【文章內(nèi)容簡介】 。 d. 一般，分形集的“分形維數(shù)”，嚴格大于它相應(yīng)的拓撲維數(shù)。 e. 在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。 分形幾何觀及其應(yīng)用 平面上決定一條直線或圓錐曲線只需數(shù)個條件。那么決定一片蕨葉需要多 少條件？如果把蕨葉看成是由線段拼合而咸，那么確定這片蕨葉的條件數(shù)相當 可現(xiàn)，然而當人們以分形的 眼光來看這片蕨葉時，可以把它認為是一個簡單的迭代函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)果，而確定該系統(tǒng)所需的條件數(shù)相比之下要少得多．這說明用特定的分形擬合蕨葉比用折線擬合蕨葉更為有效。 分形觀念的引入并非僅是一個描述手法上的改變，從根本上講分形反映了自然界中某些規(guī)律性的東西，以植物為例，植物的生長是植物細胞按一定的遺傳規(guī)律不斷發(fā)育、分裂的過程，這種按規(guī)律分裂的過程可以近似地看做是遞歸、 迭代過程，這與分形的產(chǎn)生極為相似。在此意義上，人們可以認為一種植物對應(yīng)一個迭代函數(shù)系統(tǒng)，人們甚至可以通過改變該系統(tǒng)中的某些參數(shù)來模擬植物的變異過程。 分形幾何還被用于海岸線的描繪及海圖制作、地震預(yù)報、圖象編碼理論、信號處理等領(lǐng)域，并在這些領(lǐng)域內(nèi)取得了個人注目的成績。作為多個學(xué)科的交叉，分形幾何對以往歐氏幾何不屑一顧（或說是無能為力）的“病態(tài)”曲線的全新解釋是人類認識客體不斷開拓的必然結(jié)果。當前，人們迫切需要一種能夠更好地研究、描述各種復(fù)雜自然曲線的幾何學(xué)：而分形幾何恰好可以堪當此用。所以說，分形幾何也就是自然幾何，以分形或分形的組合的眼光來看待周圍的物質(zhì)世界就是自然幾何觀。 第三章 Koch雪花的繪制 第 8 頁 von Koch 曲線簡介 自從有 了函數(shù)曲線的連續(xù)與可微性質(zhì)及其關(guān)系以后，是否存在一個處處連續(xù)而點點不可微的函數(shù)曲線成了研究的熱門。首先解決這個問題的是大數(shù)學(xué)家Weierstrass，他于 1872 年設(shè)計了如下的一個函數(shù)： ???? 0 2 )2c os ()( k k xbaxW ? 13456 圖 W(x) (a=,b=3) Weierstrass 證明了對某些 a和 b的值，該函數(shù)無處可微。 1916 年， Hardy證明了對滿足上列條件的所有 a和 b的值， W(x)都是無處可微的。 W(x)的缺點是極難繪圖，顧不夠直觀。 到 1904，瑞典數(shù)學(xué)家 von Koch 設(shè) 計了一條被稱之為 Koch 曲線的圖形，起設(shè)計步驟如下：設(shè) E0 為單位區(qū)間 [0， 1]，第一步，即 n=1，以 E0 的中間 1/3線段為底，向上作一個等邊三角形，然后去掉區(qū)間 (1/3,2/3)，得一條 4 折線段的多邊形 E1 。第二步，既 n=2，對 E1 的四條折線段重復(fù)上述過程，得到一條 16折線段多邊形 E2 。如圖 a b 圖 von Koch 曲線 Koch 雪花算法設(shè)計 不難想象，如果改變生成元 (如圖 n=0)，便可導(dǎo)至另外的曲線，圖 便是一例。利用這一生成元迭代的作下去，迭代步數(shù)記為 n，可以得到圖 第 9 頁 所示的結(jié)果。當 n→∞時，生成的則是著名的 Koch 雪花。 假設(shè)生成元的頂點為 p0、 p p p3，其中 p0=p3，這樣構(gòu)成的等邊三角形則是閉合的。我們現(xiàn)在用 P=[p0 p1 p2 p3]來記錄迭代過程中產(chǎn)生的新節(jié)點。首先由 p0、 p1計算出 p p3， p4=ptemp* TA 。這里我們將 ptemp分解為 ptemp(1)和 ptemp(2)。其中 ?????? ?? )3/c os ()3/s in( )3/s in()3/c os ( ?? ??A 主要算法如下： 取點 p0=(0,0),點 p1=(1,0) 如果令 P=[p0,p1]，則有 p0=P(:,i)。p1=P(:,i+1)。 下面由 p0、 p1計算其它點 p2=2*p0/3+p1/3。p3=p0/3+2*p1/3。 ptemp=p3p2。 p4=[ptemp(1)*cos(pi/3)ptemp(2)*sin(pi/3)。 ptemp(1)*sin(pi/3)+ptemp(2)*cos(pi/3)]+p2。 由下面的 M 語句完成對過程中產(chǎn)生的新節(jié)點的保護工作。 Ptemp(:,flag)=p0。 Ptemp(:,flag+1)=p2。 Ptemp(:,flag+2)=p4。 Ptemp(:,flag+3)=p3。 n=0 n=1 第 10 頁 n=2 n=10 圖 Koch 曲線 如果改變變換矩陣中的旋轉(zhuǎn)角度，將會產(chǎn)生另一張圖形，見圖 。這里我們將變換矩陣變?yōu)椋? ?????? ?? )4/c os ()4/s in( )4/s in()4/c os ( ?? ??A 圖 改變變換矩陣后的 Koch 雪花圖 第 11 頁 第四章 Frac_tree繪制 任意選定一個二維平面上的初始點坐標 (x0 ,y0 )。假設(shè)我們可以生成一個在 [0， 1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù) ? i ，那么根據(jù)其取值的大小，可以按下面的公式生成一個新的坐標點 (x1 ,y1 )。 )1,1( yx????????????????????????????,)00(),00()00(),00(,01yyxxyxyyxxyxyyxxyyxiii??? 令新生成的點 (x1 ,y1 )為初始點 (x0 ,y0 )，可以再生成一個新的點，我們可以多次重復(fù)這樣的過程，這樣就可以生成一族坐標點。 假設(shè)我們想根據(jù)這樣的方式產(chǎn)生 N個點，則可以由下面的 MATLAB 語句編寫一個函數(shù)。 function [x,y]=frac_tree(x0,y0,v,N) x=[x0。zeros(N1,1)]。y=[y0。zeros(N1,1)]。 for i=2:N vv=v(i)。 if vv, y(i)=*y(i1)。 elseif vv, x(i)=*(x(i1)y(i1))。y(i)=+*(x(i1)+y(i1))。 elseif vv, x(i)=*(x(i1)+y(i1))。y(i)=*(x(i1)y(i1))。 else, x(i)=*x(i1)。y(i)=*y(i1)+。 end end 調(diào)用此函數(shù)，我們可以由下面的 MATLAB 命令生成 10000 個這樣的點，并將這些點在 MATLAB 圖形窗口中用點的形式表示出來，如圖 所示。 N=10000； v=rand(N,1)。 [x,y]=frac_tree(0,0,v,N)。 h=plot(x(1:10000),y(1:10000),’ .’ ) set(h,’markersize’,4) 將 markersize 設(shè)置為 5； 第 12 頁 set(h,’markersize’, 5) markersize=4 markersize=5 圖 分形樹