【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?2( ? )??1eru iTeTL ?? npJp? 它是模型結(jié)構(gòu)的具體體現(xiàn)，表明異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的下列具體性質(zhì)： （ 1）異步電機(jī)可以看作一個(gè)雙輸入雙輸出的系統(tǒng)，輸入量是電壓向量和定子輸入角頻率，輸出量是磁鏈向量和轉(zhuǎn)子角速度。電流向量可以看作是狀態(tài)變量，它和磁鏈?zhǔn)噶恐g有由式（ 676）確定的關(guān)系。 （ 2）非線性因素存在于 Φ 1（ ?）和 Φ 2（ ?）中，即存在于產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì) er和電磁轉(zhuǎn)矩 Te兩個(gè)環(huán)節(jié)上，還包含在電感矩陣 L 中。 （ 3）多變量間的耦合關(guān)系主要也體現(xiàn)在 Φ 1（ ?）和 Φ 2（ ?）兩個(gè)環(huán)節(jié)之上，特別是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)的 Φ 1對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的影響最大。 坐標(biāo)變換和變換矩陣 上節(jié)中雖已推導(dǎo)出異步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，但是，要分析和求解這組非線性方程顯然是十分困難的。在實(shí)際應(yīng)用中必須設(shè)法予以簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化的基本方法是坐標(biāo)變換。 坐標(biāo)變換的基本思路 從上節(jié)分析異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中可以看出，這個(gè)數(shù)學(xué)模型之所以復(fù)雜，關(guān)鍵是因?yàn)橛幸粋€(gè)復(fù)雜的 6?6 電感矩陣，它體現(xiàn)了影響磁鏈和受磁鏈影響的復(fù)雜關(guān)系。因此，要簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，須從簡(jiǎn)化磁鏈關(guān)系入手。 ? 直流電機(jī)的物理模型 直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型比較簡(jiǎn)單，先分析一下直流電機(jī)的磁鏈關(guān)系。圖中繪出了二極直流電機(jī)的物理模型，圖中 F為勵(lì)磁繞組， A 為電樞繞組， C為補(bǔ)償繞組。 F和 C都在定子上，只有 A是在轉(zhuǎn)子上。 把 F 的軸線稱(chēng)作直軸或 d 軸（ direct axis），主磁通 ?的方向就是沿著 d 軸的； A和 C的軸線則稱(chēng)為交軸或 q 軸（quadrature axis）。 二極直流電機(jī)的物理模型dq?FACifiaic勵(lì)磁繞組電樞繞組補(bǔ)償繞組雖然電樞本身是旋轉(zhuǎn)的，但其繞組通過(guò)換向器電刷接到端接板上，電刷將閉合的電樞繞組分成兩條支路。當(dāng)一條支路中的導(dǎo)線經(jīng)過(guò)正電刷歸入另一條支路中時(shí)，在負(fù)電刷下又有一根導(dǎo)線補(bǔ)回來(lái)。這樣， 電刷兩側(cè)每條支路中導(dǎo)線的電流方向總是相同 ，因此，電樞磁動(dòng)勢(shì)的軸線始終被電刷限定在 q 軸位置上 ，其效果好象一個(gè)在 q軸上靜止的繞組一樣。但它實(shí)際上是旋轉(zhuǎn)的，會(huì)切割 d軸的磁通而產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)，這又和真正靜止的繞組不同，通常把這種等效的靜止繞組稱(chēng)作 “ 偽靜止繞組 ” （ pseudo stationary coils）。 分析結(jié)果 電樞磁動(dòng)勢(shì)的作用可以用補(bǔ)償繞組磁動(dòng)勢(shì)抵消，或者由于其作用方向與 d 軸垂直而對(duì)主磁通影響甚微，所以直流電機(jī)的主磁通基本上唯一地由勵(lì)磁繞組的勵(lì)磁電流決定，這是直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型及其控制系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單的根本原因。