【正文】 解： 32)( ??? xxf ，故 202142)32(3)32()]([ 22 ????????? xxxxxff ⒎函數(shù) )1ln( 2xy ?? 的單調(diào)增加區(qū)間是 。 ⒉下列函數(shù)在指定的變化過(guò)程中，（ ）是無(wú)窮小量。 三、計(jì)算應(yīng)用題 ⒈計(jì)算下列極限： ⑴ 12423lim 222 ????? xxxxx ⑵ xx xx ??? ?? )13(lim 10 15510)2(12 )32()1(lim)3( ? ???? x xxx （ 4） xxx 3sin 11lim0 ??? 解：⑴ 61)6)(2( )2)(1(124 232 2 ????? ????? ?? xxxx xxxx xx? ? 12423lim 222 ????? xxxxx = 8161lim2 ???? xxx ⑵431331e1ee])31[(l i m])11[(l i m)31()11(l i m)31(l i m)13(l i m ??????????????????????????? xnxnxxnxnxnxxxxxxxx ⑶ 題目所給極限式分子的 最高次項(xiàng)為 15510 32)2( xxx ?? 分母的最高次項(xiàng)為 1512x ，由此得 381232)2(12 )32()1(lim 15510 ??? ???? x xxx （ 4）當(dāng) 0?x 時(shí)，分子、分母的極限均為 0，所以不能用極限的除法法則。 )11(3s i n11l i m)11(3s i n )11)(11(l i m3s i n 11l i m000 ??????? ?????????? xxxxx xxxxxxx = 61213111 1l i m3s i n3l i m31)11(3s i nl i m000 ?????????????? xxxxx xxxx ????????????0s i n001s i n)(xx xxaxbxxxf 問(wèn)（ 1） ba, 為何值時(shí)， )(xf 在 0?x 處有極限存在？ （ 2） ba, 為何值時(shí)， )(xf 在 0?x 處連續(xù)？ 解：（ 1）要 )(xf 在 0?x 處有極限存在，即要 )(lim)(lim 00 xfxf xx ?? ?? ? 成立。 （ 2）依函數(shù)連續(xù)的定義知， 函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是 )()(l i m)(l i m 000 xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 于是有 afb ??? )0(1 ，即 1??ba 時(shí)函數(shù)在 0?x 處連續(xù)。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)： ⒈理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫(xiě)成極限 00 )()(lim0 xxxfxfxx ??? 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處的導(dǎo)數(shù) )(0xf? 的 幾 何 意 義 是 曲 線 )(xfy? 上點(diǎn)))(,( 00 xfx 處切線的斜率。反之則不然，函數(shù) )(xfy? 在 0x 點(diǎn)連續(xù)，在0x 點(diǎn)不一定可導(dǎo)。 ⒊熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，熟練掌握下列求導(dǎo)方法 （ 1）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 （ 2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 （ 3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法 （ 4）對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法 1s inlim)(lim 00 ?? ?? ?? x xxf xx 11 （ 5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法 正確的采用求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如 一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法， 例如函數(shù) xxy 2)1( ??， 求 y? 。如果我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即 21212322 212)1( ????????? xxxxxxxxy 再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有 2321212123 ?? ???? xxxy 這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)單而且不易出錯(cuò)。 顯然直接求導(dǎo) 比較麻煩，可采用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得 )2ln(31)1ln(21ln ???? xxy 兩端求導(dǎo)得 )2(3 1)1(2 1 ????? xxyy 整理后便可得 )2(6 821 23 ???????? xx xxxy 若函數(shù)由參數(shù)方程 ??? ?? )( )(ty tx ?? 的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式 )( )(dd ttxy ????? 能夠熟練地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 ⒍了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解 一、填空題 ⒈設(shè)函數(shù) )(xf 在 0?x 鄰近有定義，且 1)0(,0)0( ??? ff ，則 ?? xxfx)(lim0 。 ⒉曲線 xy1?在點(diǎn)（ 1， 1）處切線的斜率是 。 ⒊設(shè) f x x x( ) ? ? ?2 4 5，則 f f x[ ( )]? ? 。 A. x2 ； ； ； D 不存在 解：因?yàn)?)2(2)2()(lim2 fxfxfx ????? ，且 2)( xxf ? ， 所以 42)2( 2 ??? ?xxf ，即 C 正確。 A. x1； B. x1?