【文章內容簡介】 個小方塊，每個小塊的厚度為 d ，塊內視為均勻介質。這樣，每個小塊有一個均勻的線性衰減系數(shù)，如圖所示， 設各個方塊的線性衰減系數(shù)分別為 nuuuu ,..., 321 。 X射線通過每一個方塊的衰減為 dueII 101 ?? ，射線通過第二個方塊的衰減為dueII 212 ?? ，通過第 n 個方塊的衰減為 dunn neIII ??? 。將上述各式代入整理，有： 圖 X射線通過非均勻介質時的體素劃分 duuuu neII ).. .(0 321 ?????? （ ） 即 dpuuuu n /...321 ????? （ ） 式中， )ln( 0IIp? 是通過射線強度檢測得到的檢測值，是一個已知量，稱為投影。這樣，上式中，等號右邊可視為一個常數(shù)，等待求 解的是等式左邊的每一個方塊的衰減系數(shù)。由于未知量太多，這個方程沒有唯一解?？紤]到圍繞受檢體的一次掃描可以得到一個有關衰減系數(shù)的方程，如果將整個感興趣斷層都劃分為大小相等的小方塊，每個小方塊由于一個固定的衰減系數(shù)，這樣，上述單束射線環(huán)繞掃描得到的每個穿透強度值都可以形成一個關于衰減系數(shù)的方程。只要掃描線不重復且足夠多，這些衰減系數(shù)的確定值肯定可以通過解線性方程組的方法解第二章 CT 圖像重建的基本原理 8 出唯一實數(shù)解。把每個方塊的衰減系數(shù)值用灰度表示，就可以重建出以衰減系數(shù)為特征的斷層圖像。這種圖像重建方法稱為方程組法。 值得說明的是，當上圖中 0?d 時，投影 p 就是 dlluIIp ??? )()ln( 0 （ ） 式中，衰減系數(shù) )(lu 是隨路徑 l 連續(xù)變化的函數(shù)。上式說明，入射 X 射線強度與出射 X 射線強度之比經對數(shù)運算后，表示沿射線路徑上衰減系數(shù)的線積分，而投影 p 與射線穿越介質的路徑長度成正比。 然而，一般二維斷層圖像至少應劃分出 160 160 個像素，如要用方程組法重建這個斷層圖像，就要 25600 個獨立的方程聯(lián)立求解，這是一個相當費時的任務。盡管 1967 年世界首臺 CT 試驗機采用的就是這個圖像重建方法，但當斷層被劃為更小更多的體素時，即使采用今天最先進的計算機技術，解一組這樣的方程組也不是件容易的事。所以 ，這種方法在后來的實際應用中已不再使用，而是采用下一章將要介紹的反投影解析法。 第三章 CT 圖像解析重建算法 9 第三章 CT 圖像解析重建算法 通過上一章已經知道 CT 圖像重建的基本原理，但由于使用最簡單直接的方程組法不易求得斷層的各個像素的衰減系數(shù)。這一章介紹現(xiàn)在 CT 最常用的圖像重建算法 —— 反投影解析法。主要介紹了由投影重建圖像的系統(tǒng)模型，引進Radon 變換和傅立葉變換，它們對應于 X 射線 CT 的二維重建問題；且給出了Radon 變換在圖像重建中的具體形式，即截面函數(shù)沿著直線的線積分等于其 Radon 變換，而圖像重建過程即是將截面函數(shù)沿許多 不同角度下直線的線積分所產生的投影數(shù)據(jù)進行逆 Radon 變換從而得到截面函數(shù)。另外由逆 Radon 變換的推導給出了兩種常用的圖像解析重建法：濾波反投影法和卷積反投影法。 反投影重建法（ BP） 反投影是一個求和的過程，它把所有角度上的數(shù)據(jù)都加在一起。它把投影域中的數(shù)據(jù)沿著原來的投影路徑“涂抹”回去，但不改變數(shù)據(jù)的值 ]3[ 。 直接反投影重建是指，斷層平面中某像素的線性衰減系數(shù)可由平面內所有經過該像素射線的投影和得出，而整幅圖像重建 可以看做為所有方向上掃描投影的累加。通俗地講，所謂直接反投影，就是在對某體面一個方向的掃描完成后，以得到的投影為灰度值沿著掃描路徑經過的體素回抹到體素對應的像素上。改變方向后的多次掃描形成多次回抹，同一像素上多次回抹的灰度累加即完成圖像重建。 圖 斷層的像素和射線模型 第三章 CT 圖像解析重建算法 10 圖 反投影重建示例 如圖 所示，其中（ a）為原圖像像素，（ b）為反投影重建后圖像，（ c）為（ b）中像素值除以投影線數(shù)后得到的平均值。有上述例子可以看出原圖中像素值為零的像素，經反投影重建后不再為零。即有偽跡。 