磁動(dòng)勢(shì) 的定義：是電流流過(guò)導(dǎo)體所產(chǎn)生磁通量的勢(shì)力，是用來(lái)度量磁場(chǎng)或電磁場(chǎng)的一種量，磁動(dòng)勢(shì)單位為安砸。交流電機(jī)的物理模型 如果能將交流電機(jī)的物理模型等效地變換成類(lèi)似直流電機(jī)的模式,分析和控制就可以大大簡(jiǎn)化。坐標(biāo)變換正是按照這條思路進(jìn)行的。 不同電機(jī)模型彼此等效的原則是：在不同坐標(biāo)下所產(chǎn)生的 磁動(dòng)勢(shì)完全一致。 (a)三相交流繞組??F? i??i?ω1(b)兩相交流繞組（ 3）旋轉(zhuǎn)的直流繞組與等效直流電機(jī)模型?1FMTimit(c)旋轉(zhuǎn)的直流繞組 圖中的兩個(gè)匝數(shù)相等且互相垂直的繞組 M和 T,其中分別通以直流電流 im 和 it， 產(chǎn)生合成磁動(dòng)勢(shì) F，其位置相對(duì)于繞組來(lái)說(shuō)是固定的。 如果讓包含兩個(gè)繞組在內(nèi)的整個(gè)鐵心以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動(dòng)勢(shì) F 自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來(lái)，成為旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。 把這個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的大小和轉(zhuǎn)速也控制成與圖 a 和圖 b 中的磁動(dòng)勢(shì)一樣，那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組等效。 當(dāng)觀察者也站到鐵心上和繞組一起旋轉(zhuǎn)時(shí)，在他看來(lái)， M和 T是兩個(gè)通以直流而相互垂直的靜止繞組。 如果控制磁通的位置在 M軸上，就和直流電機(jī)物理模型沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別了。這時(shí)，繞組 M相當(dāng)于勵(lì)磁繞組， T相當(dāng)于偽靜止的電樞繞組。?等效的概念 由此可見(jiàn)，以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)為準(zhǔn)則，圖 a的三相交流繞組、圖 b的兩相交流繞組和圖 c中整體旋轉(zhuǎn)的直流繞組彼此等效?；蛘哒f(shuō)，在三相坐標(biāo)系下的 iA、 iB 、 iC，在兩相坐標(biāo)系下的 i?、 i?和在旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系下的直流 im、 it 是等效的，它們能產(chǎn)生相同的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。 現(xiàn)在的問(wèn)題是，如何求出 iA、 iB 、 iC 與 i?、 i? 和 im、 it 之間準(zhǔn)確的等效關(guān)系，這就是 坐標(biāo)變換 的任務(wù)。 ?等效的概念2. 三相 兩相變換（ 3/2變換） 在三相靜止繞組 A、 B、 C和兩相靜止繞組 ?、 ? 之間的變換，或稱(chēng)三相靜止坐標(biāo)系和兩相靜止坐標(biāo)系間的變換，簡(jiǎn)稱(chēng) 3/2 變換 。 AN2i?N3iA??N3iCN3iBN2iβ60o60oCB 磁動(dòng)勢(shì)波形是正弦分布的，當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與二相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，兩套繞組瞬時(shí)磁動(dòng)勢(shì)在 ?、 ? 軸上的投影都應(yīng)相等 : 2. 三相 兩相變換（ 3/2變換） 寫(xiě)成矩陣形式，得（ 689） 2. 三相 兩相變換（ 3/2變換） 考慮變換前后總功率不變，在此前提下，可以證明匝數(shù)比應(yīng)為（ 690） 代入式（ 689），得（ 691） 2. 三相 兩相變換（ 3/2變換） 令 C3/2 表示從三相坐標(biāo)系變換到兩相坐標(biāo)系的變換矩陣，則 （ 692） ? 三相 — 兩相坐標(biāo)系的變換矩陣 如果三相繞組是 Y形聯(lián)結(jié)不帶零線，則有 iA + iB + iC = 0，或 iC = ? iA ? iB 。代入式（ 692）和（ 693）并整理后得（ 694） 2. 三相 兩相變換（ 3/2變換） 3. 