【導(dǎo)讀】比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒。⑴7，77，777，7777，?⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9?解析：⑴將數(shù)列變形為),110(97??例2．已知數(shù)列??a不適合上式，故。na的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式。na的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是。由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在)99(，??為常數(shù)）即：特征：mkmknnfadadnann,(,)(),(1??????等差數(shù)列的充要條件。；cba,,成等差數(shù)列是cab??

　　

【正文】 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 23 （ II）不存在正整數(shù) k ，使得 4nRk? 成立。 證明：由（ I）知14 ( )54 41 ( 4 ) 11 ( )4??? ? ? ????nn nnb 2 1 2 2 1 25 5 5 2 0 1 5 1 6 4 08 8 8 8 .( 4 ) 1 ( 4 ) 1 1 6 1 1 6 4 ( 1 6 1 ) ( 1 6 4 )? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?kkk k k k k k kbb ∴當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，設(shè) 2 ( )n m m N??? ∴ 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( ) 8 4n m mR b b b b b b m n?? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，設(shè) 2 1( )n m m N ?? ? ? ∴ 1 2 3 4 2 3 2 2 2 1( ) ( ) ( ) 8 ( 1 ) 4 8 4 4n m m mR b b b b b b b m m n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴對(duì)于一切的正整數(shù) n，都有 4nRk? ∴不存在正整數(shù) k ，使得 4nRk? 成立。 ????????????? 8 分 （ III）由54 ( 4) 1n nb ????得 2 1 2 2 2 1 2 25 5 1 5 1 6 1 5 1 6 1 5 1 6 1 54 1 4 1 ( 1 6 1 ) ( 1 6 4 ) ( 1 6 ) 3 1 6 4 ( 1 6 ) 1 6n n nn n n n n n n n n n nc b b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?又1 2 213 43 , ,33b b c? ? ? ?， 當(dāng) 1?n 時(shí)， 1 32T? ， 當(dāng) 2n? 時(shí)， 2223211[ 1 ( ) ]4 1 1 1 41 6 1 62 5 ( ) 2 513 1 6 1 6 1 6 311614 6 9 3162513 4 8 2116nn nT??? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 32.（ 2020 湖南卷文）對(duì)于數(shù)列 {}nu ,若存在常數(shù) M＞ 0,對(duì)任意的 *nN? ，恒有 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 24 1 1 2 1n n n nu u u u u u M??? ? ? ? ? ? ?, 則稱數(shù)列 {}nu 為 B? 數(shù)列 . （Ⅰ）首項(xiàng)為 1，公比為 12? 的等比數(shù)列是否為 B數(shù)列？請(qǐng)說明理由 。 （Ⅱ）設(shè) nS 是數(shù)列 {}nx 的前 n 項(xiàng)和 .給出下列兩組判斷： A 組： ① 數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列 , ② 數(shù)列 {}nx 不是 B數(shù)列 。 B 組： ③ 數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列 , ④ 數(shù)列 {}nS 不是 B數(shù)列 . 請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題 . 判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論； (Ⅲ )若數(shù)列 {}na 是 B數(shù)列， 證明：數(shù)列 2{}na 也是 B數(shù)列。 解 : （Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為 {}na ,則 11()2 nna ??? .于是 1 2 21 1 1 3 1( ) ( ) ( ) , 2 .2 2 2 2n n nnna a n? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 1| | | | | |n n n na a a a a a??? ? ? ? ? ? = 2n3 1 1 112 2 2 2??? ? ? ? ?????1（ ） （ ）= n13 1 ??? ? ?????（ ） 所以首項(xiàng)為 1，公比為 12? 的等比數(shù)列是 B數(shù)列 . （ Ⅱ ）命題 1：若數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列，則數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列 .此命題為假命題 . 事實(shí)上設(shè) nx =1， *nN? ，易知數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列，但 nS =n， 1 1 2 1| | | | | |n n n nS S S S S S n??? ? ? ? ? ? ?. 由 n 的任意性知，數(shù)列 {}nS 不是 B數(shù)列。 命題 2：若數(shù)列 {}nS 是 B數(shù)列，則數(shù)列 {}nx 不是 B數(shù)列。此命題為真命題。 事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列 {}nS 是 B數(shù)列，所以存在正數(shù) M，對(duì)任意的 *nN? ，有 1 1 2 1| | | | | |n n n nS S S S S S M??? ? ? ? ? ? ?, 即 12| | | | | |nnx x x M? ? ? ? ?.于是 1 1 2 1n n n nx x x x x x??? ? ? ? ? ? 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 25 1 1 2 1 12 2 2 2n n nx x x x x M x??? ? ? ? ? ? ? ?, 所以數(shù)列 {}nx 是 B數(shù)列。 （注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，仿上述解法） (Ⅲ )若數(shù)列 ??na 是 B數(shù)列，則存在正數(shù) M，對(duì)任意的 ,nN?? 有 1 1 2 1n n n na a a a a a M??? ? ? ? ? ? ?. 因?yàn)?1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a???? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 2 1 1 1n n n na a a a a a a M a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 記 1K M a??，則有 221 1 1( ) ( )n n n n n na a a a a a? ? ?? ? ? ? 1 1 1( ) 2n n n n n na a a a K a a? ? ?? ? ? ? ?. 因此 2 2 2 2 2 21 1 2 1... 2n n n na a a a a a KM??? ? ? ? ? ? ?. 故數(shù)列 ??2na 是 B數(shù)列 . 33. (2020 陜西卷理 ) 已知數(shù)列 ?}nx 滿足， *1111 ,21nnx x n Nx ??＋’＝ ＝ . ??? 猜想數(shù)列 {}nx 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； （Ⅱ )證明： 11 12| ( )65 nnnxx ?? |≤ 。 證明（ 1）由 1 n+ 1 2 4 4n1 1 2 5 132 1 3 8 21x x x x xx? ? ? ? ? ??及 得 ， 由 2 4 6xxx??猜想：數(shù)列 ? ?2nx 是遞減數(shù)列 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： （ 1）當(dāng) n=1 時(shí)，已證命題成立 （ 2）假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)命題成立，即 2 2 2kkxx?? 易知 2 0kx ? ，那么 2 3 2 12 2 2 4 2 1 2 3 2 1 2 3111 1 ( 1 ) ( 1 )kkkkk k k kxxxx x x x x????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? = 2 2 22 2 1 2 2 2 3 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )kkk k k kxxx x x x?? ? ?? ?? ? ? ? 即 2( 1) 2( 1) 2kkxx? ? ?? 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 26 也就是說，當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立，結(jié)合（ 1）和（ 2）知，命題成立 （ 2）當(dāng) n=1 時(shí)， 1 2 1 16nnx x x x? ? ? ? ?，結(jié)論成立 當(dāng) 2n? 時(shí)，易知 11 1110 1 , 1 2 , 12n n nnx x x x?? ?? ? ? ? ? ? ?? 1 1 1115( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 212n n n nnx x x xx? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1111111 1 ( 1 ) ( 1 )nnnnn n n nxxxx x x x x?????? ? ? ? ?? ? ? ? 2 n 11 1 2 2 1n 12 2 25 5 51265n n n nx x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ??（ ） （ ）（ ） 35.（ 2020 天津卷理）已知等差數(shù)列 { na }的公差為 d（ d? 0），等比數(shù)列 { nb }的公比為 q（ q1）。設(shè) ns = 11ab + 22ab … ..+ nnab , nT = 11ab 22ab +… ..+(1 1)n? nnab ,n? N? 若 1a = 1b = 1， d=2， q=3，求 3S 的值； 若 1b =1，證明（ 1q） 2nS （ 1+q） 2nT =222 (1 )1ndq qq??， n? N? ； ( Ⅲ ) 若正數(shù) n 滿足 2 ? n ? q ，設(shè) 1 2 1 2, , . . . , , , . . . , 1 2 . . .nnk k k l l l和 是 ， ， ， n的兩個(gè)不同的排列， 121 1 2 ... nk k k nc a b a b a b? ? ? ?， 122 1 2 ... nl l l nc a b a b a b? ? ? ? 證明12cc? 。 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分 14 分。 （Ⅰ）解：由題設(shè)，可得 1*2 1 , 3 ,nnna n b n N?? ? ? ? 所以， 3 1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 5 9 5 5S a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （Ⅱ）證明：由題設(shè)可得 1nnbq?? 則 2 2 12 1 2 3 2... .. ,nnnS a a q a q a q ?? ? ? ? ? ① 選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張 大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 選校網(wǎng) 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 27 2 3 2 12 1 2 3 4 23 2 12 2 2 4 2. . . . . ,2 ( . . . ) nnnnn n nT a a q a q a q a qS T a q a q a q ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ② 式減去②式，得 式加上②式，得 2 2 22 2 1 3 2 12( ... . )nn n nS T a a q a q ??? ? ? ? ? ③ 式兩邊同乘 q，得 3 2 12 2 1 3 2 1( ) 2 ( . . . . )nn n nq S T a q a q a q ??? ? ? ? ? 所以， 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )n n n n n nq S q T S T q S T? ? ? ? ? ? ? 3 2 12 *22 ( )2 (1 ) ,1nnd q q qdq q nNq?? ? ? ?????K (Ⅲ )證明： 1 1 2 21 2 1 2( ) ( ) ( )nnk l k l k l nc c a a b a a b a a b? ? ? ? ? ? ? ?K 11 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) nnnk l d b k l d b q k l d b q ?? ? ? ? ? ? ?K 因?yàn)?10, 0,db??所以 112 1 1 2 21 ( ) ( ) ( )nnncc k l k l q k l