【正文】 無窮小量） 111s inlim 1s in1lims inlim000 ???????xxxxxxxxx，其中 xxx sinlim0? =1 是第一個(gè)重要極限。 解：由 )(xf 是分段函數(shù)， 0?x 是 )(xf 的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在 0?x 處的連續(xù)性。 ⒊⒋⒌⒍設(shè) 23)( 2 ??? xxxf ，則 f f x[ ( )]? ? 。 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈函數(shù) f x x x( ) sin? 1 在點(diǎn) x?0 處（ ）． ； ； ； 解： )(xf 在點(diǎn) x?0 處沒有定義，但 0sinlim0 ?? xxx （無窮小量 ? 有界變量 =無窮小量） 故選項(xiàng) B 正確。 A. e 1x x, ( )? ? ； B. sin , ( )xx x ? ?； C. ln( ), ( )1 1? ?x x ； D. x x x? ? ?1 1 0, ( ) 解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以 0sinlim ??? x xx 而 A, C, D 三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為 0，故選項(xiàng) B 正確。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法則和第一個(gè)重要極限計(jì)算。 因?yàn)?bbxxxf xx ??? ?? ?? )1s in(lim)(lim 00 所以，當(dāng) 1?b 時(shí)，有 )(lim)(lim 00 xfxf xx ?? ?? ? 成立，即 1?b 時(shí)，函數(shù)在 0?x 處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí) a 可以取任意值。 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。 )(xf 在點(diǎn) 0xx? 處可導(dǎo)是指極限 x xfxxfx ? ????? )()(lim 000 存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。 曲線 )(xfy? 在點(diǎn) ))(,( 00 xfx 處的切線方程為 )())(( 000 xfxxxfy ???? 函數(shù) )(xfy? 在 0x 點(diǎn)可導(dǎo)，則在 0x 點(diǎn)連續(xù)。 ⒉了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。 在求導(dǎo)時(shí)直接用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，而且容易出錯(cuò)。 又例如函數(shù) 3 21??? xxy，求 y? 。 ⒋熟練掌握微分運(yùn)算法則 微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似 vuvu dd)(d ??? vuuvvu dd)(d ??? )0(dd)(d 2 ??? vv vuuvvu 一階微分形式的不變性 uyxuyxyy uxux dddd ???????? 17 微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要注意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積。 函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的 1?n 階導(dǎo)數(shù)。 解： 1)0(0 )0()(lim)(lim 00 ?????? ?? fx fxfx xf xx 故應(yīng)填 1。 解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線 )(xf 在 0xx? 處切線的斜率是 )( 0xf? ，即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是 2121)1(,2112323 ???????????xxyxy 故應(yīng)填 21? 。 解： 42)( ??? xxf ，故 372445)42(4)42()]([ 22 ????????? xxxxxff 故應(yīng)填 37244 2 ?? xx 二、單項(xiàng)選擇題 ⒈設(shè)函數(shù) 2)( xxf ? ，則 ???? 2 )2()(lim 2 x fxfx （ ）。 ⒉設(shè) xxf ?1( ，則 ?? )(xf （ ）。 因?yàn)?xxxf 11)1( ??，由此得 xxf 1)( ? ，所以 21)1()( xxxf ????? 即選項(xiàng) D 正確。 4．曲線 y x x? ?e 在點(diǎn)（ ）處的切線斜率等于 0。而 1)0( ??y ，故選項(xiàng) C 正確。 A. cosx2 ； B. ?cosx2 ； C. 2 2x xcos ； D. ?2 2x xcos 解： 222 c o s2)(c o s xxxxy ????? 故選項(xiàng) C 正確。 解 ]e)[e(e])e([ )()( ????? xfxxfx ffy = ])([e)e(e]e)[e( )()( ???? xfff xfxxfxx = )(e)e(ee)e( )()( xfff xfxxfxx ??? = )]()e(e)e([e )( xfff xxxxf ??? 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要分清復(fù)合函數(shù)的復(fù) 合層次，然后由外層開始，逐層使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最后化簡。 解：方法一：等式兩端對 x 求導(dǎo)得 2e y yxyxyyyxy y ???????? 整理得 xxyyx xyyy y ????? e22 方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得 左端 yyxxyxyxy yyy dedd)e(d)(d)e(d ??????? 右端 2dd)(d)( lnd y yxxyxyyxxyyx ????? 由此得 2 dddedd y yxxyxyyyxxy y ????? 整理得 xxyyx xyyxy y ???? edd 22 19 y y x? ( ) 由參數(shù)方程 x ty t?? ??????221 確定，求 ddyx 。 