直接反投 影圖像產生星狀偽跡的原因在于，該方法是把取自有限物體空間的投影均勻地回抹（反投影）到了射線所及的無限空間的各個像素上，包括原來像素值為 0的點。 圖 反投影重建的等效系統(tǒng) 設 ),( yxu 為處于 0,0 ?? yx 處的一個點源，即二維斷面 ),( yx 上的一個沖擊函數(shù) ),( yx? ，這時的輸出 ),( yxf 就是系統(tǒng)的沖擊響應 ),( yxh 。 已知 221),( yxyxh ?? ? （ ） 可見，反投影重建過程后得到的圖像不是原來的圖像 ),( yx? ，系統(tǒng)存 在星狀偽跡。 根據(jù)信號與系統(tǒng)理論，對于圖 有： ),(**),(),( yxhyxuyxf ? （ ） 式中，兩個星號表示二維卷積 ]4[ 。 第三章 CT 圖像解析重建算法 11 如果想要去除星狀偽跡，可在系統(tǒng)的輸出端再加上一個濾波器，設其時域函數(shù)為 ),( yxq ，傳遞函數(shù)為 ),( 21 ??Q ，為了使該加了濾波器的系統(tǒng)輸出的圖像等于系統(tǒng)輸入的原圖 ),( yxu ，也就是要求 ),(),(**),( yxyxhyxq ?? （ ） 即 ),(1**),(22 yxyxyxq ?? ?? （ ） 對該式取二維傅立葉變換，得到： 11),(2221 ??? yxQ ??? （ ） 即 222121 ),( ????? ??Q （ ） 這是一個二維濾波器。即使加上某種近似，這種濾波器也不容易實現(xiàn)。如果21 ??和 的值取無窮，則是一個不可能實現(xiàn)的理想濾波器。為此提出了濾波反投影圖像重建法。 濾波反投影圖像重建法（ FBP） 為了消除直接反投影法產生的星狀偽跡，提出了濾波反投影重建的方法，這種方法是在直接反 投影重建方法的基礎上增加一個濾波器。增加濾波器的思路有兩種，如圖 所示。 第三章 CT 圖像解析重建算法 12 圖 兩種不同的去除星狀偽跡反投影圖像重建思路 所謂濾波反投影重建法是把獲得的投影函數(shù)先做卷積處理，即人為設計一種一維濾波器，用它對所得的投影函數(shù)進行改造，然后把這些改造過的投影函數(shù)進行反投影和累加等處理，就可以達到在一定程度上消除星狀偽跡的目的。 在介紹濾波反投影重建法之前先補充濾波反投影重建法要用到的數(shù)學知識和投影定理 —— 中心切片定理。 Radon 變換與傅立葉變換 為了有效和快速地對圖像進行處理，常需要將原定 義在圖像空間的圖像以某種形式轉換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質方便地進行一定的加工，最后再轉換回圖像空間以得到所需的效果 ]7[ 。通常 正變換：圖像空間到其他空間 反變換：其他空間到圖像空間 Radon 變換 Radon 變換 1917 年由奧地利數(shù)學家 Radon 提出，是 CT 圖像重建思想的數(shù)學表達。 Radon 從理論上證明了某物理量的二維分布函數(shù)可由該函數(shù)在其定義域內的所有方向上的線積分完全確定。 Radon 變換的意義在 于，只要知道了一個未知二維分布函數(shù)的所有方向上的線積分，那么就能夠求得該二維分布函數(shù)。所謂CT 斷層的圖像重建，就是求取能夠反應斷層內部結構和組成的某物理量的二維分布。斷層掃描獲得的投影實際上可視為被測物體斷層內部結構和組成的不同方向上的線積分，所以 Radon 變換的正變換和逆變換正好對應了 CT 技術的射線投影和圖像二維分布函數(shù)的重建過程。 第三章 CT 圖像解析重建算法 13 對 ),( yxf 的 Radon 變換 ),( ?pRf 定義為沿由 p 和 ? 定義的直線 l 的線積分。若設 ),( yxf 表示物體的一個二維斷層分布，通過 Radon 變換的到 f 沿不同方向直線的線積分相當于得到物體不同方向的投影。 圖 定義 Radon 變換的坐標系統(tǒng) 上述線積分可寫為： ????? dlyxfpR f ),(),( ? （ ） 如果借助 Delta 函數(shù)，上述線積分還可寫為： ? ???? ??? ??? d x d yyxpyxfpR f )s inc os(),(),( ???? （ ） 上式通常稱為 ),( yxf 的 Radon 變換。 由上述可知， ),( yxf 關于某直線的 Radon 變換就是 ),( yxf 沿該直線上的一維投影。 實際上當將 ? 