； C. 21x； D. 21x? 解：先要求出 )(xf ，再求 )(xf? 。 3．設(shè)函數(shù) )2)(1()1()( ???? xxxxxf ，則 ?? )0(f （ ）． ； ； ； D. 2? 解 ： 因 為)1()1()2()1()2)(1)(1()2)(1()( ?????????????? xxxxxxxxxxxxxf ，其中的三項(xiàng)當(dāng) 0?x 時(shí)為 0，所以 2)20)(10)(10()0( ??????f 故選項(xiàng) C 正確。 A. (, )01 ； B. (, )10 ； C. ( , )0 1? ； D. ( , )?10 解： xy e1??? ，令 0??y 得 0?x 。 5． y x?sin 2 ，則 ??y （ ）。 三、計(jì)算應(yīng)用題 ⒈設(shè) xxy sin22tan ?? ，求 2d ??xy 解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 2ln2c os2c os 2 s in2 xxxy ???? 由此得 xxy x d2d)2ln22c osc os 2(d 2s in22 ????? ?? ?? ⒉設(shè) )(e)e( xfxfy ? ，其中 )(xf 為可微函數(shù)，求 y? 。 y y x? ( ) 由方程 xyxyy? ?e ln確定，求ddyx。 解：由參數(shù)求導(dǎo)法 ttxyxytt 122 1dd ??????? 5．設(shè) xxy arctan)1( 2?? ，求 y? 。 解： )ee(21)( xxxf ????，令 0)( ?? xf ，解得駐點(diǎn) 0?x ，又 0?x 時(shí)， 0)( ??xf ； 0?x時(shí)， 0)( ??xf ，所以 0?x 是函數(shù) )ee(21)( xxxf ???的極小值點(diǎn)。 2. 若函數(shù) )(xfy? 滿足條件（ ），則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) )( ba ???? ，使得 ab afbff ???? )()()(? 成立。 解：選擇 D。 3. 滿足方程 0)( ??xf 的點(diǎn)是函數(shù) )(xfy? 的（ ）。 依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。 A）取得極大值 B）取得極小值 C）一定有拐點(diǎn) ))(,( 00 xfx D）可能有極值，也可能有拐點(diǎn) 解：選擇 D 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明 0x 可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說(shuō)明 0x 可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇 D。 解：函數(shù) )1ln( xxy ??? 的定義區(qū)間為 ),1( ??? ，由于 xxxy ?????? 11 11 令 0??y ，解得 0?x ，這樣可以將定義區(qū)間分成 )0,1(? 和 ),0( ?? 兩個(gè)區(qū)間來(lái)討論。 由此得出，函數(shù) )1ln( xxy ??? 在 )0,1(? 內(nèi)單調(diào)遞減，在 ),0( ?? 內(nèi)單調(diào)增加。0,6 ?????? yxyx ，所以 108,6 ?? yx 為最小值 .此時(shí) 3?h 。 3．證明題：當(dāng) 1?x 時(shí)，證明不等式 ee xx? 證 設(shè)函數(shù) xxf ln)( ? ，因?yàn)?)(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)可導(dǎo)，所以 )(xf 在 ],1[ x 上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可得 )1)(()1()( ???? xcffxf 其中 xc??1 ，即 )1(11lnln ??? xcx 又由于 1?c ，有 11?c 故有 1ln ??xx 兩邊同時(shí)取以 e 為底的指數(shù)，有 1ln ee ?? xx 即 eexx? 所以當(dāng) 1?x 時(shí)，有不等式 ee xx? 成立 . 第 5 章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（ 2） 典型例題解析 一、填空題 ⒈曲線在任意一點(diǎn)處的切線斜率為 2x ，且曲線過(guò)點(diǎn) (, )25 ，則曲線方程為 。將點(diǎn) )5,2( 代入得 1?c ，所求曲線方程為 12 ??xy ⒉已知函數(shù) f x() 的一個(gè)原函數(shù)是 2arctanx ，則 ?? )(xf 。 解：用湊微分法 )d()(1)d()(1d)( ??? ?????? baxbaxfaaxbaxfaxbaxf cbaxFabaxFa ????? ? )(1)(d1 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈設(shè) cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?)(xf （ ）。 A.dd dx f x x F x( ( ) ) ( )? ?； B. ? ? ?? F x x f x c( ) ( )d ； C. ? ?? F x x F x( ) ( )d ； D.dd dx f x x f x( ( ) ) ( )? ? 解：正確的等式關(guān)系是 )()d)((dd xfxxfx ?? cxFxxF ???? )(d)( 故選項(xiàng) D 正確． ⒊設(shè) Fx() 是 f x() 的一個(gè)原函數(shù)，則 ??? xxxf d)1( 2 （ ）。 A. 0)(22 ?? dxxf B. C. dxxdxx ?? ? 1010 2 D. (2). 下列式子中，正確的是（ ） A. xtdtx c osc os0 ????????? B. ?? ? baab dxxfdxxf )()(xtd t co sco s /20 ??????????? 16 C. 0cos0 ?????????x tdt D. xtdtx c osc os0 ????????? (3) 下列廣義積分收斂的是（ ）。 A. ??0 d)(a xxf B． 0 C． ??0 d)(2 a xxf D． ?a xxf0 d)( (5) 若 )(xf 與 )(xg 是 ],[ ba 上 的 兩 條 光 滑 曲 線 ， 則 由 這 兩 條 曲 線 及 直 線bxax ?? , 所圍圖形的面積