【導讀】1．會根據(jù)數(shù)列前n項寫出一個通項公式，會運用通項討論其性質，能用函數(shù)觀點認識數(shù)列。2．了解遞推公式的意義，會根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，會求形如cbaann???4．會用倒序相加法推導前n項和公式，掌握并能運用公式解決一些問題。5．理解等比數(shù)列的概念并能運用它導出其通項公式，了解等比中項的概念，會通過通項公式研究它的單調性。、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等求數(shù)列的前n項和。注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒序相加求。和法、錯位相減求和法、裂項相消求和法、函數(shù)與方程思想、分類與討論思想、化歸與轉化思想等。以及思想方法的運用，是本章的難點。常考常新，其主要原因是它作為一個特殊函數(shù)。使它可以與函數(shù)、不等式、解析幾何、三角等綜合起來，這。數(shù)列應用題也倍受歡迎。數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法和遞推法。1．按照數(shù)列的項數(shù)分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

　　

【正文】 nnnbaa21)41(2141)41(211212???????? 即：211 ??nnbb，∴ ??nb 是首項為41?a，公比為 21 的等比數(shù)列。 點撥： ① 運用等比數(shù)列的基本公式，將已知條件轉化為關于等比數(shù)列的特征量 1a ， q 的方程是求解等比數(shù)列問題的常用方法之一，同時應注意在使用等 比數(shù)列前 n 項和公式時，應充分討論公比 q 是否等于 1； ② 應用定義判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列是最直接，最有依據(jù)的方法，也是通法，若判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列可用 （常數(shù)）qaa nn ??1恒成立，也可用 221 ?? ?? nnn aaa 恒成立，若判定一個數(shù)不是等比數(shù)列則只需舉出反例即可，也可以用反證法。 二、性質運用 例 2 ： ⑴ 在 等 比 數(shù) 列 ??na 中，14361 3233 ????? nn aaaaaa ， ① 求 na ， ② 若 nnn TaaaT 求,lglglg 21 ???? ? ⑵ 在等比數(shù)列 ??na 中，若 015?a ，則有等式 nn aaaaaa ???????? 292121 ?? )29( ??? Nnn ， 成立，類比上述性質，相應的在等 比數(shù)列 ??nb 中，若 119?b 則有等式 成立。 解： ⑴ ① 由等比數(shù)列的性質可知： nnnaqqaaaaaaaaaaaa?? ????????????????6151661616143612)21(32213213211323332所以，即所以，解得，又 ② 由等比數(shù)列的性質可知， ? ?nalg 是等差數(shù)列，因為 2lg2 )11(2 )lg( lg2lg5lg2lg)6(2lglg116nnnaaTanannnn???????? ?所以， ⑵ 由題設可知，如果 0?ma 在等差數(shù)列中有nmn aaaaaa ????????? 122121 ?? )12( ???? Nnmn ， 成立，我們知道，如果qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 ，而對于等 比 數(shù) 列 ??nb ， 則 有qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 所以可以得出結論，若 nmnm bbbbbbb ???? 1221211 ??，則有)12( ???? Nnmn ， 成立，在本題中 nn bbbbbb ?? 372121 ??則有)37( ??? Nnn ， 點撥：歷年高考對性質考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握。 三、綜合運用 例 3 ： 已 知 ),(3 11 ?? nn aaa ，點 在函數(shù)xxxf 2)( 2?? 的圖像上， ??Nn ① 證明數(shù)列 ? ?)1lg( na? 是等比數(shù)列， ② 設 )1()1)(1( 21 nn aaaT ???? ?，求 nT 及數(shù)列 ??na 的題項公式， ③ 記211 ??? nnn aab，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nS ，并證明： 113 2 ??? nn TS 解： ① 由已知 nnn aaa 221 ??? ， 2)1lg ()1lg (),1lg (2)1lg (0102)1(111121????????????????nnnnnnnaaaaaaaa即：兩邊取對數(shù)得：，所以又所以 所以， 數(shù)列 ? ?)1lg( na? 是公比為 2的等比數(shù)列。 ② :由 ① 知 13333333)1()1)(1(313lg2)1lg (2)1lg (1121210121222212222212111??????????????????????????????nnnnnnnnnnnnaaaaTaaa???所以所以③ 因為 nnn aaa 221 ??? ， 1 111( 2) ( 2)n n n n n na a a a a a? ?? ? ? ? ?所 以 1 1 122nnaa????????? 1111 2 31 2 2 3 1112121221121 1 21121 1 1 1 1 121123 1 2311122 311131nnnnnnnn n nnnnnnnnnnnbaaa a aaaS b b b ba a a a a aaaaaaS??????? ? ??? ? ?????????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?????????????? ? ???????????????