【文章內容簡介】 ??na 是等差數(shù)列 ④ 前 n 項和公式法： ),(2 為常數(shù)BABnAnS n ?? ? ??na 是等差數(shù)列 課前熱身： 1．等差數(shù)列 ??na 中， ,39741 ??? aaa ?????? 963852 ,33 aaaaaa 則（ B ） A． 30 B． 27 C． 24 D． 21 2．等差數(shù)列 ??na 中， )(31,1 2 01191210864Caaaaaaa的值為則 ?????? A． 14 B． 15 C． 16 D． 17 1651203232)(32)2(31318999119??????????adadaaaa 3．等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，當 da ， 1 變化時，若 1182 aaa ?? 是一個定值，那么下列各數(shù)中也是定值的是（ A ） 8201513 SCSB SBSA ．． ．． 解： )(23223)6(3131711182aaadaaaa???????? 為定值，∴ 131 aa? 為定值， 2 13)( 13113 ???? aaS ，選 A 4．計算機執(zhí)行以下程序： ⑴ 初始值 03 ?? Sx ， ⑵ 2??xx ⑶ xSS ?? ⑷ 2020?S ，則進行 ⑸ ，否則從 ⑵ 繼續(xù)進行 ⑸ 打印 x ⑹ 停止 那么，語句 ⑸ 打印出的數(shù)值為 89 解：由題意知，程序每執(zhí)行一次所得 x 的值形成一個數(shù)列 ??nx 是等差數(shù)列，且首項為 5，公差為 2，相應 S 的值 nS 恰為該數(shù)列的前 n 項和，根據(jù)題意得： 20 102 2)1(5 ????? nnnS 解得 43?n 所以 892)143(543 ?????x 解 5． 設 nS ， nT 分別為等差數(shù)列 ??na 與 ??nb 的前 n 項和 ???? 191952 24 TSnnba nn ，則 514 解： 5145102210422219)(219)(101010101911911911911919????????????????bababbaabbaaTS 典例精析 一、等差數(shù)列的判定與基本運算 例 1： ⑴ 已知數(shù)列 ??na 前 n 項和 nnSn 92 ?? ① 求證： ??na 為等差數(shù)列 ； ② 記數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nT ，求 nT 的表達式。 ⑵ 數(shù)列 ??na 中， nS 是前 n 項和，當 2?n 時 ，)21(2 ?? nnn SaS ① 求證： ??????nS1 是等差數(shù)列， ② 設 12 ?? nSb nn，求 ??nb 的前 n 項和 nT 解： ⑴ ： ① 證明： n =1時， 811 ???Sa ， 當 2?n 時， ? ?102)1(9)1(9 221?????????? ?nnnnnSSa nnn 也適合該式，∴ 102 ?? nan （ ??Nn ） ② nT 的表達式為： 409)20(29269506,05225765216521n2n?????????????????????????????????????nnnnSSaaaaaaaaaaaTnnnSTnanannnnnnn????時，當時，當時，時，??? ??? ???? )6(409 )5(922nnn nnnT n ⑵ ： ① 證明：當 2?n 時， )21)(()21( 12 ????? ? nnnnnn SSSSaS 211)(21111????????nnnnnnSSSSSS即所以 所以??????nS1 是以 111?S為首項， 2 為公差的等差數(shù)列。 ② ：由 ① 得 122)1(1)1(111??????????nndnSSn 所以 12 1?? nSn 所以 )12 112 1(21)12)(12(112?????????nnnnnSb nn 12)1211(21)121121()5131()311(2121????????????????????????nnnnnbbbT nn??點撥：根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，靈活運用求和公式。 二、公式的應用 例 2：設等差數(shù)列 ??na 的首項 1a 及公差 d 都為整數(shù)，前 n 項和為 nS ① 若 980 1411 ?? Sa ， ，求數(shù)列 ??na 的通項公式 ② 若 7706 14111 ??? Saa ， ，求所有可能的數(shù)列 ??na 的通項公式 解： ① 20201014132981111114?????????addaadaS，解得又，得由 所以數(shù)列 ??na 的通項公式是 ： )(222 ???? Nnna n ② ???????????????????????????????122020211132601011132607711111111114adadaadadaaaS即有由 由 ① +② 得 71117 ???? dd ，即 131??d ，又 Zdd ????? 131711 Zaa ??? 11 1210 ， 所以 1a =11 或 1a =12 故所有可能的數(shù) ??na 的通項公式是 ： nana nn ???? 1312 和 （ ??Nn ） 點撥：準確靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式，提高運算能力。 三、性質的應用 例 3：已知等差數(shù)列 ??na 中，公差 d 0 前 n 項和為nS ，且滿足： 1445 4132 ??? aaaa ， ， ① 求數(shù)列的通項公式 ； ② 設 Sb nn ??