【正文】 設(shè) U(x)表示金額 x的效用值 。 于是可用對比提問法來測定決策者的風(fēng)險(xiǎn)效用曲線 。 提問的方式大致有三種： 44 (1)每 次固定 x1 、 x2 、 x3的值 ， 改變 p， 問決策者： “ p取何值時(shí) ， 認(rèn)為 A1與 A2等價(jià) 。 ” (3)每次固定 p、 x2 、 x3 (或 x1)的值 , 改變 x3(或 x1),問決策者： “ x3(或 x1)取何值時(shí) ， 認(rèn)為 A1與 A2等價(jià) 。 即每次取 p= ， 固定 x1 、x3利用： (x1)+(x3)=U(x2) ， 確定 x2的值 ， 由此 可繪出這決策者的效用曲線 。 三、 效用曲線的擬合 （ 1） 線性函數(shù)： U(x) = c1 + a1(x –c2) （ 2） 指數(shù)函數(shù)： ? ?22()11( ) 1 a x cU x c a e ?? ? ? （ 3） 雙指數(shù)函數(shù)： ? ?2 2 3 3( ) ( )11( ) 2 a x c a x cx c a ee ??? ? ? ? （ 4） 指數(shù)加線性函數(shù)： ? ?22()1 1 3 3( ) 1 ( )a x cU x c a a x ce ?? ? ? ? ? （ 5） 冪函數(shù)： ? ? 41 1 2 2 3( ) ( ) aU x a c a c x a? ? ? ?（ 6） 對數(shù)函數(shù)： 1 1 3 2( ) l og( )U x c a c x c? ? ?46 第 六 節(jié) 序列決策（決策樹方法） 有些決策問題 ， 當(dāng)進(jìn)行決策后又產(chǎn)生一些新情況 ，并需要進(jìn)行新的決策 ， 接著又有一些新情況 ， 又需要進(jìn)行新的決策 。 描述序列決策的有力工具是決策樹 ，決策樹是由決策點(diǎn) ， 事件及結(jié)果構(gòu)成的樹形結(jié)構(gòu)圖 。 47 例 1： 某洗衣機(jī)廠，根據(jù)市場信息認(rèn)為單缸洗衣機(jī)將不受消費(fèi)者歡迎，雙缸洗衣機(jī)可以上馬，現(xiàn)在有兩種方案可供選擇： A1： 把原生產(chǎn)單缸洗衣機(jī)生產(chǎn)線改造擴(kuò)建為生產(chǎn)雙缸機(jī)的生產(chǎn)線； A2： 保留原生產(chǎn)單缸機(jī)的生產(chǎn)線，新建一條生產(chǎn)雙缸機(jī)的專門生產(chǎn)線。在兩種情況下各方案的益損值如下表，試求最優(yōu)方案。 80 30 100 30 65 61 65 2 3 1 50 圓圈 表示狀態(tài)點(diǎn)，從狀態(tài)點(diǎn)引出全部狀態(tài)分支 (或概率分支 )。 三角形 表示結(jié)果點(diǎn)，旁邊的數(shù)字表示這一方案在相應(yīng)狀態(tài)下的益損值。對各狀態(tài)點(diǎn)計(jì)算益損值的期望值，寫在圓圈的上方。 51 計(jì)算完從一個(gè)決策點(diǎn)引出的所有方案分枝所連接的狀態(tài)點(diǎn)的期望值后，按目標(biāo)要求刪去不合要求的方案分枝，把保留下來的方案分枝所連接的狀態(tài)點(diǎn)上的數(shù)字移到?jīng)Q策點(diǎn)上方。保留 A1分枝，把狀態(tài)點(diǎn) 2上的數(shù)字移到?jīng)Q策點(diǎn)的上方。 由這個(gè)例子可以看出，決策樹的繪制可分為建樹和計(jì)算期望值兩個(gè)步驟。然后標(biāo)上相應(yīng)的概率，按上法從右到左（即從結(jié)果點(diǎn)開始）計(jì)算期望值，刪除一些分枝就可得到完整的決策樹。做地震試驗(yàn)的費(fèi)用為每次 3000元，鉆井費(fèi)用為 10000元。 