【文章內(nèi)容簡介】 條件：各層樣本量不大 聯(lián)合回歸估計是對 作分層估計；然后構(gòu)造總體均值和總量的聯(lián)合估計量。 （先分層再回歸） 總體均值、總量的聯(lián)合估計量： ? ?ststlr c xXyy ??? ? ? ?ststlr clr c XXYyNY ??? ???? ?XY與其中： ?? h hhst yWy ?? h hhst xWx2023/2/3 62 當(dāng)回歸系數(shù)為事先給定的常數(shù)時，聯(lián)合估計量 是無偏的，其方差為： ? ? ? ? ? ?yxhxhyhh hhhlr c SSSnNfNyV ?? 21 22222???? ?? ? ? ? ? ?? ????hyxhxhyhhhhlr c SSSnfNYV ?? 21? 2222lrclrc Yy ?及2023/2/3 63 ? 當(dāng) 取 時 , 達到最小。 當(dāng)回歸系數(shù)未知時，取 為 的樣本估計： ?? ?? ????????Lh hxhhhLh hyxhhhcnSfWnSfWB1221211? ?lrcyV?cB? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ??????????????hxhhhhhyxhhhhhniihhhhhnihhihhihhhhcsnfWsnfWxxnnfWxxyynnfWbhh222122111111122 2 21( 1 )( ) ( 2 )L hhlr c y h c x h c x y hh hWfV y S B S B Sn??? ? ?? 22 2 21( 1 )( ) ( 2 )L hhlr c y h c x h c x y hh hWfv y s b s b sn??? ? ??2 :hr第 h層樣本相關(guān)系數(shù)的平方 ? ?? ?21221( 1 ) /( 1 ) /Lh h x y h hhc Lh h x h hhW f s nbW f s n???????2023/2/3 65 這時聯(lián)合估計是有偏的 ,但當(dāng)樣本量 n 較大時 ,估計量的偏倚趨于零 ,回歸估計是漸近無偏的，且 ? ? ? ? ? ?yxhcxhcyhh hhhlr c SBSBSnfWyV 21 2222 ???? ?? ?lrcyV ? ?? ? ? ?yxhcxhcyhh hhhlr c sbsbsnfWyv 21 2222 ???? ?方差 的樣本估計為 : 2023/2/3 66 (三 )分別回歸估計與聯(lián)合回歸估計的比較 ? 當(dāng)回歸系數(shù) 事先設(shè)定 時，分別回歸估優(yōu)于聯(lián)合回歸估計，尤其在 各層回歸系數(shù)相差較大時，分別回歸估計更好。 ? 當(dāng)回歸系數(shù)由 樣本估計 時，如果各層的 樣本量不太小，且各層的 回歸系數(shù) 相差較大，還是采用分別回歸估計為宜。若各層的樣本量不太大，且各層的回歸系數(shù)大致相同，則采用聯(lián)合回歸估計較好。若層內(nèi)的回歸系數(shù)差別不太大，而每層的樣本量并非都相當(dāng)大時，聯(lián)合回歸估計可能更保險些。 2023/2/3 67 ? 【 例 】 P45 :(續(xù)前例 )利用回歸估計量估計該市港口生產(chǎn)單位 1997年完成的吞吐量。 解 : 樣本回歸系數(shù) : ? (1)按分別回歸估計量估計 : ? =+= h=1,非國有 h=2,國有 hb ? ?? ?????????2121?hhhhhhlr hhhlr s xXbyNyNY2023/2/3 68 ? ? ? ? ? ? 469 522211? 222212???????? ??xhhyhh hhhhhlr s sbsnnnfNYv? ? ? ? ?? lr slr s YvYs? ?? ?029 253 575 11222???????hxhhhhhyxhhhhcsnfWsnfWb(2)按聯(lián)合回歸估計量估計 : 2023/2/3 69 ? ?? ? 753279 700274 310???????????stcstlr cXXbYY? ?? ?? ? 332 91621? 2222??????? ?yxhcxhcyhh hhhlr csbsbsnfNYv? ? ? ? ?? lr clr c YvYs2023/2/3 70 小結(jié) 比估計量與回歸估計量的異同： ? ，比估計量是一個簡單估計量 的線性組合，而回歸估計量兩個簡單估計量 的線性組合；但實質(zhì)上都是利用兩個簡單估計量和輔助變量來估計總體指標(biāo)。 ? 關(guān)系；回歸估計量借助兩者之間的線性相關(guān)關(guān)系。 R? yx、2023/2/3 71 第四節(jié) 樣本量在各層的分配 簡單隨機抽樣只需要根據(jù)調(diào)查精度的要求與費用的限制來確定抽樣容量的大小，而分層抽樣則提出另一個重要的問題，一旦確定 n，又如何在各層中分配抽樣容量 ，其中有些問題要考慮，比如在各層中各有精度的要求以及費用的限制，由于各層具有各自的鮮明特征，其花費自然不同，因而在樣本容量分配上必須帶有經(jīng)濟觀點。