也視作可變參數(shù)時， ),( ?pRf 就是一個二元函數(shù)，此時 Radon變換是空間域 ),( yx 到變換域 ),( ?p 的映射。域 ),( ?p 中的每個點對應于空間域),( yx 中的一條直線，這里 ),( ?p 實際上就是《圖像分析》中直線的 Hough 變換 ]10[ 。 傅立葉變換的定義 ???? ???? dedeftf ii? ????????? ])([21)( （ ） 其中 第三章 CT 圖像解析重建算法 14 dtetfF ti?? ?????? )()( （實自變量的復值函數(shù)） （ ） 稱為 )(tf 的 Fourier 變換，記為 )]([ tfF 。 ??? ? deF ti)(21 ???? 稱為 )(?F 的 Fourier 逆變換，記為 )]([1 ?fF? 。 中心切片定理 中心切片定理的含義是平行投影的一維傅立葉變換等同于原始物體的二維傅立葉變換的一個切片。將已知投影數(shù)據(jù)通過一個簡單的二維傅立葉反變換可以得到物體截面的一個評估。 圖 中心切片定理示意圖 通過上圖可知：某斷層（或它對應的圖像） ),( yxf 在視角為 ? 時得到的平行投影（函數(shù)）的一維傅立葉變換，等于 ),( yxf 二維傅立葉變換 ),( 21 ??F 過原點的一個垂直切片，且切片與 軸 1? 相交成 ? 角 ]9[ 。 數(shù)學表達如下： 首先定義代表截面的函數(shù)的二維傅里葉變換： d x d yeyxfvuF vyuxj? ?????????? )(2),(),( ? （ ） 類似的定義某個角度 ? 下的一條投影 )(tP? 的傅里葉變換： 第三章 CT 圖像解析重建算法 15 dtetPS tj ???? ? 2)()( ?????? （ ） 舉個最簡單的例子：沿著 ? =0 的直線方向，物體投影的傅里葉變換等于頻域里面 ? = 0 的情形 d x d yeyxfuF uxj? ????????? ?2),()0,( （ ） 因為相位因子不再依賴于 y ，在此可以將積分分成兩部分， dxedyyxfuF uxj? ????????? ?2]),([)0,( （ ） 從平行投影的定義看，可以將上式括號中的部分看成是沿著常 量 x 的積分 dyyxfxP ?????? ),()(0? （ ） 將其代入 ()得到 dxexPuF uxj??????? ?? 20 )()0,( （ ） 等式右邊表示的是投影 0??P 的一維傅里葉變換；因此可以得到垂直方向投影和投影函數(shù)的二維變換的關系式： )()0,( 0 uSuF ?? ? （ ） 這是傅里葉切片定理最簡單的形式。很明顯物體與坐標系統(tǒng)間的位置方向是獨立的。例如，在圖 中，如果 ),(st ,坐標系統(tǒng)為 ),( yx ,坐標系統(tǒng)旋轉 ? ，式()定義的投影的傅里葉變換等于物體沿著一旋轉了 ? 角的直線的二維傅里葉變換。從而引出了成像系統(tǒng)中著名的中心（傅里葉）切片定理 ]2[ 。 即某圖像 ),( yxf 在視角 ? 時的平行投影的傅里葉變換給出了圖像二維傅里葉變換 ),( vuF 在與 u 軸夾角為 ? 的一個切片，此切片通過原點。換句話說，的 )(tP?傅里葉變換在數(shù)值上對應于 ),( vuF 沿著圖中所示直線 BB 的值。 通過將 ),( yx 坐標系統(tǒng)旋轉得到 ),(st 坐標系統(tǒng)后，傅里葉切片定理可以得到更廣泛的應用。在 ),(st 系統(tǒng)中沿著常量為 t 的直線進行的投影可表示成： ????? dsstftP ),()(? （ ） 第三章 CT 圖像解析重建算法 16 其傅里葉變換 ???? ?? dtetPS tj ???? ? 2)()( （ ） 將以上兩式合并，可以發(fā)現(xiàn) ? ???? ????? dtedsstfS tj ??? ? 2]),([)( （ ） 借助旋轉坐標定義可以得到關于 ),( yx 坐標系統(tǒng)的變換形式 ? ???? ?????? d x dyeyxfS yxj ))s i n ()c o s ((2),()( ????? ? （ ） 等式右邊表示一個空間域的傅 里葉變換， )s in (),c os ( ???? ?? vu 則 ))s in ()c o s ((),()( ???????? ，F(xiàn)FS ?? （ ） 這個