可分離變量的微分方程(編輯修改稿)
2024-10-22 14:33 本頁面
【文章內容簡介】 例4）設降落傘從跳傘塔下落后, 所受空氣阻力與速度成正比, 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零, 求降落傘下落速度與時間的關系. 下面我們借助樹的增長來引入一種在許多領域有廣泛應用的數學模型——邏輯斯諦方程.一棵小樹剛栽下去的時候長得比較慢, 漸漸地, 小樹長高了而且長得越來越快, 幾年不見, 綠蔭底下已經可乘涼了。 但長到某一高度后, 它的生長速度趨于穩(wěn)定, 然后再慢慢降下來. 這一現(xiàn)象很具有普遍性. 現(xiàn)在我們來建立這種現(xiàn)象的數學模型.如果假設樹的生長速度與它目前的高度成正比, 則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長情形, 因為樹不可能越長越快。 但如果假設樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差, 則又明顯不符合中間一段的生長過程. 折衷一下, 我們假定它的生長速度既與目前的高度, 又與最大高度與目前高度之差成正比.設樹生長的最大高度為H(m), 在t(年)時的高度為則有 ()其中的是比例常數. 這個方程稱為Logistic方程. 它是可分離變量的一階常微分方程. 注：Logistic的中文音譯名是“邏輯斯諦”.“邏輯”在字典中的解釋是“客觀事物發(fā)展的規(guī)律性”,
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