【文章內(nèi)容簡介】 4 5 0 01 1 2 .7 0 05 0 0 0ssssss????2022/9/20 機(jī)械工程 此表第一列各元符號改變次數(shù)為 1，因此斷定該系統(tǒng)包含 一個具有正實(shí)部 的特征根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 解輔助方程 得 即得出兩組數(shù)值相同、符號相異的根。這兩對根是原方程根的一部分。 422 4 8 5 0 0ss? ? ?1 。 5s s j? ? ? ?2022/9/20 機(jī)械工程 167。 Nyquist（乃奎斯特）穩(wěn)定判據(jù) 由 H. Nyquist于 1932年提出的穩(wěn)定性判據(jù)，在1940年以后得到了廣泛的應(yīng)用 . 判據(jù)所提出的判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件仍然是以特征方程 的根全部具有負(fù)實(shí)部為基礎(chǔ)的，但是它將函數(shù) 與開環(huán)頻率特性 即 聯(lián)系起來，從而將系統(tǒng)特性由復(fù)域引入頻域來分析，具體地說， 它是通過 的 Nyquistl圖，利用圖解法來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的 。它從 代數(shù)判據(jù) 脫穎而出，是一種幾何判據(jù) 。 1 ( ) ( ) 0G s H s??1 ( ) ( )G s H s?( ),kGj? ( ) ( )G j H j???()kGj?2022/9/20 機(jī)械工程 Nyqusist判據(jù)也 不需要求取閉系統(tǒng)的特征根 ，而是應(yīng)用開環(huán)頻率特性 ，即 曲線，進(jìn)而分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 特別是當(dāng)系統(tǒng)的某些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)無法用分析法求得時，可以通過實(shí)驗來獲得這些環(huán)節(jié)的頻率特性曲線或系統(tǒng)的 。 Nyquist判據(jù)還能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備 —— 相對穩(wěn)定性 ，指出進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能（包括穩(wěn)定性）的途徑， 若系統(tǒng)不穩(wěn)定， Nyquist判據(jù)還能如 Routh判據(jù)那樣，指出 系統(tǒng)不穩(wěn)定的閉環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)，即具有正實(shí)部的特征根的個數(shù)； ()kGj? ( ) ( )G j H j??()kGj?2022/9/20 機(jī)械工程 函數(shù) F（ s）與開環(huán)、閉環(huán)的傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系 如圖 ，其傳遞函數(shù)為： 開環(huán)函數(shù)為： 特征方程為： 令 它可以寫成一般的形式為： ()()1 ( ) ( )BGsGsG s H s??( ) ( ) ( )KG s G s H s?1 ( ) ( ) 0G s H s??( ) 1 ( ) ( )F s G s H s??（ ） 11 1 0 1 2 39。1 2 1 2... ( ) ( ) ... ( )( ) 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )mmm m nnnb s b s b s b k s z s z s zFss p s p s p s p s p s p??? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?（ ） 2022/9/20 機(jī)械工程 式中， n為 GK(s)的分母多項式的階數(shù)； m為GK(s)的 分子多項式的階數(shù)，而函數(shù) F(s)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)分 別為 n’ 和 n。 F(s)函數(shù)的分母與 GK(s)的分母相同， 故 F(s)函數(shù)的極點(diǎn)即為 GK(s)的極點(diǎn) , F(s)函數(shù)的分子即為 GB(s)的分母 ， 故 F(s)函數(shù)的零點(diǎn)即為 GB(s)的極點(diǎn) , ( 1 , . . . )is p i n??( 1 , . . . 39。)is z i n??2022/9/20 機(jī)械工程 系統(tǒng)穩(wěn)定的 充要條件 是 GB(s)的 全部極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部 ，即 F(s)函數(shù)的全部零點(diǎn)均須具有負(fù)實(shí)部 。 由于 F(s)溝通了 GK(s)與 GB(s)之間的關(guān)系，故可通過 F(s)，利用 GK(s)來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 函數(shù) 零點(diǎn)與極點(diǎn) 之間的對應(yīng)關(guān)系可示意如下： 2022/9/20 機(jī)械工程 幅角原理（ Cauchy定理） Nyquist判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)中的幅角原理基礎(chǔ)之上的 。 幅角原理（ Cauchy定理） 設(shè)有一復(fù)變函數(shù) s為復(fù)變量，以 復(fù)平面上的 表示。復(fù)變函數(shù) 以 復(fù)平面上的 表示。 1212( ) ( ) . . . ( )( ) ( ) . . . ( )msnK s z s z s zFs p s p s p? ? ??? ? ?（ ） ??s sj????()Fs ? ?()Fs ()F s u jv??2022/9/20 機(jī)械工程 函數(shù)為 s多項式的分式 ，它在 [s]平面上（除有限個 奇點(diǎn) 外）為 單值的連續(xù)正則函數(shù)， 并設(shè)[s]平面上解析點(diǎn) s映射到 [F(s)]平面上為點(diǎn)F(s)，或為從原點(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量 F(s)。 