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正文內(nèi)容

電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考試小抄(1)(編輯修改稿)

2025-07-09 06:19 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 積最小 ? 解: 本題的解法 和結(jié)果 與 21 完全相同 。 生產(chǎn)一種體積為 V 的 無 蓋圓柱形容器,問容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省 ? 解: 設(shè)容器的底半徑為 r ,高為 h , 則 無 蓋 圓柱形容器表面積為 rVrrhrS 2ππ2π 22 ????,令 02π22 ???? rVrS, 得 rhVr ?? ,π3 , 由實(shí)際問題可知,當(dāng)?shù)装霃? πVr?與高 rh? 時(shí)可使用料最省 。 22 欲做一個(gè)底為正方形,容積為 32 立方米的長方體開口容器,怎樣做法用料最?。浚?0707 考題 ) 解: 設(shè)底 邊的邊長 為 x ,高為 h , 用材料為 y ,由已知 322 ??Vhx ,2xVh?, 表面積 xVxxhxy 44 22 ???? , 令 0422 ???? xVxy,得 6423 ?? Vx , 此時(shí) ,4?x2xVh?=2 由實(shí)際問題可知, 4?x 是函數(shù)的極小值點(diǎn),所以 當(dāng) 4?x , 2?h 時(shí)用料最省 。 欲 做 一 個(gè) 底為正方形,容積為 立方米的長方體開口容器,怎樣做法用料最??? 解: 本題 的解法與 22 同,只需把 V= 代入即可。 類型 3 求 求曲線 kxy ?2 上的點(diǎn),使其到點(diǎn) )0,(aA 的距離最短. 曲線 kxy ?2 上的點(diǎn)到點(diǎn) )0,(aA 的 距 離 平 方 為kxaxyaxL ?????? 222 )()( 0)(2 ????? kaxL , kax ??22 31 在拋物線 xy 42 ? 上求一點(diǎn),使其與 x 軸上的點(diǎn) )0,3(A 的距離最短 . 解:設(shè)所求點(diǎn) P( x, y),則滿足 xy 42 ? ,點(diǎn) P 到點(diǎn) A 的距離之平方為 xxyxL 4)3()3( 222 ?????? 令 04)3(2 ????? xL ,解得 1?x 是唯一駐點(diǎn),易知 1?x 是函數(shù)的極小值點(diǎn), 當(dāng) 1?x 時(shí), 2?y 或 2??y ,所以滿足條件的有兩個(gè)點(diǎn)( 1, 2)和( 1,- 2) 32 求曲線 xy 22 ? 上的點(diǎn),使其到點(diǎn) )0,2(A 的距離最短. 解: 曲線 xy 22? 上 的點(diǎn)到點(diǎn) A ( 2 , 0 ) 的距離 之平方 為xxyxL 2)2()2( 222 ?????? 令 02)2(2 ????? xL ,得 1?x , 由此 222 ?? xy , 2??y 即曲線 xy 22? 上的點(diǎn)( 1, 2 )和( 1, 2? )到點(diǎn) A( 2, 0)的距離最短。 08074 求曲線 2xy? 上的點(diǎn),使其到點(diǎn) A( 0, 2)的距離最短。 解: 曲線 2xy? 上的 點(diǎn)到點(diǎn) A ( 0 , 2 )的距離公式為 222 )2()2( ?????? yyyxd d 與 2d 在同一點(diǎn)取到最大值,為計(jì)算方便求 2d 的最大值點(diǎn), 22 )2( ??? yyd 32)2(21)( 2 ?????? yyd 令 0)( 2 ??d 得 23?y ,并由此解出 26??x , 即曲線 2xy? 上的 點(diǎn)( 23,26 )和點(diǎn)( 23,26? )到點(diǎn) A( 0, 2)的距離最短 7 高等數(shù)學(xué)( 1)學(xué)習(xí)輔導(dǎo) (一 ) 第一章 函數(shù) ⒈理解函數(shù)的概念;掌握函數(shù) )(xfy? 中符號(hào) f ( )的含義;了解函數(shù)的兩要素;會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值;會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等。 兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同。 ⒉了解函數(shù)的主要性質(zhì),即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。 若 對任意 x ,有 )()( xfxf ?? ,則 )(xf 稱為偶函數(shù),偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對稱。 若對任意 x ,有 )()( xfxf ??? ,則 )(xf 稱為奇函數(shù),奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。 掌握奇偶函數(shù)的判別方法。 掌握單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。 ⒊熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。 基本初等函數(shù)是指以下幾種類型: ① 常數(shù)函數(shù): cy? ② 冪函數(shù): )( 為實(shí)數(shù)??xy ? ③ 指數(shù)函數(shù): )1,0( ??? aaay x ④ 對數(shù)函數(shù): )1,0(lo g ??? aaxy a ⑤ 三角函數(shù): xxxx c o t,tan,c o s,s in ⑥ 反三角函數(shù): xxx a r c ta n,a r c c o s,a r c s i n ⒋了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念,會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)。 如函數(shù) )1(arctan2e xy ?? 可以分解 uy e? , 2vu? , wv arctan? , xw ??1 。分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù),而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪 函數(shù)的和。 ⒌會(huì)列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。 例題選解 一、填空題 ⒈設(shè) )0(1)1( 2 ???? xxxxf,則 f x( )? 。 解:設(shè) xt1?,則 tx1?,得 t ttttf22 11111)( ?????? 故 xxxf 211)( ???。 ⒉函數(shù) xxxf ???? 5)2ln(1)(的定義域是 。 解:對函數(shù)的第一項(xiàng),要求 02??x 且 0)2ln( ??x ,即 2?x 且 3?x ;對函數(shù)的第二項(xiàng),要求 05 ??x ,即 5?x 。取公共部分,得函數(shù)定義域?yàn)?]5,3()3,2( ? 。 ⒊函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)?]1,0[ ,則 )(lnxf 的定義域是 。 解 :要使 )(lnxf 有意義,必須使 1ln0 ?? x ,由此得 )(lnxf 定義域?yàn)?]e,1[ 。 ⒋函數(shù) 392??? xxy的定義域?yàn)? 。 解:要使 392??? xxy有意義,必須滿足 092 ??x 且 03??x ,即 ??? ??33xx成立,解不等式方程組,得出 ??? ? ??? 3 33x xx 或,故得出函數(shù)的定義域?yàn)?),3(]3,( ?????? 。 ⒌設(shè) 2)(xx aaxf ???,則函數(shù)的圖形關(guān)于 對稱。 