【文章內(nèi)容簡介】 hyRx?2yhS2xhSyxhS976N ?826800X?23???yRx?257745yS 241146xS ?43051yxS ?1 2 3 427 297 252 367200 251600 208000 10 7 6 試對總體總和 (該地區(qū)實際耕地面積總和 )用各種手法進行 估計 . Y(1)簡單隨機抽樣估計 由于分層抽樣是在各層按比例分配進行的，因此可以將 23個村所得數(shù)據(jù)看作是從總體 976 個村中抽取的一個較合理 的簡單隨機樣本，上表中最后一行的數(shù)據(jù)都是基于這樣的“ 簡單隨機樣本”而計算的。 976 933 .60 87 911 202 ( )y N y? ? ? ? ? 畝為求精度，常用其標(biāo)準(zhǔn)差 ( ) ( ) ( )s y V ar y N V ar y??若用 ，則有 211( ) ( )yV ar y snN??11( ) 976 ( ) 5774 6 4832 4 ( )23 976sy ? ? ? ? ? 畝然而我們的這些數(shù)據(jù)畢竟是從分層抽樣而得到的，利用分層 估計真正的簡單隨機抽樣的平均數(shù)的方差，可以借用一個近 似公式（用于按比例分配的分層抽樣情況）也許更為精確： 21( ) ( )( 1 ) y stN n nv y s v yn N n?? ???? ??? ??2211 1 1()( 1 )ky h y hhN n n s W sn N n n N ??? ??? ? ???? ?? ?() ( ) ( ) 97 6 ( ) 48 35 1 ( )s y N v y v y? ? ? ? 畝此時 976 23 23 1( ) { 577 4523 ( 976 1 ) 23vy ???11( ) ( 75 4206 3 43 3122 1 82 1 2147 7 ) }23 976? ? ? ? ? ? ?245. 4235?兩種算法的差距并不大。 (2)簡單隨機抽樣比估計 ? 1236 8268 00 9105 02 ( )R yy X R Xx? ? ? ? ? 畝2 2 2( 1 ) ?( ) (R y xfs y N S R Sn????2 ) 230 95 ( )xyRS?? 畝(3)分層隨機抽樣簡單估計 1910 780 ( )kst h hhy N y???? 畝( ) ( )st sts y N v y?2111() khhhN W SnN??? ? 11976 ( ) ( 75 420 33 43 312 71 82 121 470 .667 )23 976? ? ? ? ? ? ?489 75 (? 畝）(4)分層隨機抽樣分別比估計 1?kRS RS h hhy N y R X?? ? ? ??367 200 203 27 251 600 140 86 208 000 228 57? ? ? ? ? ?909 322 ( )? 畝22 2 21( 1 ) ?( ) (k hhRS y h h xhh hNfs y s R sn??????2)h yxhRs? 153 60 ( )? 畝(5)分層隨機抽樣聯(lián)合比估計 1? st stc ksthhhyyRx Nx????910780 690827463?? ? 00 69 0 82 68 00 91 00 50 ( )Rc cy R X? ? ? ? 畝22 2 21( 1 ) ?( ) (k hhRc Y h c xhh hNfs y S R sn??????2)c yxhRs? 159 36 ( )? 畝 從以上五種情況的結(jié)果分析，兩種簡單估計的精度較差 因為他們沒有充分利用已知的 及 的信息，三種比估計由 于利用了 的信息，顯然精度大大提高了。 XxX 同時我們注意到分層隨機抽樣的兩種比估計比起簡單隨 機抽樣的比估計效果略好一些，這是因為在實際測量中已分 的三層的確有所區(qū)別。 