【文章內(nèi)容簡介】 立了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式、開環(huán)特征多項式和開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)之間的關系 . 28 幅角原理 ? 幅角原理 ： 設 Ls為 [s]平面上一條封閉曲線 ， F(s)在 Ls上解析 ， Z、 P分別為 F(s)在 Ls內(nèi)零 、 極點個數(shù) 。 當 s按順時針方向沿 Ls變化一周時 ， 向量F(s)在 [F]平面所形成的曲線 LF將包圍原點 N次 ， 且 N = Z P。 ? N0 ： F(s) 繞 [F]平面原點順時針轉(zhuǎn) N 圈 ； ? N0 ： F(s) 繞 [F]平面原點逆時針轉(zhuǎn) N 圈 。 Ls [s] ? j? o F(s) [ F ] Re Im o N=2 ? ??2)()()()()()(1)(??????????????????NsDsDsDsDsHsGsFkbkb幅角原理基本思想 利用 F(s)沿封閉曲線 Ls一圈的相位變化，確定 F(s)繞 [F]平面原點的圈數(shù)和方向 ,進而判斷其在 Ls內(nèi)的零、極點個數(shù)之差： 29 ? Nyquist判據(jù)基本思想 ① 為判斷 F(s)在 [s] 右半平面有無零點，作封閉曲線 Ls包圍整個 [s]右半平面。 (該曲線由整個虛軸 和 無窮大右半圓 組成。 ) R= ? Ls [ S ] ② F(s)在 [s ] 右半平面零、極點個數(shù)之差，可由 [F(s)]平面上的封閉軌跡繞該平面原點的圈數(shù)和方向來確定。 [ F ] o ③ 由 F(s)=1+G(s)H(s), 得 G(s)H(s)=F(s)1,即繞[F ] 平面原點的封閉軌跡，等價于繞 [GH ]平面上 (1， j0) 的封閉軌跡。 [GH] (1,j0) ④ 根據(jù) G(s)H(s)繞 [GH]平面 (1， j0)點的 N及 G(s)H(s)的極點數(shù) P，可判斷 F(s)在 [s]右半平面的零點數(shù) : Z=N+P。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 30 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) ? Gk(s)的形狀 ）常數(shù)（通常為平面無窮大右半圓：平面虛軸：0)(][)2()j()(][)1( j?? ???? ?????skksksGsGsGs ??即 : [GK]平面上的 Nyquist軌跡為當 ?由 ∞到 +∞變化時 ， GK(j?)所形成的軌跡 。 記 P為 GK(s)在 [s]右半平面的極點數(shù) ， 則當 ?由 ∞到 +∞變化時 ， [GK]平面的軌跡 GK(j?)逆時針包圍點 （ 1， j0） P圈 (N=P)， 則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 。 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) ? 注：由于 Gk(j?)關于 Gk(j?)共軛 ， 因此只需作出 ?從 0~+?的Gk(j?)即可 。 31 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) Nyquist判據(jù)可簡單地用下式表示： 若 ??? ??? ?? PNP NP 且且0 00則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 ? 開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng) (P=0)的 Nyquist判據(jù) 系統(tǒng)在 開環(huán)狀態(tài)穩(wěn)定 的條件下 ， 閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：當? 由 ∞到 +∞變化時 ， 開環(huán) G(j?)H(j?) 軌跡不包圍 [GH]（ 或[GK]） 平面的 （ 1， j0） 點 。 32 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) ? 系統(tǒng) (a)因為開環(huán) Nyquist軌跡 不包圍 (1,j0)點 ， 且 P=0則 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 。 ? 系統(tǒng) (b)因為開環(huán) Nyquist軌跡 順時針包圍 (1,j0)點 2圈 ， 且 P=0則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定 ， 且不穩(wěn)定的極點數(shù) : Z=N=2. ? 例 1 圖 (a)、 (b)為 P=0的系統(tǒng)開環(huán) Nyquist圖 ,判斷其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 I mR e0K? = 0( 1 , j 0 )( a )I mR e0K? = 0( 1 , j 0 )( b )?=+? ?=? ?=? ?=+? [GH] [GH] P=0 P=0 33 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) ? 例 2 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 應用 Nyquist判據(jù) 1)()( ?? TsKsHsG判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 （ 2）分析：因為 P=1，所以當 N=1時有 Z=N+P=0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 : ① 當 K1時 ， Nyquist軌跡逆時針包圍 （ 1， j0） 點一圈 ， 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 （ N=1） ； ② 當 0K1時，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定（ N=0）； ③ 當 K=1時 ， 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定 （ Nyquist軌跡穿過 (1， j0)點對應F(s)穿過 [F]平面的原點 ） 。 0?? ????????TGTKGKKa r c t a n)j(1)()j(2??????（ 1）作開環(huán) Nyquist圖 34 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) .)1)(1)(12( )1)(1()()(321221 ???????sTsTsTsTsTsTKsHsG ba?? 例 3 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)開環(huán)有一個不穩(wěn)定極點 (P=1),而 ? 由 ∞到 +∞變化時 ， [ GH ]平面的軌跡 GK(j?) 逆時針包圍點(1,j0)一圈 (N=1)， 因此 Z=N+P=0,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 。 ???K ?G(j?)? Im Re ??0 0 ?n (1, j0) ????的 Nyquist軌跡如圖，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 ? 雖然開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)可以穩(wěn)定，但這種系統(tǒng)的動、靜態(tài)品質(zhì)通常不好，應當盡量避免。 35 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況 ? 問題的提出 當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié) （ 原點處存在極點 ） 或者在虛軸上存在極點時 ， 由于 GK(s) 在 Ls 上不再是解析函數(shù) ， 因此不可直接應用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 解決這一問題的基本思路是：用半徑 ?→ 0的半圓在虛軸上極點的右側(cè)繞過這些極點 ， 即將這些極點劃到 s左半平面 ， 從而使得 GK(s) 在 Ls 上仍然是解析函數(shù) 。 36 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況 原點處右半圓弧的數(shù)學方程 r ? 0 時 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ???????verKreDMsGrrkkreskr?????? ?????j00jlimlim)()0()0()( j0? [s]平面原點處極點所對應的 Nyquist軌跡 s = re j? (r?0) )()()()(sDssMsGkkk??系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) ? 從 0?0+： 20:)(:)(?vsGsGkk????? 其 Nyquist軌跡為 [GH]上幅值為無窮大 ， 弧度為 v?/2的圓弧 。 r j? O ? ? 0+ 0 s ? 從 0??/2： （ [s]平面） （ [Gk]平面） 37 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況 ? 原點處有極點的系統(tǒng)開環(huán) Nyquist軌跡 ： （ 1）一般情況 ?=0+ ?=0+ ① 作出 ?由 0+→∞ 變化時的 Nyquist曲線 。 ② 從 G(j0+)開始，以 ∞的半徑逆時針補畫 v 900的圓弧 (輔助線 )。 r j? O ? ? 0+ 38 開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況 ? 原點處有極點的系統(tǒng)開環(huán) Nyquist軌跡 ： （ 2）最小相位系統(tǒng) ????veerKG jj)0j( ?? ???其輔助線的起始點始終在無窮遠的正實軸上 。 （ 如果是非最小相位系統(tǒng) ， 且 v=2， 應如何作輔助線 ？ ） )20:( ?? ?? 對于最小相位系統(tǒng) ， 應當以半徑為無窮大的圓弧順時針方向連接正