湖南大學(xué)高等數(shù)學(xué)1-7--資料下載頁(yè)
2025-09-26 00:21本頁(yè)面
【正文】 f (X) = f (x, y) 在點(diǎn) X0 = (x0, y0) 可微 , 則 z = f (X) 在 X0沿任一方向 e = (cos?, cos?)的方向?qū)?shù)存在 . e為單位向量 . 且 ?? cos)(cos)()( 000 yXfxXfeXf ????????)c o s,( c o s)(,)( 00 ??????????????yXfxXf= Jf (X0) e. (最后兩式為數(shù)量積 ) 二、方向?qū)?shù)的計(jì)算 定理 4 證 : 如圖 x o y X0 = (x0, y0) e ?y ?x l X0 = (x0+?x, y0+?y) 在射線 l 上取點(diǎn) X = (x0+?x, y0+?y) 其中 , ?X =(?x, ?y) 因向量 ?X = X – X0 = X0 X // e , ? 故 ?X = te , (t 0), X = X0 +te , || X0 X || = || ?X || = t ? = X0 + ?X 由方向?qū)?shù)定義 ||||)()(l i m)(0000 XXXfXfeXfXX?????? tXfteXft)()(lim 000?????看 f (X0 + te) – f (X0). 沿 l 因 f (X)在 X0可微 , 知 ?z = f (X0 + ?X ) – f (X0) = f (x0 + ?x, y0 + ?y ) – f (x0 , y0) )(0 22 yxybxa ???????? 由定理 1 | | )(| |0)()( 00 XyyXfxxXf ??????????= Jf (X0) ?X + 0(|| ?X ||) 上式對(duì)任何 ?x, ?y 都成立 . 特別 , 當(dāng) X = X0 + ?X 在射線 l 上時(shí) , 當(dāng)然成立 . 即 , 當(dāng) X0 + ?X = X0 + te 時(shí) , 有 f (X0 + te ) – f (X0) = Jf (X0) ( te ) + 0(|| te ||) = t [(Jf (X0) e] + 0 ( t ) 除以 t 0, 并令 t ? 0+, 有 即 ?z = f (X0 + ?X ) – f (X0) = Jf (X0) ?X + 0(|| ?X ||) eXf?? )( 0tXfteXft)()(lim 000??????????? ????? tteXJft)(0)(lim00 = Jf (X0) e ?? cos)(cos)( 00 yXfxXf ??????即 , 若 u = f (x, y, z) 在點(diǎn) X0 = (x0, y0 , z0) 可微 , 則 u 在該點(diǎn)處沿任何方向 e = (cos?, cos? , cos? )的方向?qū)?shù)存在 eXf?? )( 0= Jf (X0) e ??? cos)(cos)(cos)( 000 zXfyXfxXf ?????????且 公式可推廣到三元函數(shù)中去 . 例 u = xyz 在點(diǎn) X0 = (1, 1, 1)處沿從該點(diǎn)到 點(diǎn) X1 = (1, 2, 2)方向的方向?qū)?shù) . 解 : (1)先求出這個(gè)方向上的單位向量 e . 向量 X0X1 = (0, 1, 1) ? 從而與 X0X1 同向單位向量 ? ||||e1010XXXX? ? ???????22 ,22 ,0? (2)求 u 在 X0 = (1, 1, 1) 處偏導(dǎo)數(shù) . ,yzxu ??? ,xzyu ??? .xyzu ???(3)由公式得方向?qū)?shù) 1)1,1,1()1,1,1()1,1,1(????????? zuyuxu從而??????????22 ,22 ,0)1 ,1 ,1()1,1,1(ef22 22 ?? 2? z = f (X) = f (x, y) 在區(qū)域 D內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo) . X0 = (x0, y0) 是 D 內(nèi)一點(diǎn) . 知 z 在 X0 沿任何方向 e = (cos?, cos? )的方向?qū)?shù) .)( 0 存在eXf ???)(, 0 取最大值取哪一個(gè)方向時(shí)當(dāng)eXfe??其中 || e || = 1. 問(wèn) , 注 eXJeXf f ???? )()( 00因 )),(c o s (|||| ||)(|| 00 eXJeXJ ff?)),(c o s ()),((),(( 0202200 eXJyxfyxf fyx ????故 .)(,1)),(c o s ( )1( 00 最大時(shí)當(dāng) eXfeXJ f ???)),(),((()( 00000 yxfyxfXJe yxf ???取與即當(dāng),)(, 0 最大同向時(shí) eXf ??最大值為 ||Jf (X0)||. 函數(shù)沿 Jf (X0) 的方向增長(zhǎng)最快 . (2) ),c o s (|||| jPr ?? uaaau由eXJeXf f ???? )()( 00 )),(c o s (||)(|| 00 eXJXJ ff?.)()( 00 上的投影在是知 eXJeXf f??))((jPr)( 00 XJeXf fe???即 (3) 記 grad f (X) = Jf (X) = ( f 39。x(x, y), f 39。y(x, y))稱為 f (X)在點(diǎn) X 處的梯度 . z = f (X) = f (x, y) , 考察 z 在點(diǎn) X0 = (x0, y0)處連續(xù) 。 存在兩偏導(dǎo) 。 沿任何方向的方向?qū)?shù)存在以及可微這些概念的聯(lián)系和區(qū)別 . (1) (反之如何 ?) 可微 ? 連續(xù) , 可微 ? 存在兩偏導(dǎo) , (反之不對(duì) ) 可微 ? 沿任何方向的方向?qū)?shù)存在 . (2)若 z = f (X) = f (x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)的兩偏導(dǎo)不僅存在 , 而且連續(xù) , 則 z 在 D內(nèi)可微 , 進(jìn)而 在 D內(nèi)連續(xù) , 在 D內(nèi)每點(diǎn)處沿任何方向 的方向?qū)?shù)存在 . z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 可微時(shí) , 沿 e = (cos?, cos? )的方向?qū)?shù) eXf?? )( 0 ?? cos)(cos)( 00yXfxXf??????.,0 . , , ????? ??軸正向夾角軸與為其中 yxe該公式有另外的形式 . 記 ? 為從 x 軸到 e 的轉(zhuǎn)角 ( ? 不一定在 [0, ?] 之間 ), 則 ?? si n)(cos)( 00 yXfxXf ??????eXf ?? )( 0
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