解： 根據(jù)以上資料，可繪出如下圖所示的決策樹： 53 40000 0 10000 1 1 2 2 0 出油 不出油 不鉆井 不出油 3 好 鉆井 不好 不試驗(yàn) 鉆井 40000 0 3 出油 不出油 試驗(yàn) 40000 0 10000 4 4 0 出油 不出油 不鉆井 鉆井 3000 10000 34000 4000 22023 0 不鉆井 24000 0 12023 144000 12023 54 1） 計(jì)算各事件點(diǎn)的收入期望值： 事件點(diǎn) 2： E2 =40000? + 0? =34000 事件點(diǎn) 3： E3 =40000? + 0? =4000 事件點(diǎn) 4： E4 =40000? + 0? =22023 將收入期望標(biāo)在相應(yīng)各點(diǎn)處 （ 圖中紅色數(shù)字 ） 。 55 34000 0 1 1 2 不鉆井 好 鉆井 不好 不試驗(yàn) 試驗(yàn) 3000 4000 0 10000 3 不鉆井 鉆井 10000 4 不鉆井 鉆井 10000 22023 0 56 3） 計(jì)算事件點(diǎn) 1的收入期望值： 事件點(diǎn) 1： E1 =24000? + 0? =14400 4） 在決策點(diǎn)進(jìn)行決策： 決策點(diǎn) 1： max[(144003000),12023]=12023 相應(yīng)決策是不做地震試驗(yàn) 。 24000 1 1 好 不好 不試驗(yàn) 試驗(yàn) 3000 12023 0 57 例 3 ： 決策者的效用函數(shù)如下，試以最大效用期望值決策。 2） 按最大效用期望值決策準(zhǔn)則在各決策點(diǎn)進(jìn)行決策： 決策點(diǎn) 2： max[,]= 決策點(diǎn) 3： max[,]= 決策點(diǎn) 4： max[,]= 并選擇相應(yīng)決策 。 這個(gè)決策問題的決策序列是：先做地震試驗(yàn) ， 試驗(yàn)結(jié)果好則鉆井 ， 試驗(yàn)結(jié)果不好則不鉆井 ， 期望效用為 。 現(xiàn)在需分析為決策所用的數(shù)據(jù)可在多少范圍內(nèi)變動(dòng)原最優(yōu)決策方案有效 ， 進(jìn)行這種分析稱為靈敏度分析 ， 下面舉例說明 。 為使期望得分最多應(yīng)選那一方案?有關(guān)數(shù)據(jù)列于下表： 概率 方案 自然狀態(tài) 白 黑 猜白 500 200 猜黑 150 1000 63 解： 計(jì)算各方案的期望收益值 : 經(jīng)比較可知 “猜白 ”方案是最優(yōu)， “猜白 ”的期望值為： 500+ (200)=290 “猜黑 ”的期望值為： (150)+ 1000=195 現(xiàn)假定出現(xiàn)白球的概率從 ，這時(shí)各方案的期望值為： “猜白 ”的期望值為： 500+ (200)=360 “猜黑 ”的期望值為： (150)+ 1000=80 經(jīng)比較可知 “猜白 ”方案是最 仍 優(yōu) . 64 可見由于各自然狀態(tài)發(fā)生的概率的變化，可引起最優(yōu)方案的改變，那么轉(zhuǎn)折點(diǎn)如何確定？ 現(xiàn)在的最優(yōu)方案不是猜白，而是猜黑了。 即當(dāng) p，猜白是最優(yōu)方案。 66 若這些數(shù)據(jù)在某允許范圍內(nèi)變動(dòng)，而最優(yōu)方案保持不變，這方案就是比較穩(wěn)定的。 67 第 八節(jié) 多目標(biāo)決策模型 前面討論的模型主要涉及單目標(biāo)的問題 ， 而在現(xiàn)實(shí)活動(dòng)中 ， 決策的目標(biāo)卻往往有許多個(gè) 。 這就是一個(gè)多目標(biāo)決策的問題 ． 