20xx高中數(shù)學(xué)北師大版必修5第3章3基本不等式第2課時(shí)基本不等式與最大(小)值ppt同步課件(編輯修改稿)
2024-12-23 03:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＋1a＋1ab ＝ 1 ＋a ＋ bab＋1ab ∵ a ＋ b ＝ 1 ， ∴ (1 ＋1a)(1 ＋1b) ＝ 1 ＋2ab 又 ∵ a 0 ， b 0 ， ∴ ab ≤ (a ＋ b2)2＝14， ∴1ab≥ 4 ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝12時(shí)取 “ ＝ ” ， ∴ (1 ＋1a)(1 ＋1b) ≥ 1 ＋ 2 4 ＝ 9. [方法總結(jié) ] (1)利用均值不等式證明不等式 ， 關(guān)鍵是所證不等式中必須有 “ 和 ” 式或 “ 積 ” 式 ， 通過(guò)將 “ 和 ” 式轉(zhuǎn)化為“ 積 ” 式或?qū)?“ 積 ” 式轉(zhuǎn)化為 “ 和 ” 式 ， 從而達(dá)到放縮的效果 ． (2)注意多次運(yùn)用均值不等式時(shí)等號(hào)能否取到 ． 已知 a 、 b 、 c 為正數(shù)，求證：b ＋ c － aa ＋c ＋ a － bb ＋a ＋ b － cc≥ 3. [ 證明 ] 左邊＝ba＋ca－ 1 ＋cb＋ab－ 1 ＋ac＋bc－ 1 ＝ (ba＋ab) ＋ (ca＋ac) ＋ (cb＋bc) － 3. ∵ a ， b ， c 為正數(shù)， ∴ba＋ab≥ 2( 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b 時(shí)取 “ ＝ ” 號(hào) ) ； ca＋ac≥ 2( 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ c 時(shí)取 “ ＝ ” 號(hào) ) ； cb＋bc≥ 2( 當(dāng)且僅當(dāng) b ＝ c 時(shí)取 “ ＝ ” 號(hào) ) ． 從而 (ba＋ab) ＋ (ca＋ac) ＋ (cb＋bc) ≥ 6( 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)取等號(hào) ) ． ∴ (ba＋ab) ＋ (ca＋ac) ＋ (cb＋bc) － 3 ≥ 3. 即b ＋ c － aa＋c ＋ a － bb＋a ＋ b － cc≥ 3. 不等式的證明技巧 — 字母輪換不等式的證法 已知 a 、 b 、 c 是正實(shí)數(shù) 求證：bca＋acb＋abc≥ a ＋ b ＋ c . [ 分析 ] 由可要證的不等式兩邊是三項(xiàng)，而均值不等式只有兩項(xiàng)，故可嘗試多次使用均值不等式． [ 證明 ] ∵ a 、 b 、 c 是正實(shí)數(shù)， ∴bca＋acb≥ 2bcaacb＝ 2 c ( 當(dāng)且僅當(dāng)bca＝acb，即 a ＝ b 時(shí)，取等號(hào) ) ； acb＋abc≥ 2acbabc＝ 2 a ( 當(dāng)且僅當(dāng)acb＝abc，即 b ＝ c 時(shí)，取等號(hào) ) ； abc＋bca≥ 2abcbca＝ 2 b ( 當(dāng)且僅當(dāng)bca＝abc，即 a ＝ c 時(shí)，取等號(hào) ) ． 上面三個(gè)不等式相加得 2bca＋ 2acb＋ 2abc≥ 2 a ＋ 2 b ＋ 2 c ( 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)，取等號(hào) ) ． ∴bca＋acb＋abc≥ a ＋ b ＋ c . [ 方法總結(jié) ] 1. 使用均值不等式時(shí)，一定要注意是否滿足條件，等號(hào)能否成立． 2 ．對(duì)于證明多項(xiàng)和的不等式時(shí)，可以考慮分段應(yīng)用均值不等式或其變形，然后整體相加 ( 乘 ) 得結(jié)論． 已知 a、 b、 c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)
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