兩相 — 兩相旋轉(zhuǎn)變換（ 2s/2r變換） 根據(jù)等效的交流電機(jī)繞組和直流電機(jī)繞組物理模型，從兩相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 M、 T變換稱(chēng)作兩相靜止 — 兩相旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱(chēng) 2s/2r 變換，其中 s表示靜止， r表示旋轉(zhuǎn)。 把兩個(gè)坐標(biāo)系畫(huà)在一起，即得下圖。3. 兩相 — 兩相旋轉(zhuǎn)變換（ 2s/2r變換） it sin?i? ??Fs?1imcos??imimsin?itcos?iβitMT? 兩相交流電流 i?、 i?和兩個(gè)直流電流 im、 it產(chǎn)生同樣的以同步轉(zhuǎn)速 ?1旋轉(zhuǎn)的合成磁動(dòng)勢(shì) Fs。由于各繞組匝數(shù)都相等，可以消去磁動(dòng)勢(shì)中的匝數(shù)，直接用電流表示，例如 Fs可以直接標(biāo)成 is。但必須注意，這里的電流都是空間矢量，而不是時(shí)間相量。 M,T軸和矢量 Fs（ is）都以轉(zhuǎn)速 ?1旋轉(zhuǎn)，分量 im、 it的長(zhǎng)短不變，相當(dāng)于 M,T繞組的直流磁動(dòng)勢(shì)。 但 ?、 ? 軸是靜止的， ? 軸與 M 軸的夾角 ?隨時(shí)間而變化，因此 is在 ?、 ?軸上的分量的長(zhǎng)短也隨時(shí)間變化，相當(dāng)于繞組交流磁動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。 由圖可見(jiàn) ,i?、 i?和 im、 it之間存在下列關(guān)系 ： ? 2s/2r變換公式寫(xiě)成矩陣形式，得 （ 696） （ 697） 是兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換到兩相靜止坐標(biāo)系的變換陣 。 式中? 兩相旋轉(zhuǎn) — 兩相靜止坐標(biāo)系的變換矩陣對(duì)式（ 696）兩邊都左乘以變換陣的逆矩陣，即得 : (698) (699) 則兩相靜止坐標(biāo)系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換陣是： 電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換陣也與電流（磁動(dòng)勢(shì)）旋轉(zhuǎn)變換陣相同。 ? 兩相靜止 — 兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣三相異步電動(dòng)機(jī)在兩相坐標(biāo)系上的 數(shù)學(xué)模型 前已指出，異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，坐標(biāo)變換的目的就是要簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型。異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型是建立在三相靜止的 abc坐標(biāo)系上的，如果把它變換兩相坐標(biāo)系上，由于 兩相坐標(biāo)軸互相垂直 ， 兩相繞組之間沒(méi)有磁到的耦合 ，僅此一點(diǎn)，就會(huì)使數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單了許多。 異步電機(jī)在兩相任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 兩相坐標(biāo)系可以是靜止的，也可以是旋轉(zhuǎn)的，其中以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系為最一般的情況，有了這種情況下的數(shù)學(xué)模型，要求出某一具體兩相坐標(biāo)系上的模型就比較容易了。 變換關(guān)系 設(shè)兩相坐標(biāo) d軸與三相坐標(biāo) A軸的夾角為 ?s,而p?s=?dqs 為 dq坐標(biāo)系相對(duì)于定子的角轉(zhuǎn)速，?dqr為 dq坐標(biāo)系相對(duì)于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速。 ABCFs?dqs?sdq 要把三相靜止坐標(biāo)系上的電壓方程（ 667a）、磁鏈方程（ 668a）和轉(zhuǎn)矩方程（ 685）都變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上來(lái)，可以先利用 3/2 變換將方程式中定子和轉(zhuǎn)子的電壓、電流、磁鏈和轉(zhuǎn)矩都變換到兩相靜止坐標(biāo)系 ?、 ? 