另一個重要考慮因素是由于 的不同而帶來數(shù)據(jù)處理的困難。 樣本量的分配必須盡可能地使估計量及其方差具有較簡單的形式，從而使數(shù)據(jù)匯總工作量小，做到省時省力。 hn2023/2/3 72 樣本量分配對精度的影響 2023/2/3 73 某個總體分為三層，其層權(quán) 及層標(biāo)準(zhǔn)差 見下表，設(shè)總樣本量為 300，考慮四種不同的樣本量分配，并計算出每一種分配下，總體均值估計量的方差： 樣本量的不同分配對方差的影響 hWhS h 常數(shù)分配 與 成正比 與 成正比 與 成正比 1 20 100 49 60 40 2 30 100 110 90 90 3 34 100 141 150 170 hWhS? ?yV 2hS hhSW2023/2/3 74 2023/2/3 75 (一 )比例分配（ proportional allocation ） 即在分層抽樣中，若每層的樣本量 nh 都與層的大小 Nh 成比例，即 也就是按各層的層權(quán)進行分配，即大的子總體多抽一些，小的子總體少抽一些。 比例分配時， 也與層權(quán) 成比例。 簡單隨機抽樣中總體的每一個單元入樣的概率即為抽樣比 f 。因而按 比例分配 而在各層中進行 簡單隨機抽樣 的分層方法，任何一層中的樣本被抽中的概率都為 f。因此比例分配的分層隨機抽樣是一種 等概率 抽樣。 或 hn hWhw2023/2/3 76 總體均值 的估計是 : 顯然估計量有相當(dāng)簡單的形式。 2023/2/3 77 ? 自加權(quán)： 如果總體總量 (或均值 )的無偏估計量可以寫成樣本觀測值的總和 (或平均數(shù) )的常數(shù)倍（如： Y=ky或 ），那么這種樣本 (或估計量 )稱作 自加權(quán) 的或 等加權(quán) 的。 ? 按比例分配的分層抽樣就是自加權(quán)的。簡單隨機抽樣 (放回的和不放回的 )也是自加權(quán)的。 ykY ?2023/2/3 78 的方差為 : 注意： 是各層方差按層權(quán)的加權(quán)平均 ! ??LhhhSW122023/2/3 79 二 . 最優(yōu)分配 (一 ) 最優(yōu)分配 在分層隨機抽樣中， 在總費用給定的條件下，估計量的方差達到最?。换蛟诮o定估計量方差的條件下，使總費用最小的各層樣本量的分配稱為最優(yōu)分配 (optimum allocation)。 簡單線性費用函數(shù)： 2023/2/3 80 ? 建立目標(biāo)函數(shù)： ? 根據(jù)柯西 許瓦茲（ CauchySchwarz）不等式，對于任意的 ，有 ,0,0 ?? hh ba? ?? ????????????????????????????????????????????????????????????221221120hhhhhLh hhhLhhhLhhhnSWncnSWncNSWVCCVC222????????????????????????? ???hhhh baba通過極小化目標(biāo)函數(shù)，可同時達到給定方差下費用最小和給定費用下方差最小的效果。 2023/2/3 81 ? 當(dāng)且僅當(dāng) (K為常數(shù) )時，上式等號成立。所以對于目標(biāo)函數(shù)則有： ? 上式成立的條件是 : Kbahh ?22???????????????????????????? ?? hhhhhhhh SWSWncVCKSWncnSWnchhhhhhhhh??/2023/2/3 82 ? 所以 則 使目標(biāo)函數(shù)達到最小時的最優(yōu)分配為： hhhh cSKWn /?hhhh cSWKnn /?? ?? ????hhhhhhhhhhhhhcSNcSNcSWcSWnn////2023/2/3 83 上式表明， 越大 (即層越大 )，則層內(nèi)抽樣應(yīng)越多；又若 越大 (即層內(nèi)變差越大 )，則層內(nèi)抽樣也應(yīng)越多；但如果 越大 (即層內(nèi)平均每單元費用越大 )，則在該層中的抽樣應(yīng)少一些。即最優(yōu)分配的 與 或 成正比，與 成反比。 hNhS hchn hhSW hhSN c2023/2/3 84 由此得出下面的行為準(zhǔn)則，如果某一層： ? 單元數(shù)較多 ? 內(nèi)部差異較大 ? 費用比較省 則對這一層的樣本量分配較多些。 2023/2/3 85 (二 ) Neyman(內(nèi)曼 )分配 條件： 如果每層抽樣的費用相同，即 時，最優(yōu)分配可簡化為： 將 代入 即得： Lh ,. ..2,1?hn??????LhhhLhhhNSWnSWVh 121222023/2/3 86 達到 最小 : 【 例 】 (續(xù)例 )p69如果樣本量為 n = 40,則按比例分配和 Neyman分配 ,各層的樣本量應(yīng)為多少 ? 解 : 按比例分配時 ,各層的樣本量為 : 即各層的樣本量分別為 :3， 6， 11， 20 ? （公式計算結(jié)果如果帶小數(shù)，這時樣本容量不按四舍五入法則