解 1a r c t a n21 1)1(a r c t a n2 22 ??????? xxxxxxy 21 2a r c t a n2)1a r c t a n2( xxxxxy ???????? 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題 一、填空題 )1ln( 2xy ?? 的單調(diào)增加區(qū)間是 . 解： 21 2xxy ???? ，當(dāng) 0?x 時(shí) 0??y .故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 )0,(?? . ??? xxx 1lnlim1 . 解：由洛必達(dá)法則 111lim)1( )( lnlim1lnlim 111 ?????? ??? ??? xxxxx xxx )ee(21)( xxxf ??? 的極小值點(diǎn)為 。 二、單選題 12 ??xy 在區(qū)間 ]2,2[? 上是（ ） A） 單調(diào)增加 B）單調(diào)減少 C）先單調(diào)增加再單調(diào)減少 D）先單調(diào)減少再單調(diào)增加 解：選擇 D xy 2?? ，當(dāng) 0?x 時(shí)， 0)( ?? xf ；當(dāng) 0?x 時(shí)， 0)( ?? xf ；所以在區(qū)間 ]2,2[? 上函數(shù) 12 ??xy 先單調(diào)減少再單調(diào)增加。 A）在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)； B）在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)； C）在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)； D）在 ],[ ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)。 由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 內(nèi)連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇 D 正確。 A）極值點(diǎn) B）拐點(diǎn) C）駐點(diǎn) D）間斷點(diǎn) 解：選擇 C。 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)連續(xù)， ),(0 bax ? ，且 0)()( 00 ????? xfxf ，則函數(shù)在 0xx?處（ ）。 三、解答題 求函數(shù) )1ln( xxy ??? 的單調(diào)區(qū)間。當(dāng) 01 ??? x 時(shí)， 0??y ；當(dāng) ????x0 是， 0??y 。 欲做一個(gè)底為正方形，容積為 108 立方米的長方體開口容器，怎樣做法所用材料最?。? 解：設(shè)底邊邊長為 x ，高為 h ，所用材料為 y 且 22 108,108 xhhx ?? xhxy 42 ?? 2222 4321084 xxxxx ???? 232 43224322 xxxxy ?????? 令 0??y 得 60)216(2 3 ???? xx ， 且因?yàn)?0,6。 于是以 6 米為底邊長， 3 米為高做長方體容器用料最省。 解： cxxx ??? 2d2 ，即曲線方程為 cxy ?? 2 。 解： 42 1 2)( a r c ta n)( xxxxf ???? 24424444 )1( 62)1( 8)1(2)1 2()( x xx xxxxxf ???? ??????? ⒊已知 Fx() 是 f x() 的一個(gè)原函數(shù)，那么 f ax b x( )? ?? d 。 A. 1ln ?x ； B. xln ； C. x ； D. xxln 解：因 1lnln)ln()( ?????? xxxxxxxf 故選項(xiàng) A 正確． ⒉設(shè) Fx() 是 f x() 的一個(gè)原函數(shù)，則等式（ ）成立。 A. cxF ?? )1( 2 ； B. cxF ??? )1( 2 ； C. cxF ??? )1(21 2 ； D. cxF ?)( 解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 )1)(1(21])1(21[ 222 ???????? xxfxF )1()1)(1(21 222 xxfxxf ??????? 故選項(xiàng) C 正確． 三、計(jì)算題 ⒈計(jì)算下列積分： ⑴x x x12?? d ⑵ 122?? xx xd 解：⑴利用第一換元法 ??? ??????? )d( 112 1)d(12 1d1 22222 xxxxxxx cxx ?????? ? 22 1)1d( ⑵利用第二換元法，設(shè) tx sin? ， ttx dcosd ? ? ??? ??????? tttt ttt ttxx x 1 ) ds in 1(ds ins in1ds in c o sc o sd1 22 222 2 cxxxctt ????????? a r c s in1c o t 2 ⒉計(jì)算下列積分： ⑴ ? xxdarcsin ⑵ ? xxxdln2 解：⑴利用分部積分法 ??? ????? xxxxxxxxxxx d1a r c s in)( a r c s inda r c s inda r c s in 2 )d ( 1121a r c s in 22? ???? xxxx cxxx ???? 21a rc s in ⑵利用分部積分法 )lnd(1ln)1d(lndln 2 ??? ????? xxx xxxxx x cxx xxxx x ??????? ? 1lnd1ln 2 高等數(shù)學(xué)（ 1）第六章學(xué)習(xí)輔導(dǎo) 綜合練習(xí)題 （一）單項(xiàng)選擇題 （ 1）．下列式子中，正確的是（ ）。 A ???0 de xx .B. xxd11??? C. ???0 cos dxx D. xx d1 21??? (4) 若 )(xf 是 ],[ aa? 上的連續(xù)偶函數(shù)，則 )()( ???aa dxxf 。 解：（ 1）根據(jù)定積分定義及性質(zhì)可知 A 正確。 在（ 0， 1）區(qū)間內(nèi) ???? ?? dxxdxxxx 1010 22 C 不正確。 故 D 不正確。 由定積分定義知 B 不正確。 (3) ? ?????? ???????? ?? )ee(limdelimde 000 bbb xbx xx ∴ A 不正確。不正確。)0s in( s inlimc o slimc o s 00 ??? ???????? ?? bdxxdxxbbb ∴ C。 D D 正確 （ 4）由課本 344 頁 （ 6— 4— 2）和 345 頁（ 6— 4— 3）知 C。 （ 5）所圍圖形的面積始終是在上面的函數(shù)減去在下面的函數(shù) ∴ A 正確