chapter3遠(yuǎn)期和期貨定價(jià)(編輯修改稿)
2025-01-31 09:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 B中，由于標(biāo)的證券的現(xiàn)金收益剛好可以用來(lái)償還負(fù)債的本息，因此在 T時(shí)刻，該組合的價(jià)值也等于一單位標(biāo)的證券。 因此，在 t時(shí)刻，這兩個(gè)組合的價(jià)值應(yīng)相等，即 () 從組合的角度考慮，式（ ）說(shuō)明一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)和(I+Ke –r (Tt))單位無(wú)風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債構(gòu)成。 ()r T tf K e S I??? ? ?()r T tf S I K e ??? ? ?21 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，我們可從式 中求得： （ ） 這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨 遠(yuǎn)期平價(jià)公式。式（ ）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價(jià)格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。 ()r T tf S I K e ??? ? ?() r T tF S I e ???22 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 反證法 ： 假設(shè) ， 即交割價(jià)格高于遠(yuǎn)期理論價(jià)格。則套利者可以進(jìn)行如下操作：以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 借入現(xiàn)金 S買入標(biāo)的資產(chǎn)，并賣出一份 交割價(jià)為 K的 遠(yuǎn)期合約， 將在 Tt期間從標(biāo)的資產(chǎn)獲得的現(xiàn)金收益以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸出至 T時(shí)刻。這樣，到 T時(shí)刻，套利者將標(biāo)的資產(chǎn)用于交割得到現(xiàn)金收入 K，還本付息 ，同時(shí)得到 的本利收入。最終套利者在 T時(shí)刻可實(shí)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn) 。 ()() r T tK S I e ???()r T tSe ? ()() r T tS I e ???r T tIe ?23 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 如果 ，即交割價(jià)格低于遠(yuǎn)期理論價(jià)格。則套利者可以進(jìn)行反向操作：借入標(biāo)的資產(chǎn)賣掉，得到現(xiàn)金收入 S以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸出，同時(shí)買入一份交割價(jià)為 K的遠(yuǎn)期合約。在 T時(shí)刻，套利者可得到貸款本息收入 ，同時(shí)付出現(xiàn)金 K換得一單位標(biāo)的證券，用于歸還標(biāo)的證券的原所有者，并把該標(biāo)的證券在 Tt期間的現(xiàn)金收益的終值 同時(shí)歸還原所有者。這樣，該套利者在 T時(shí)刻可實(shí)現(xiàn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn) 。 ()() r T tK S I e ???()r T tSe ?r T tIe ? ()() r T tS I e K???24 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 25 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 為了給支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)，我們可以構(gòu)建如下兩個(gè)組合： 組合 A： 一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金； 組合 B： 單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中 q 為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的已知收益率。 組合 A在 T時(shí)刻的價(jià)值等于一單位標(biāo)的證券。 組合 B由于獲得的紅利收入全部都再投資于該證券，擁有的證券數(shù)量隨著紅利的不斷發(fā)放而增加，所以在時(shí)刻T，正好擁有一單位標(biāo)的證券。 ()r T tKe ??()q T te??26 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 因此在 t時(shí)刻兩個(gè)組合的價(jià)值也應(yīng)相等，即： （ ） 根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格的定義，我們可根據(jù)式（ ）算出支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格： （ ） 這就是 支付已知收益率資產(chǎn)的現(xiàn)貨 遠(yuǎn)期平價(jià)公式 。 式（ ）表明，支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格等于按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與已知收益率之差計(jì)算的現(xiàn)貨價(jià)格在 T時(shí)刻的終值。 )()( tTqtTr SeKef ???? ?? )()( tTrtTq KeSef ???? ??))(( tTqrSeF ???27 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 28 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 注意， 這里所謂的完美市場(chǎng)，就是我們?cè)诒菊碌谝还?jié)中所討論的基本假設(shè)成立的市場(chǎng)。 從直覺(jué)上理解，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益，投資者 A計(jì)劃出售一單位標(biāo)的資產(chǎn)，以下兩種方法應(yīng)該是等價(jià)的： t時(shí)刻賣出一份遠(yuǎn)期價(jià)格為 F的遠(yuǎn)期合約 [1]，合約到T時(shí)刻交割必定能獲得 F； t時(shí)刻立刻出售獲得 S，并以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r貸出，這樣在 T時(shí)刻可以獲得確定性收入 。 由于 t時(shí)刻兩種投資的價(jià)值都為 S， T時(shí)刻的兩種確定性收入應(yīng)相等： 如果實(shí)際價(jià)格高于或低于上述理論價(jià)格 F，市場(chǎng)上就存在套利機(jī)會(huì)。 ()r T tSe ? ()r T tF Se ??29 Copyright169。 Zheng Zhenlong Chen Rong, 2023 我們可以用持有成本（ CostofCarry）的概念來(lái)概括遠(yuǎn)期價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系。持有成本的基本構(gòu)成如下：
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