又如選購一個(gè)好的計(jì)算機(jī)系統(tǒng) ， 似乎只有一個(gè)目標(biāo) ，但由于要從多方面去反映 ， 要用多個(gè)不同的準(zhǔn)則來衡量 ，比如 ， 性能要好 ， 維護(hù)要容易 ， 費(fèi)用要省 。 68 多目標(biāo)決策由于考慮的目標(biāo)多 ， 有些目標(biāo)之間又彼此有矛盾 ， 這就使多目標(biāo)問題成為一個(gè)復(fù)雜而困難的問題 。 一般來說 ， 其基本途徑是 ， 把求解多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為求解單目標(biāo)問題 。 化多目標(biāo)問題為單目標(biāo)問題的方法大致可分為兩類 ，一類是轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)問題；另一類是轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)問題 。 這方面已有不少方法 ， 本章介紹幾種常用的主要模型和方法 。 下面通過具體例子來介紹多目標(biāo)決策模型及其求解方法 。 該問題有 3個(gè)目標(biāo) ， 即： ? ? 121 70 120m ax f x x x??? ? 122 400 600ax f x x x??? ? ? ?3 32m ax f x x x? ? ?（ 利潤最大 ） （ 產(chǎn)值最大 ） （ 污染最小 ） 72 該問題的約束條件為： 建立該問題的多目標(biāo)規(guī)劃模型如下： 121212129 4 2404 5 2003 10 3000，xxxxxxxx???????????? ??73 多目標(biāo)規(guī)劃的求解方法是將多目標(biāo)規(guī)劃化為單目標(biāo)規(guī)劃 。 對于上述模型的 3個(gè)目標(biāo) ， 工廠確定利潤最大為主要目標(biāo) ， 另兩個(gè)目標(biāo)則通過預(yù)先給定的希望達(dá)到的目標(biāo)值轉(zhuǎn)化為約束條件 。 二、 線性加權(quán)和法 于是可將求解多目標(biāo)決策問題轉(zhuǎn)化為求解如下單目標(biāo)決策問題 。 當(dāng)在某個(gè)目標(biāo)時(shí)求得了唯一解 ， 則不再考慮剩下目標(biāo)的最優(yōu)解了 。 三、 字典序法 則字典序法的求解步驟如下： ? ? ? ? ? ?12 mf x f x f x 例如 ， 考慮多目標(biāo)決策問題時(shí) ， 不妨設(shè)各目標(biāo)的重要性排序?yàn)椋? 79 設(shè)該問題的最優(yōu)解為 x*， 且 f1(x) 。 四、 STEM法 步驟法的基本思想是 ， 首先分別求出決策問題的一組理想解 ， 實(shí)際上就是分別對各目標(biāo)求出最優(yōu)解： ? ?* * *12, , , mf f f 這些解無法同時(shí)達(dá)到 ， 但可以當(dāng)作一組理想的最優(yōu)值， 以理想解作為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) ， 可以估計(jì)有效解 。 82 步驟法算法如下： m ax ( ) ,if x x X?第一步：分別求以下 m個(gè)單目標(biāo)問題的最優(yōu)解： 設(shè)最優(yōu)解為 xi*(i＝ 1,2,? ,m)， 其相應(yīng)的目標(biāo)值即理想值為 fi*(i＝ 1,2,? ,m)。 決策者把這些目標(biāo)值與理想值進(jìn)行比較后 ， 如果認(rèn)為其中某些目標(biāo)值太壞 ， 另一些目標(biāo)值可以不需要那么太好 ， 可以把比較好的目標(biāo)值中的某一個(gè)修改得差一些 ， 以使水平太壞的目標(biāo)得到改善 。 86 作業(yè)： P297 ， ， 87