解: )(xf 的定義域?yàn)?),( ???? ,且有 )(222)( )( xfaaaaaaxf xxxxxx ???????? ????? 即 )(xf 是偶函數(shù),故圖形關(guān)于 y 軸對稱。 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈下列各對函數(shù)中,( )是相同的。 A. xxgxxf ?? )(,)( 2 ; B. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?2 2; C. f x x g x x( ) ln , ( ) ln? ?3 3; D. f xxx g x x( ) , ( )? ?? ? ?2 11 1 解: A 中兩函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同 , xxx ??2 , B, D 三個(gè)選項(xiàng)中的每對函數(shù)的定義域都不同,所以 A B, D 都不是正確的選項(xiàng);而選項(xiàng) C 中的函數(shù)定義域相等,且對應(yīng)關(guān)系相同,故選項(xiàng) C 正確。 ⒉設(shè)函數(shù) f x() 的定義域?yàn)?( , )???? ,則函數(shù) f x f x( ) ( )- ? 的圖形關(guān)于( )對稱。 = x; 軸; 軸; 8 解:設(shè) )()()( xfxfxF ??? ,則對任意 x 有 )())()(()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ??????????????? 即 )(xF 是奇函數(shù),故圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。選項(xiàng) D 正確。 3.設(shè)函數(shù) fx() 的定義域是全體實(shí)數(shù),則函數(shù) )()( xfxf ?? 是( ). ; ; ; 解 : A, B, D 三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。 設(shè) )()()( xfxfxF ??? ,則對任意 x 有 )()()()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF ????????????? 即 )(xF 是偶函數(shù),故選項(xiàng) C 正確。 ⒋函數(shù) )1,0(11)( ????? aaaaxxf xx( ) ; B. 是偶函數(shù); ; 。 解:利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。 )(11)1( )1(11)()( xfaaxaa aaxaaxxf xxxx xxxx ????????????? ???? 所以 B 正確。 ⒌若函數(shù) 221)1( xxxxf ???,則 ?)(xf ( ) A. 2x ; B. 22?x ; C. 2)1( ?x ; D. 12?x 。 解:因?yàn)?2)1(2121 22222 ???????? xxxxxx 所以 2)1()1( 2 ???? xxxxf 則 2)( 2 ?? xxf ,故選項(xiàng) B 正確。 第二章 極限與連續(xù) ⒈知道數(shù)列極限的“ ??N ”定義;了解函數(shù)極限的描述性定義。 ⒉理解無窮小量的概念;了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系;知道無窮小量的比較。 無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有: ① 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量; ② 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量; ③ 無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。 ⒊熟練掌握極限的計(jì)算方法:包括極限的四則運(yùn)算法則,消去極限式中的不定因子,利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì),有理化根式,兩個(gè)重要極 限,函數(shù)的連續(xù)性等方法。 求極限有幾種典型的類型 ( 1) aaxaxaxaaxax axakkkkxkkx 21)())((l i ml i m222020 ???????????? ( 2) 1001002 ))((l i ml i m00 xxxxxxxxxx baxxxxxx ??????? ???? ( 3)???????????????? ?????????mnmnbamnbxbxbxbaxaxaxammmmnnnnxx 00111011100l i m0 ?? ⒋熟練掌握兩個(gè)重要極限: limsinxxx? ?0 1 lim( )x xx?? ? ?11 e (或 lim( )x xx? ? ?011 e) 重要極限的一般形式: limsin ( )( )( )???xxx? ?0 1 lim ( ( ) )( )( )f x f xf x? ? ? ?1 1 e (或 lim ( ( ))( ) ( )g x g xg x? ? ?011 e) 利用兩個(gè)重要極限求極限,往往需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q,將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式,再利用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則,如 3133s i nl i ms i nl i m3133s i ns i n31l i m3s i ns i nl i m0000 ?????????xxxxxxxxxxxxxx 9 312122eee])11[(l i m])21[(l i m)11()21(l i m1121l i m)12(l i m ?????????????????????????? ????????????? xxxxxxxxxxxxxxxxxxx ⒌理解函數(shù)連續(xù)性的定義;會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性;會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間;了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念;會(huì)對函數(shù)的間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。 間斷點(diǎn)的分類: 已知點(diǎn) 0xx? 是的間斷點(diǎn), 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限都存在,則 0xx? 稱為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn); 若 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 的左、右極限有一個(gè)不存在,則 0xx? 稱為 )(xf 的第二類間斷點(diǎn)。 ⒍理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為 0)及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù),初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論,知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。 典型例題解析 一、填空題 ⒈極限 limsinsinxx xx? ?02 1 。 解: 010s i nl i m1s i nl i m)s i n1s i n(l i ms i n1s i nl i m 00020 ?????? ???? xxxxxxxxx xx
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