湖南大學高等數(shù)學1-7-(編輯修改稿)
2024-10-23 00:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的函數(shù)仍是則可微設(shè)yxyyxfxyxfzyxfz yx ?????若 dz 還可微 , 則記 d2z = d(dz), 稱為 z 的二階微分 . .,d1),(, 1可微且仍存在階微分的若一般 zkyxfz k ???.),d(dd 1 階微分的稱為則記 kzzz kk ?? 二、高階微分 下邊推導 z 的 k 階微分的計算公式 . 設(shè)以 x, y 為自變量 的函數(shù) z = f (x, y)?Ck . 由于 x, y 為自變量 ,故 dx = ?x, dy = ?y,與 x, y 的取值無關(guān) . yyxfxyxfz yx d),(d),(d ????有固定 ?x, ?y, (即將它們看作常數(shù) ), 求 dz的微分 . ).(),(, .d, 2 二階可微存在二階微分則若即可微存在連續(xù)偏導時當易見yxfzCfzff yx????且 d2z = d(dz) ]d),(d),(d[ yyxfxyxf yx ????]d),([d]d),(d[ yyxfxyxf yx ????yyxfxyxf yx d)],([dd)],(d[ ??????yyyxfxyxfxyyxfxyxfyyyxxyxxd]d),(d),([ d]d),(d),([??????????????2222222ddd2d yyzyxyxzxxz??????????., 存在三階微分存在連續(xù)偏導時當易見 zfff yyxyxx ??????記 zyyxxyyzxxz ????????????????? dddd..),(,3形式將更加繁雜但其存在三階微分則即若 yxfzCf ??引進記號 . 這相當于規(guī)定了 將字母 z 移到括號外 的方法。 實際上， 確定了一個映射。yyzxxz dd ?????它把 C1中的每一個 z, 通過上述運算 , 映成了 dz. .ddd , 1 yyzxxzzCz ????????即若記這個映射為 g , yyzxxzzg ddd(z) ??????? .dd zyyxx ????????????則 比較兩端式子 , 可看出 , .dd)( zyyxxzg ????????????.dd gyyxx 就是我們的映射?????不過是用一個我們陌生的式子 yyxx dd ?????來代替字母 g 而已 . gyyxx ?????? dd即 , 我們把這個映射稱為一階微分算子 . zyyyxyxxxyyzyxyxzxxz???????????????????????????????????22222222222222ddd2dddd2d .:2yxyxyx ????????????? 的乘積與形式上規(guī)定,222xxxx ????????????????? ,222yyyy ?????????????????類似 , 記 并規(guī)定 : .2 222yxyxyx ???????????,2yxabybxa ?????????????????????.2222222axxaxa ???????????????????????????????? 22222222 ddd2d zd yyzyxyxzxxz則zyyxx2dd ????????????zyyyxyxxx ?????????????????? 2222222ddd2d.dd2為二階微分算子稱映射 ??????????? yyxx)d ( ddd 2zzyyxx ????????????由于 )]([ zgg? 故 , 二階微分算子實際上就是一階微分算子 g 復合二次 . 只不過這種復合運算在上述規(guī)定下 , 可以看作是一階微分算子 .dd 的平方而已yyxx ?????一般 , 若形式上規(guī)定 . .SLSLSSLLyxyx ????????? ?.)( SLSLSLSLSLSLyxbayxbyxa ???????????? ???LLLxx ???????????zyyxxzkk ???????????? dd d 則zyxyxCkiikiikikiiik ?????????????? ?????0dd???????? kiikiikikik yxyxzC0ddzyyxxCkiikiik??????????????????????? ??? ???0dd(1) 當 z = f (x, y)?Ck 時 , z 有 k 階微分 . (2) .dd 是一種運算符號kyyxx ???????????只有把它按上述規(guī)定 , 展開后 , 再將各項 乘 以 z (即 , 將 z 補寫在 ?k 后面 ), 一切記號才回復到導數(shù)和微分的意義 . 注 (3) .dd 階微分算子為稱 kyyxxk???????????它本質(zhì)上是一個映射 . 它將 Ck 中的元素 z 映成 dk z . (4) 若 x, y 不是自變量 , dk z 一般不具有上述形式 . 167。 1－ 8 方向?qū)?shù) 函數(shù)的導數(shù)就是函數(shù)的變化率 . 比如 , y = f (x), xyx xfxxfxfxx ????????????? 00000lim)()(lim)(如圖 . ., 平均變化率即就是平均改變量是函數(shù)改變量其中xyy
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