最后我們指出，在分層隨機抽樣中，分別比估計與聯(lián)合 比估計有著幾乎差不多的效果，這正是我們在正文中所闡述 的理由，當(dāng)每層抽樣容量 不很大時，聯(lián)合比估計不比分別 比估計來的差。 hn 一個有趣的事實是對于 的估計，恰好三個比估計比起 兩個簡單估計要略低一些，由于隨機性，當(dāng)然我們不能指認(rèn) 到底哪一個估計比較接近事實，但是三種比估計統(tǒng)統(tǒng)略低會 使我們產(chǎn)生這樣一個想法：這是否會是由于比估計本身時有 偏性而引起的呢？對于上面具體例子我們?nèi)狈Ω鶕?jù)說它們偏 小了些。但是比估計的有偏性卻在理論上是無法否認(rèn)的事實 調(diào)查工作者與統(tǒng)計學(xué)家一直在設(shè)法盡力減少偏差，這稱為估 計量的“糾偏”。 Y167。 4 回歸估計量 前面討論的比估計之所以能在精度方面獲益匪淺，是因 為我們充分利用了已知的輔助變量 X 的信息，而且這個輔助 變量 X 與我們所關(guān)心的變量 Y 之間有著密切的關(guān)系，這種關(guān) 系越密切，對 Y 的某些指標(biāo)的估計精度就越高。 現(xiàn)在假定變量 Y與 X之間存在著線性回歸關(guān)系（但不是通 過原點），又假設(shè) X的信息已知或部分已知，我們想利用 X的 信息提高對 Y的估計精度。 簡單隨機抽樣情況 設(shè)從總體 中隨機無放回的抽取樣本 ，若變量 關(guān)于 的回歸直線不通過 原點，具有如下形式： ( , ) 1 , 2, ,iiY X i N?( , ) 1 , 2, ,iiy x i n?iyix 01 1 , 2, ,i i iy x i n? ? ?? ? ? ?() iy?iy的回歸值 估計為 相應(yīng)的，總體總和 的回歸估計為： Y這里 可以是一個設(shè)定的常數(shù)，也可以是估計得到的回歸 系數(shù)。例如，若設(shè)定 ，則 即為簡單估計量； 若令 是一個估計量，則 ? 0? ?tryy?yx? ()lryyy y X x Xxx? ? ? ?其中 是 的估計量。為方便起見，記 ，我們可 以用所有 N個 的回歸值 的平均值來估計總體平均數(shù) 這樣就得到 的線性回歸估計，倘若 已知，有： 1????iy?iy YXY1??1即為比估計量?？梢娀貧w估計包含簡單估計和比估計。 1?? ()iiy y x x?? ? ?() lry y X x?? ? ?() lr lry N y??() （ 1） 為設(shè)定常數(shù)的情形 ? 這種情況在實際應(yīng)用中是存在的。比如為同一目的進行 的調(diào)查已重復(fù)進行多次，將以前數(shù)據(jù)中 關(guān)于 計算而得的 回歸系數(shù)（倘若前幾次該系數(shù)比較穩(wěn)定在某一數(shù)值的話）直 接作為最新調(diào)查的 設(shè)定值。 iY iX? 首先研究這種簡單回歸估計值的期望。注意到 是 的 無偏估計， 又是 的無偏估計，因此，有： yYxX ( ) ( ) ( )lrE y E y E X x Y?? ? ? ?() 即回歸估計量是總體平均數(shù)的無偏估計。 的方差可計算為： lry2 2 21( ) ( 2 )lr Y X Y XfV ar y S S Sn ???? ? ?() 由 ()以及 ()可知，無論 是怎樣的設(shè)定值， 總 是 的無偏估計，估計的精度與 的設(shè)定值有關(guān)。 ? lryY ?()式的右端實際上是 的二次三項式，又由于 前的系 數(shù)為 是個正數(shù)，因此，只要適當(dāng)選取 就可使 達(dá) 到最小值，利用高等數(shù)學(xué)的知識，可得使 達(dá)到最小 值的 應(yīng)為： 2?2XS ? ()lrVar y?lrVar y其中 為 X 和 Y 的相關(guān)系數(shù)，此時最小方差為： ?22m in1( ) ( 1 )lr YfV ar y Sn?????() 1m in21( ) ( )()Niii YNXiiY Y X XSSXX?? ??????