達式進行化簡，例如 : simplify()調用 SymPy內部的多種表達式變換函數對表達式進行化簡運算。但是數學表達式的化簡是 一件非常復雜的工作，并且對于同一個表達式，根據其使用目的可以有多種化簡方案。 33 simplify((x+2)**2 (x+1)**2) 2*x + 3 符號運算 34 radsimp()對表達式的分母進行有理化，它所得到的 表達式的分母部分將不含無理數。例如： 它也可以對帶符號的表達式進行處理 : radsimp(1/(sqrt(5)+2*sqrt(2))) (sqrt(5) + 2*sqrt(2))/3 radsimp(1/(y*sqrt(x)+x*sqrt(y))) (sqrt(x)*y + x*sqrt(y))/(x*y*(x y)) 符號運算 ratsimp()對表達式中的分母進行通分運算，即將表達式轉換為分 子除分母的形式： fraction()返回一個包含表達式的分子和分母的元組 ,用它可以獲得 ratsimp()通分之后的分 子或分母： 注意 fraction()不會自動對表達式進行通分運算，因此： 35 ratsimp(x/(x+y)+y/(xy)) 2*y**2/(x**2 y**2) + 1 fraction(ratsimp(1/x+1/y)) (x + y, x*y) fraction(1/x+1/y) (1/y + 1/x, 1) 符號運算 cancel()對分式表達式的分子分母進行約分運算，可以對純符號的分式表達式以及自定義函數表達式進行約分，但是不能對內部函數的表達式進行約分。 36 cancel((x**21)/(1+x)) x1 cancel(sin((x**21)/(1+x))) cancel不能對函數內部的表達式進行約分 sin(x**2/(x + 1) 1/(x + 1)) cancel((f(x)**21)/(f(x)+1)) 能對自定義函數表達式進行約分 f(x) 1 符號運算 trigsimp()對表達式中的三角函數進行化簡。它有兩個可選參數 deep和 recursive，默認 值都為 False。當 deep參數為 True時，將對表達式中的所有子表達式進行簡化運算；當 recursive 參數為 True時，將遞歸使用 trigsimp()進行最大限度的化簡： 37 trigsimp(sin(x)**2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)**2) sin(2*x) + 1 trigsimp(f(sin(x)**2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)**2)) 也能對自定義函數中的三角函數化簡，至今不知道 deep和 recursive是干嘛的 f(sin(2*x) + 1) 符號運算 38 expand_trig()可以對三角函數的表達式進行展開。它實際上是對 expand()的封裝，通過將 expand()的 trig參數設置為 True,實現(xiàn)三角函數的展開 計算。輸入 “expand_trig??” 來査看它調用 expand()時的參數。 expand()通用的展開運算，根據用戶設置的標志參數對表達式進行展幵。默認情況下，以下的標志參數為 True。 mul： 展開乘法 expand_trig(sin(2*x+y)) (2*cos(x)**2 1)*sin(y) + 2*sin(x)*cos(x)*cos(y) 符號運算 log:展開對數函數參數中的乘積和冪運算 multinomial:展開加法式的整數次冪 power_base:展開冪函數的底數乘積 39 x,y=symbols(x,y,positive=True) expand(log(x*y**2)) log(x) + 2*log(y) expand((x+y)**3) x**3 + 3*x**2*y + 3*x*y**2 + y**3 expand(x**(y+z)) x**y*x**z 符號運算 可以將默認為 True的標志參數設置為False,強制不展 開對應的表達式。在下面的例子中， 將 mul設置為 False,因此不對乘法進行展開： expand()的以下標志參數默認為 False。 plex:展開復數的實部和虛部，默認不展開復數的實部和虛部 : 40 x,y,z=symbols(x,y,z, positive=True) expand(x*log(y*z), mul=False) x*(log(y) + log(z)) x,y=symbols(x,y,plex=True) expand(x*y, plex=True) re(x)*re(y) + I*re(x)*im(y) + I*re(y)*im(x) im(x)*im(y) 符號運算 func:對一些特殊函數進行展 開 trig:展開三角函數 expand_log()、 expand mul()、expand_plex()、 expand_trig()、expand_func()等函數則通過將相應的標志參數設置為 True,對 expand()進行封裝。 41 expand (gamma (1+x),func=True) x*gamma(x) expand(sin(x+y), trig=True) sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x) 符號運算 42 factor()可以對多項式表達式進行因式分解： collect()收集表達式中指定符號的有理指數次冪的系數。例如，希望獲得如下表達式中 x的各次冪的系數： factor(15*x**2+2*y3*x10*x*y) (3*x 2*y)*(5*x 1) factor(expand((x+y)**20)) (x + y)**20 a,b=symbols(39。a,b39。) eq = (1+a*x)**3 + (1+b*x)**2 符號運算 首先需要對表達式 eq進行展開，得到的表達式 eq2是一系列乘式的和 : 然后調用 collect(),對表達式 eq2中 X的冪的系數進行收集 ： 43 eq2 = expand (eq) eq2 a**3*x**3 + 3*a**2*x**2 + 3*a*x + b**2*x**2 + 2*b*x + 2 collect(eq2,x) a**3*x**3 + x**2*(3*a**2 + b**2) + x*(3*a + 2*b) + 2 符號運算