所 以因 為 ，所 以 13 213 12 ???? ? nnn TST n ，所以又 點撥：本例復習了數(shù)列中的有關知識， 以函數(shù)為起點，得到數(shù)列的遞推關系，構造新數(shù)列進行解答，求和過程中體現(xiàn)了裂項求和法，這是數(shù)列中的經典方法，屬于應掌握好的知識。 數(shù)學門診： 已知等差數(shù)列 ??na 的首項 1a =1，公差 d 0，且第 2項，第 5 項，第 14 項分別是等比數(shù)列 ??nb 的第 2 項，第 3 項，第 4 項。 ① 求數(shù)列 ??na 與 ??nb 的通項公式； ② 設數(shù)列 ??na 對 ??Nn 均有 2 0 1 02112211cccabcbcbc nnn??????? ???求：成立 解： ① 由已知有： 1222112353222145233333993122)1(1)0(2)131)(1()41(131411????????????????????????????????????nnnnnnqbqbbbbqababnnaddddddadada所以所以公比，又所以解得：所以，? ② 錯解： 1331)31(23222202020202020211111221112211???????????????????????????cccbcaabcabcbcbcabcbcbcnnnnnnnnnnnnn???所以所以，兩式相減得：得由 ② 正解： 2 0 1 02 0 0 92 0 0 92 0 1 02111121111112211122113)13(3331)31(63)2(32)1(33311)2(322222?????????????????????????????????????????????cccnncccabcnnbcaabcnabcbcbcnabcbcbcnnnnnnnnnnnnnnn???所以從而所以即時，又，所以時，兩式相減得：時，當?shù)糜? 點撥：本題易 出現(xiàn)求得通項為 132 ??? nnc 的錯誤結論，也導致求和出現(xiàn)問題，因此條件 n ≥ 2 千萬不能忽視。 總結提高： 1. 方程思想，即等比數(shù)列 ??na 中 5 個量 1a ， n ， q ， na ，nS ，一般可“知三求二”，通過求和與通項兩 公式列方程組求解。 2. “錯位相減法”求和是解決由等差數(shù)列 ??na 和等比數(shù)列 ??nb 的對應項的積組成的數(shù)列 ? ?nnba 求和的常用方法。 3. 對于已知數(shù)列 ??na 遞推公式 na 與 nS 的混合關系式，利用公式 )2(1 ??? ? nSSa nnn ，再引入輔助數(shù)列，轉化為等比數(shù)列問題求解。 4. 分類討論思想 ：當 1a 0， q 1 或 1a 0， 0q 1時，等比數(shù)列 ??na 為遞增數(shù)列；當 1a 0， 0q 1或 1a 0，q 1時， ??na 為遞減數(shù)列； q 0時， ??na 為擺動數(shù)列； q =1時， ??na 為常數(shù)列。 課堂演練 1． 在等比數(shù)列 ??na 中， 1a =2，前 n 項和為 nS ，若數(shù)列 ? ?1?na 也是 等比數(shù)列，則 nS 等于（ C ） 132 3221???nnCnC nBA ．． ．． 2． 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 ??na 中，若 103231365 lo glo glo g9 aaaaa ???? ?，則等于（ B ） A． 12 B． 10 C．８ D． 5log2 3? 3． 等比數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，已知321 32 SSS ， 成等差數(shù)列，則 ??na 的公比為 31 。 4． 設 ??na 為公比為 q 1 的 等 比 數(shù) 列 ，若0384 22 0 0 52 0 0 4 ??? xxaa 是方程和 的兩根，則 20202020 aa ? = 162 解：因為 0384 2 ??? xx 分別為 1 62)33(2132321123215452 0 0 442 0 0 42 0 0 92 0 0 82 0 0 52 0 0 421???????????????qaqaaaqaaqxx，，又， 5． 數(shù)列 ??na 的前 n 項和 nS =2na － 1，數(shù)列 ??nb 滿足： nnn babb ??? ?11 3， （ ??Nn ）。 ① 求證： ??na 為等比數(shù)列； ② 求數(shù)列 ??nb 的前 n 項和 nT 。 解： ① 由 nS =2 na － 1，有 ? ?11111111112220122212????????????????????nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaS且為等比數(shù)列。，所以得，由，兩式相減得 ② 因為 nnn bab ???1 111012 1 3 22122222nnn n nnnna b bb b b bbb?????? ? ? ?? ? ? ? ???且 ， ， ， 0 1 2 2111120 1 12 2 2 2123 2 212( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)122 2 2 112nnnnnnnnnnbbbT b b bnn????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??上 各 式 相 加 得 6． 設 ??na 為等比數(shù)列， 31 21 ?? aa ， ， ① 求最 小的 自 然 數(shù) n ，使 na ≥ 2020 ， ② 求 和 ： nn anaaaaT24321224321 ?????? ? 解： ① 由已知條件得 7611121320 0733)(????? ??因為nnnaaaa 故使 na ≥ 2020成立的最小自然數(shù) n =8 ② 因為 : 12322 3 234333211 ??????? nn nT ? ① nnn nnT 212322 323 1233323131 ??????? ?? ② ① +② 得： nnnnnnnnnnnTnnT2