【文章內(nèi)容簡介】 為 P(F∣D)= ；作試驗結果不好的概率為P(U∣D)= ；問在該地區(qū)作試驗后 ， 有油與無油的概率各是多少 ？ 解： 先計算做地震試驗好與不好的概率； 做地震試驗好的概率 （ 全概公式 ） P(F)=P(O)P(F∣O) ＋ P(D)P(F∣D) = ＋ = 31 做地震試驗不好的概率 P(U)=P(O)P(U∣O) ＋ P(D)P(U∣D) = ＋ = 做地震試驗好的條件下 ， 無油的概率 : ( ) ( | ) 9( | )( ) 11P O P F OP O FPF? ? ? 利用貝葉斯公式計算各事件的事后 （ 后驗 ） 概率 ， 做地震試驗好的條件下 ， 有油的概率 : ( ) ( | ) 2( | )( ) 5 11P D P F DP D FPF? ? ?32 做地震試驗 不 好的條件下 ， 無油的概率 : ( ) ( | ) 5 1( | )( ) 5 9P O P U OP O UPU? ? ?做地震試驗 不 好的條件下 ， 有油的概率 : ( ) ( | ) 8( | )( ) 9P D P U DP D UPU? ? ?33 例 3： 某廠生產(chǎn)電子元件 。 每批產(chǎn)品次品率的概率分布如下表：該廠進行抽樣檢驗 ， 現(xiàn)抽樣 20件 ， 發(fā)現(xiàn)一件次品， 試修訂事前概率 。 解： 根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算相應概率列表如下： 次品率 p 事前概率 P(p) 34 次品率 p 事前概率 PO(p) 條件概率 P(x=1|20,P) 聯(lián)合概率P(x=1∧ p) 事后概率P(p|x=1) (1) (2) (3) (4) (5) 0. 02 合計 P(x=1) = 35 表中第 （ 3） 列的數(shù)字表示在次品率為 p總 體中抽 20個檢驗 ， 有 1個次品 的概率 ， 這概率可由以下計算得到 。 因為產(chǎn)品抽樣檢驗的次品率是服從 二項分布 。 這可 通過 計算或查表得到： P(x =1|20,)= P(x=1|20,)= !( | , ) ( 1 )! ( ) !x x n x x n xnnP x n p C p q p px n x??? ? ??表中第 (4)列數(shù) 字 是按 (4)=(2)(3)求得的 。 然后求得： P(x =1)=∑P( x=1∧p i)= 事后概率按： (5)=(4)/P(x =1)=(4)/ 求得 。 36 第 五 節(jié) 效用理論在決策中的應用 一 、 效用及效用曲線 效用概念首先是由貝努利提出的 ， 他認為人們對錢財?shù)恼鎸崈r值的考慮 ， 與他的錢財擁有量有對數(shù)關系 ， 如右圖 。 效用 U 貨幣 M 這就是貝努力的貨幣效用函數(shù) ， 經(jīng)濟管理學家將效用作為指標 ， 用來衡量人們對某些事物的主觀價值 ， 態(tài)度 、偏愛傾向等等 。 37 保險業(yè)中 ， 盡管按期望值得到的受災損失比所付的保險金額要小的多 。 或購買獎券時 ， 按期望值計算的得獎金額 ， 要小于購買獎券的支付 ， 但仍然有很多人愿意付出相對小的支出， 為了避免可能出現(xiàn)的很大損失 ， 或有機會得到相當大一筆獎金 。 可見實際取貨幣價值大小不能完全用來衡量一個人的意愿傾向 ， 由于具體的情況和每個人所處地位的差異對一定錢數(shù)的吸引力及愿冒風險的態(tài)度是不同的 ， 為了具體進行衡量 ， 在決策分析中引進了效用值這個概念 。 例如在風險情況下進行決策 ， 決策者對風險的態(tài)度是不同的 ， 用效用來量化 決策者對待風險的態(tài)度 ， 可以給每個 決策 測定他的 效用曲線 （ 函數(shù) ） 。 最大期望收益值的決策在風險決策中得到廣泛應用 ， 但在有些情況下 ， 決策者并不按這個原則去做 。 比較典型的例子：一是保險業(yè) ， 二是購買各種獎券 、 彩票 。 38 例 1： 有一個投資為 200萬元的工廠 。 該廠發(fā)生火災的可能性是 ％ 。 工廠的決策者面臨的問題是：要不要保險 。 若保險 ， 每年應支付 2500元保險費 ， 在一旦發(fā)生火災后 ， 保險公司可以償還全部資產(chǎn) 。 若不保險 ， 就不需要支付保險費 ， 但發(fā)生火災后 ， 工廠的決策者承擔資產(chǎn)損失的責任 。 決策者面對這個決策問題時，若仍按貨幣益損期望值為準則進行決策，他的結論懸不保險。因為工廠發(fā)生火災的損失的期望值是 :200萬元 ＝ 2023元小于保險費。這種結論往往與實際情況不一致。