上，然后再用旋轉(zhuǎn)變換陣 C2s/2r 將這些變量變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 dq 上。變換關(guān)系 ?變換過(guò)程ABC坐標(biāo)系 ?? 坐標(biāo)系 dq坐標(biāo)系3/2變換 C2s/2r（ 1）磁鏈方程 dq坐標(biāo)系磁鏈方程為 : 或?qū)懗? （ 6103a） （ 6103b） —dq 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)子等效兩相繞組的自感 。 式中— dq 坐標(biāo)系定子與轉(zhuǎn)子同軸等效繞組間的互感；— dq 坐標(biāo)系定子等效兩相繞組的自感 ；（ 1）磁鏈方程 異步電機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 dq上的物理模型 ?dqsdqdrird isdirqusddsqrqsurdurqusqisq異步電動(dòng)機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 dq上的物理模型（ 2）電壓方程 （ 6104） 將磁鏈方程式（ 6103b）代入式（ 6104）中，得到 dq 坐標(biāo)系上的電壓 — 電流方程式如下 : （ 6105） 對(duì)比式（ 6105）和式（ 667a）可知，兩相坐標(biāo)系上的電壓方程是 4維的，它比三相坐標(biāo)系上的 6維電壓方程降低了 2維。 在電壓方程式（ 6105）等號(hào)右側(cè)的系數(shù)矩陣中，含 R項(xiàng)表示電阻壓降，含 Lp項(xiàng)表示電感壓降，即脈變電動(dòng)勢(shì)，含 ? 項(xiàng)表示旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)。為了使物理概念更清楚，可以把它們分開(kāi)寫(xiě) :即得 （ 6106a） 令旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)向量 則式（ 6106a）變成： （ 6106b） 這就是異步電機(jī)非線性動(dòng)態(tài)電壓方程式。與 ABC坐標(biāo)系方程不同的是：此處電感矩陣 L變成 4X4常參數(shù)線性矩陣，而整個(gè)電壓方程也降低為 4維方程 。其中 —— 電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度 。 （ 3）轉(zhuǎn)矩和運(yùn)動(dòng)方程 dq坐標(biāo)系上的轉(zhuǎn)矩方程為 （ 6107） 運(yùn)動(dòng)方程與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)，仍為 （ 687） 式（ 6103a）、（ 6104）或式（ 6105），式（ 6107）和式（ 687）構(gòu)成異步電機(jī)在兩相以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的 dq坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型。 它比 ABC坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單得多，階次也降低了，但其非線性、多變量、強(qiáng)耦合的性質(zhì)并未改變。 （ 3）轉(zhuǎn)矩和運(yùn)動(dòng)方程 將式（ 6104）或（ 6105）的 dq軸電壓方程繪成動(dòng)態(tài)等效電路，如圖 651所示，其中，圖 651a是 d軸電路，圖 651b是 q軸電路，它們之間靠 4個(gè)旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)互相耦合。圖中所有表示電壓或電動(dòng)勢(shì)的箭頭都是按電壓降的方向畫(huà)的。（ 3）轉(zhuǎn)矩和運(yùn)動(dòng)方程 異步電機(jī)在 dq坐標(biāo)系上的動(dòng)態(tài)等效電路a） d軸電路 b） q軸電路 ?dqs?sqisdusdRsirdLls LlrLm urdp?sd p?rd?dqr?rq Rr?dqs?sdisqusqRsirqLls LlrLm urqp?sq p?rq?dqr?rd Rr2. 異步電機(jī)在 ? ? 坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 在靜止坐標(biāo)系 ?、 ?上的數(shù)學(xué)模型是任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)速等于零時(shí)的特例。當(dāng) ?dqs=0時(shí)