， 一個新數(shù)列 ??nb ，若 ??nb 也是等差數(shù)列，求非零常數(shù) c ； ③ 求1)25()( ??? nn bn bnf （ ??Nn ）的最大值 解： ??na 為等差數(shù)列， 3241 aaaa ???? =14 3232 045 aadaa ???? ，由又 1495 132 ?????? adaa ，， 344)1(1 ?????? nna n ∴ 數(shù)列 ??na 的通項公式為 34 ?? nan ② 由 ① 知： cbcbcbnnSbnnnnnSnnn??????????????????31526112224)1(132122，所以所以 因為 ??nb 為等差數(shù)列，所 以 321 bbb ， 成等差數(shù)列，所以 （舍去），所以所以021315112122 312??????????cccccbbb 故所求非零常數(shù) nbcn 221 ??? ，且 ③1)25()( ??? nn bn bnf 的最大值： ○ 1 ○ 2 ○ 3 361262512526)1(2)25(2)25()(21????????????????nnnnnnnnbnbnfNnnn， nn 25? 5?n 361)( max ?nf 點撥： ① 利用等差 數(shù)列 的“等和性”求出 2a ， 3a ，從而求出 da，1 及通項公式； ② 先求出 nb 的表達式，再由 ??nb 是等差數(shù)列列出關于 c 的方程，解出 c ③ 可利用函數(shù)思想，求出 )(nf 的最大值 。 數(shù)學門診 若數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列，數(shù)列 ??nb 滿足 21 ?? ??? nnnn aaab （ ??Nn ）， ? ?nb 的前 n 項和為nS ，已知 083 125 ?? aa ，試問 n 為何值時， nS 取得最大值？并證明你的結論。 錯解：因為 083 125 ?? aa ， 0576,00556)7(831555?????????daddadaa，所以所以，所以 可知 ??na 是首項為正數(shù)的遞減數(shù)列。 最大．，所以，又０）（即，由161165815760576157600SnNnnndddndaann????????????????????????????? 正解： 0016 1716 ??? aan ，時，當 最大。中故，即所以且，又，所以，而所以161416161516151815181516151514113141817161617161515181716210059056000SSSSbbbbaadadaSSSSSSSaaabaaabaaaaan?????????????????????????????????? 總結提高 1．在熟練應用基本公式的同時，還要會用變通的公 式，如在等差數(shù)列中 ， dnmaa nm )( ??? ２． 在五個量 nn Sanda ，，1 中的三個量可求出其余兩個量，要求選用公式要恰當，即善于減少運算量，達到快速、準確的目的。 33． 已知三個或四個數(shù)成等差數(shù)列這類問題，要善于設元，目的仍在于減少運算量，如三個數(shù)成等差數(shù)列時，除了設 dadaa 2??， 外 ， 還 可 設daada ?? ， ；四個數(shù)成等差數(shù)列時，可設為mamamama 33 ??? ，＋， 4．在求解數(shù)列問題時，要注意函數(shù)思想，方程思想，消元及整體消元 的方法的應用。 課堂 演練 1 ．設 nS 是 等 差 數(shù)列 ??na 的前 n 項 和， 若?? 12663 31 SSSS ，則 （ A ） A． 103 Ｂ． 31 Ｃ． 81 Ｄ． 91 解：31156 33 1163 ???? da daSS 021 ??? dda 且 10390276612 156 11126 ?????? ddda daSS ２．在等差數(shù)列 ??na 中 132 321 ??? aaa ， ， 則654 aaa ?? 等于（ B ） A． 40 Ｂ． 42 Ｃ． 43 Ｄ． 45 解： 133432 132 ?????? ddaaa 423 143423 5654 5 ???? ?????? aaaa ad ， 3．等差數(shù)列 ??na 中， 1291 0 SSa ?? ， ，則前 10或 11 項的和最大。 解： 0912129 ??? SSSS ，? 00 030111 11121110 ??? ?????? aa aaaa ，又 ， ∴ ??na 為遞減等差數(shù)列∴ 1110 SS ? 為最大。 4． 已知等差數(shù)列 ??na 的前 10 項和為 100，前 100 項和為 10，則前 110 項和為 － 110 解：∵ ?? ，，， 1001102030102020 SSSSSSS ??? 成等差數(shù)列，公差為 D 其首項為 10010?S ，前 10 項的和為 10100?S 1 1 02210101 0 01022102 910101 0 011010100110????????????????????）（又，SDSSSDD ５． 某漁業(yè)公司今年初用 98 萬元購進一艘漁船用于捕撈，第一年需要各種費用 12 萬元，從第二年起包括維修費在內每年所需費用比上一年增加 4 萬元，該船每年捕撈總收入 50 萬元，問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？ 解：設捕撈 n 年后的總盈利為萬元，則 10210102)10(29840242