工廠決策者一般都是愿意保險她并愿意每年支付保險玖而不希望發(fā)生火災。 39 例 2: 設工人甲在工作中作出了貢獻 。 廠領導決定給他發(fā)一筆獎金 ， 并規(guī)定兩種領獎辦法 : 第一種 ， 直接發(fā)給某甲 100元獎金 。 第二種 ， 采用抽簽發(fā)獎辦法 ， 抽中了 ， 可得到獎金 300元 ， 抽不中 ， 則得不到獎金 。 (抽中或抽不中的概率各為 )。 問甲愿意按那種辦法領獎 ? 40 在風險情況下 ， 只作一次決策時 ， 再用最大期望值決策準則 ， 就不那么合理了 。 如下表是各方案及按最大收益期望值的計算結果 。 表中的三個方案的 EMV 都相同 ， 顯然這三個方案并不是等價的 。 另一方面 ， 因 EMV *給出的是平均意義下的最大 ， 當決策只實現(xiàn)一次時 ， 用 EMV *決策準則就不恰當了 。這時可用最大效用值決策準則來解決這一矛盾 。 效用值是一個相對的指標值 ， 一般可規(guī)定：凡對決策者最愛好 、 最傾向 、 最愿意的事物 （ 事件 ） 的效用值賦予 1， 而最不愛好的賦予 0。 也可以用其他的數(shù)值范圍 ， 如 （ 100 — 0） 。 效用無量綱指標 。 通過效用這一指標可將某些難于量化有質的差別的事物 （ 事件 ） 給予量化 。 如某人面臨多種方案的選擇工作時 ， 要考慮地點 、 工作性質 、 單位福利等等 。 可將要考慮的因素都折合為效用值 。 得到各方案的綜合效用值 ， 然后選擇效用值最大的方案 ， 這就是 最大效用值決策準則 。 41 200 200 200 100 200 500 100 600 500 400 200 200 400 600 500 A B C EMV E4 E3 E2 E1 Ej pi Si 42 確定效用曲線的基本方法有兩種 ， 一種是直接提問法 ， 另一種是對比提問法 。 二、 效用曲線的確定 1． 直接提問法 是向決策者提出一系列問題 ， 要求決策者進行主觀衡量并作出回答 。 例如向某決策者提問： “ 今年你企業(yè)獲利 100萬 ， 你是滿意的 ， 那么獲利多少 ， 你會加倍滿意 ？ ” 若決策者回答 200萬 。 這樣不斷地提問與回答 ， 可繪制出這決策者的獲利效用曲線 。顯然這種提問與回答是十分含糊的 ， 很難確切 ， 所以應用較少 。 43 2． 對比提問法 :設決策者面臨兩種可選方案 A1， A2 。 A1表示他可無任何風險地得到一筆金額 x2 ； A2表示他可以概率 p得到一筆金額 x1， 或以概率 (1p)得到金額 x3 ；且 x1?x2?x3 ， 設 U(x)表示金額 x的效用值 。 若在某條件下 ， 這決策者認為 A A2兩方案等價時 ， 可表示為： pU(x1)+(1p)U(x3)=U(x2) 確切地講 ， 這決策者認為 x2的效用值等于 x1 、 x3的效用期望值 。 于是可用對比提問法來測定決策者的風險效用曲線 。 從上式可見 ， 其中有 x1 、 x2 、 x3 、 p 四個變量 ， 若其中任意三個為已知時 ， 向決策者提問第四個變量應取何值 ？ 并請決策者作出主觀判斷第四個變量應取的值是多少 。 提問的方式大致有三種： 44 (1)每 次固定 x1 、 x2 、 x3的值 ， 改變 p， 問決策者： “ p取何值時 ， 認為 A1與 A2等價 。 (2)每 次固定 p、 x x3的值 ， 改變 x2， 問決策者： “ x2取何值時 ， 認為 A1與 A2等價 。 ” (3)每次固定 p、 x2 、 x3 (或 x1)的值 , 改變 x3(或 x1),問決策者： “ x3(或 x1)取何值時 ， 認為 A1與 A2等價 。 ” 一般采用改進的 V— M 法 。 即每次取 p= ， 固定 x1 、x3利用： (x1)+(x3)=U(x2) ， 確定 x2的值 ， 由此 可繪出這決策者的效用曲線 。 45 當用計算機時需用解析式來表示效用曲線 ， 并對決策者測得的數(shù)據(jù)進行擬合 ， 常用的關系式有以下六種 。 三、 效用曲線的擬合 （ 1） 線性函數(shù)： U(x) = c1 + a1(x –c2) （ 2） 指數(shù)函數(shù)： ? ?22()11( ) 1 a x cU x c a e ?? ? ? （ 3） 雙指數(shù)函數(shù)： ? ?2 2 3 3( ) ( )11( ) 2 a x c a x cx c a ee ??? ? ? ? （ 4） 指數(shù)加線性函數(shù)： ? ?22()1 1 3 3( ) 1 ( )a x cU x c a a x ce ?? ? ? ? ? （ 5） 冪函數(shù)： ? ? 41 1 2 2 3