研究生應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計預(yù)備知識(講稿)(編輯修改稿)
2025-02-03 03:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 bE Y a bX Y E XY EX EYXYD aX bY a D X b D Y a bDXD X D XP X EX orP X EX?????? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?（ 為 常 數(shù) ）. 若 獨 立 ， 則若 獨 立 ， 則（ 為 常 數(shù) ）. 切 比 雪 夫 (Tchebichev) 不 等 式0 ， 若 則 有222 2 26. ( S c hw a r z ) , , [ ( ) ]7. 0 , l im .nnnEX EYE XY EX EYXXEX EX??? ? ? ?????許瓦茲 不等式若則單調(diào)收斂定理若則167。 4 常用分布族 1101 X, 0 ,( 。 , ) ()0 , 0., ~ ( , )( ) . ( 1 , )( n , )xaxx e xfxxx e dxn?????? ?????????????????? ????????????一 、 分 布 族定 義 若 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 函 數(shù) 為則 稱 X 服 從 分 布 記 作 X 。 其 中注 是 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 ；是 相 互 獨 立 的 個 參 數(shù) 為 的 指 數(shù) 分 布 之 和 。一、政治思想 1112 , , ~ ( , ) ,( , ) .n i inni i iiiX X XX??????????定理 設(shè) 是相互獨立，且 則～ 21 ~ ( , ) ,XEX D X?????????定理 設(shè) 則21222 /211= , = , , ( ) , ( , ) = ( ) ,2 2 2 21, 0 ,( 。 ) 2 ( / 2)0 , 0.xnnnnnne x xxn nxn? ? ? ? ????????? ?????22則得 分布族記作 即概率密度為其中參數(shù) 稱為自由度。22222 ~ ( ) , , 2 。( 2) ,~ ( ) , ~ ( )~ ( )X n EX n D X nXYX m Y nX Y m n?????????推論 分布具有下列性質(zhì)：(1) 若則分布可加性：設(shè) 相互獨立，且，則1214 , , ( 0 , 1 ) , ( ) .nniiX X NXn???? ?22n定理 設(shè) 是相互獨立，且都服從正態(tài)分布 則隨機(jī)變量～1211115( ) , ,( 0 , 1 ), , ,()=.nnmiik k n kkknkiXXNQ Q XQ f X X ffn????? ??2定理 柯赫倫分解定理 設(shè) 是相互獨立，且都服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量，又其中 是秩為 的 的非負(fù)二次型則 相互獨立,且～ 的充分必要條件是112 X()( 1 ) , 0 1 ,( ) ( )( 。 , )0 , ., ~ B ( a , ) , a ,b 0ababx x xabf x a beb???????? ? ????????二 、 分 布 族定 義 若 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 函 數(shù) 為其 他則 稱 X 服 從 分 布 記 作 X 其 中 為 參 數(shù) 。26 ~ ( , ) ,( ) ( 1 )X Be a ba abEX D Xa b a b a b??? ? ? ?定理 設(shè) 則122 X1()2( 。 ) ( 1 ) , ( , ) .()2nnxf x n xn nn ?????? ? ? ? ? ??三 、 t 分 布 族定 義 若 隨 機(jī) 變 量 的 概 率 密 度 為則 稱 X 服 從 自 由 度 為 n 的 t 分 布 , 記 作 X ～ t(n) 。327 ~ ( 0 , 1 ) , ~( ) ./X N Y X YXT t nYn??定 理 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 (n), 且 和 相 互 獨 立 ，則 隨 機(jī) 變 量～24 ()2( ) ( ) , 0 ,( 。 , )( ) ( )220 0., ~ ,mnXmnmmxxmnf x m n nnx????????? ???????四、 分布族定義 若隨機(jī)變量 的概率密度為，則稱X服從 自由度為m,n的 F分布 記作X F(m, n) m,n分 別稱為第一和第二自由度。F228 ~ , ~/( , ) ./X Y X YXmF F m nYn???定理 設(shè)隨機(jī)變量 (m) (n), 且 和 相互獨立，則隨機(jī)變量～1 ~ ( , ) ~ ( , ) .F F m n F n mF推論 若 ，則五 . 多元正態(tài)分布族 ? ?122112 22211221 2 221 2 2()11( , ) e xp2 1 2 1( ) ( ) ( ) 2 .XXxf x xrrx x xr??? ?
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