若在 [s]平面上任意選定一 封閉曲線 LS ，只要此曲線不經(jīng)過 F(s)的奇點(diǎn)，就可將 [s]平面的封閉曲線 Ls映身到 [F(s)]平面上去， 結(jié)果也是一封閉曲線，記為 LF。 令： Z為包圍于 LS內(nèi)的 F(s)函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)； P為包圍于 LS內(nèi)的 F(s)函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)，則 : N=ZP 。當(dāng)解析點(diǎn) s按順時針方向沿 LS變化 一周 時， F(s)將按順時針方向 旋轉(zhuǎn) N周 ，即 F(s)以 原點(diǎn)為中心順時針 旋轉(zhuǎn) N周 ，或者曲線 LF順時針 包圍原點(diǎn) N次 ()Fs2022/9/20 機(jī)械工程 幅角原理：如圖 ，在 LS上選擇點(diǎn) A，使s從這點(diǎn)開始移動，繞 z順時針轉(zhuǎn)一圈，回到原來的位置。 F(s)= 1+G(s)H(s)也相應(yīng)地從點(diǎn) B出發(fā)沿 LF回到點(diǎn) B的閉曲線。這個變化造成了 F(s)的相位角 的變化，由式（ ），可得： 表示 s按圖 (a)的 LS路線變動時，復(fù)數(shù) （即向量）的相位角變化。由圖 知，當(dāng) LS內(nèi)只含有零點(diǎn) 而不含極點(diǎn)與其他零點(diǎn)時，除了 等于 之外， 和 的值均為零，所以 1 2 39。12( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnF s s z s z s zs p s p s p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()Fs?()isz??isz?iz()isz??2?? 1()sz??2( ) , . . . , ( )ns z s z? ? ? ? 12( ) , ( ) , . . . , ( )ns p s p s p? ? ? ? ? ?( ) ( ) 2iF s s z ?? ? ? ? ? ?() 2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 [F（ s） ]平面上的軌跡 LF從 B點(diǎn)開始，繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)了一圈。 當(dāng) s從 [s]平面上的點(diǎn) A開始，繞著 F（ s）的一個 極點(diǎn) 順時針轉(zhuǎn)一圈（即此圈內(nèi)中含有一個極點(diǎn) 而不含有零點(diǎn)與其他極點(diǎn)）時， [F(s)]平面上的對應(yīng)軌跡繞原點(diǎn) 反時針 轉(zhuǎn)了一圈。 若 LS包圍的是 F(s)的 Z個零點(diǎn)和 P個極點(diǎn)時，則 [F(s)]平面上的對應(yīng)軌跡繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn) N=ZP圈 。 幅角原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式 即 : N=ZP N0，表示 LF按 順時針 方向包圍原點(diǎn) N次； N0，表示 LF按 逆時針 方向包圍原點(diǎn) N次； N=0，表示 LF不包圍原點(diǎn)。 ( 1 , 2 , , )ip i n?ip2022/9/20 機(jī)械工程 應(yīng)用幅角原理不能單獨(dú)確定出包圍 Ls內(nèi)的函數(shù) F（ s）的零點(diǎn)數(shù) Z或其極點(diǎn)數(shù) P，而僅能確定他們之間的差值（ ZP）。 的極點(diǎn)就等于 F（ s）函數(shù)的極點(diǎn)， 因此 ，若已知系統(tǒng)的 ，就可直接求得 P。 若又能在[F(s)]平面上確定出 LF曲線包圍原點(diǎn)的圈數(shù) N，則可由 Z=N+P計算出在 [s]平面上包圍于封閉曲線LS中的 F(s)的零點(diǎn)數(shù) Z， 這些零點(diǎn)也就是 相應(yīng)的極點(diǎn)。 曲線 LSLF的形狀對于 N， Z， P的數(shù)值是沒有關(guān)系的，即 LF繞原點(diǎn)的圈數(shù) N僅取決于 LS所包圍的 F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)目 ，而與 LS的形狀無關(guān)。 LF,LS也稱為 Nyquist軌跡。 ()KGs()KGs()BGs2022/9/20 機(jī)械工程 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程 1+G(s)H(s)=0的全部根具有負(fù)實(shí)部 ，即在 [s]平面的右半平面 系統(tǒng)沒有極點(diǎn) ，亦即 F(s)在 [s]平面的右半平面 沒有零點(diǎn) （ Z=0）。 2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 [s]平面上的 Nyquist軌跡 [s]平面上的 Nyquist軌跡如圖 （ a）所示。 設(shè)在 [s]平面上有封閉曲線 LS， 其中 (1)， (2)兩段是由 到 的整個虛軸組成的， (3)段是由半徑 R趨于無窮大的圓弧組成的 。因此， (1)， (2)， (3)段就封閉地包圍了整個 [s]平面的右半平面 ，由于在應(yīng)用幅角原理時， LS不能通過 F(s)函數(shù)的任何極點(diǎn)。所以 當(dāng)函數(shù)F(s)有若干個極點(diǎn)處于 [s]平面的虛軸或原點(diǎn)上時， LS應(yīng)被認(rèn)為是以這些點(diǎn)為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按反時針方向從這些點(diǎn)的右側(cè)繞過 ，如小段圓弧 (4)與(4’) 所示。由于 (4)， (4’) 緊貼極點(diǎn)繞過，因此， 可以認(rèn)為 LS曲線包圍了整個 [s]平面的右半平面 。這一 LS封閉曲線即為 [s]平面上的 Nuquist軌跡 。 當(dāng) 由 變到 時，軌跡的方向為順時針方向。 ???? ??? ?? ??2022/9/20 機(jī)械工程 [F]平面上的 Nyquist軌跡 [F]平面上的 Nyquist軌跡 （ [F]平面即 [F(s)]平面的簡定） 按 F(s)函數(shù)作出 。若其圖形如圖(b)所示，則其曲線不包圍原點(diǎn)，即 N=0，說明相應(yīng)的 Ls曲線所包圍的 F(s)函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)相等，故其差值為零（ N=ZP=0）。 注意：這里所說的