【文章內容簡介】 s sXs s? ? ? (321) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為： ? ?? ? 20 . 0 2 7 2 50 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5sVs s? ? ? (322) 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數： 32( ) 2 . 3 5 6 5 5() 0 . 0 8 8 3 1 6 7 2 7 . 9 1 6 9 2 . 3 0 9 4 2ssUs s s s? ? ? ? ? (323) 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 10 0 1 0 0 00 0 . 0 8 8 3 1 6 7 0 . 6 2 9 3 1 7 0 0 . 8 8 3 1 6 70 0 0 1 00 0 . 2 3 5 6 5 5 2 7 . 8 2 8 5 0 2 . 3 5 6 5 5x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (324) 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 2 9 . 4 0 3x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (325) 需要說明的是，在 本文 的控制器設計和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。 系統(tǒng)階躍響應分析 上面已經得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，先對其進行階躍響應分析，在 MATLAB 中鍵入以下命令： clear。 A=[0 1 0 0。0 0 0 0。0 0 0 1。0 0 0]。 B=[0 1 0 3]39。 C=[1 0 0 0。0 1 0 0]。 D=[0 0]39。 step(A,B,C,D)。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 11 得到如下計算結果： 圖 33 直線一級倒立擺單位階躍響應仿真 可以看出，在單位階躍響應作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應也可以采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 m = 。 b = 。 I = 。 g = 。 l = 。 p = I*(M+m)+M*m*l^2。 A = [0 1 0 0。 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0。 0 0 0 1。 0 (m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0] B = [ 0。 (I+m*l^2)/p。 0。 m*l/p] 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 12 C = [1 0 0 0。 0 0 1 0] D = [0。 0]。 T = 0::5。 U = *ones(size(T))。 [Y,X] = lsim(A,B,C,D,U,T)。 plot(T,Y)。 axis([0 2 0 100])。 grid。 運行后得到如圖的仿真結果： 圖 34 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應仿真結果 倒立擺傳遞函數、開環(huán)極點及開環(huán)脈沖響應也可 采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 m = 。 b = 。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 13 I = 。 g = 。 l = 。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 num = [m*l/q 0 0]。 den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0]。 [r,p,k] = residue(num,den)。 s = p 。 t=0::5。 impulse(num,den,t)。 axis([0 1 0 60])。 grid。 運行后得到如圖的仿真結果： 圖 35 倒立擺傳遞函數、開環(huán)極點及開環(huán)脈沖響應仿真結果 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 14 4 直線一級倒立擺 PID 控制器設計 PID 控制分析 在 模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是 PID 控制。常規(guī) PID 控制系統(tǒng)原理框圖如圖 41 所示。系統(tǒng)由模擬 PID 控制器 KD(S)和被控對象 G(S)組成。 圖 41 常規(guī) PID 控制系統(tǒng)圖 PID 控制器是一種線性控制器，它根據給定值 )(tr 與實際輸出值 ()yt 構成控制偏差 )(te ： ( ) ( ) ( )e t r t y t?? 將偏差的比例 (P)、積分 (I)和微分 (D)通過線性組合構成控制量，對被控對象進行控制，故稱 PID 控制器。其控制規(guī)律為： ?????? ??? ? dt tdeTdtteTteKtu DtIP)()(1)()(0 或寫成傳遞函數的形式 ： ???????? ???? sTsTKsE sUsG DIP 11)( )()( 式中： PK ——比例系數； IT ——積分時間常數； DT ——微分時間常數。 在控制系統(tǒng)設計和仿真中，也將傳遞函數寫成 ： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 15 sKsKKsE sUsG DIP ???? )( )()( 式中： PK ——比例系數； IK ——積分系數； DK ——微分系數。 簡單說來， PID 控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下： （ 1）比例環(huán)節(jié)：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號 )(te ，偏差一旦產生，控制器立即產生控制作用，以減少偏差。 （ 2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強弱取決于積分時間常數 IT ， IT 越大，積分作用越弱，反之則越強。 （ 3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調節(jié)時間。 PID 校正兼顧了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能和動態(tài)性能的改善，因此在要求較多的場合，較多采用 PID 校正。由于 PID 校正使系統(tǒng)在低頻段相位后移，而在中頻段相位前移，因此又稱它為相位滯后 超前校正。 這個控制問題和我們以前遇到的標準控制問題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應。系統(tǒng)框圖如圖 42 所示 。 圖 42 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)圖 圖中 )(sKD 是控制器傳遞函數， )(sG 是被控對象傳遞函數。 考慮到輸入 0)( ?sr ，結構圖可以很容易地變換成 如圖 43 的系統(tǒng)簡化圖。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 16 圖 43 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)簡化圖 該系統(tǒng)的輸出為 ： )())(())(()()())(())((1)()()(1)()(sFnumn u m P I Dd e nd e n P I Dd e n P I DnumsFd e nd e n P I Dnumn u m P I Dd e nnumsFsGsKDsGsy?????? 其中： num ——被控對象傳遞函數的分子項 den ——被控對象傳遞函數的分母項 numPID ——PID 控制器傳遞函數的分子項 denPID ——PID 控制器傳遞函數的分母項 通過分析上式就可以得到系統(tǒng)的各項性能。 由 式子 (313)可以得到擺桿角度和小車加速度的傳遞函數： ? ?? ? ? ?22s mlVsI ml s mgl? ??? PID 控制器的傳遞函數為： d e n P I Dn u m PI Ds KsKsKsKKsKsKD IPDIPD ???????2)( 只需調節(jié) PID 控制器的參數，就可以得到滿意的控制效果。 前面的討論只考慮了擺桿角度，那么，在控制的過程中，小車位置如何變化呢？ 小車位置輸出為： ? ? ? ?2X s s V s? 通過對控制量 v 雙重積分即可以得到小車位置。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 17 PID 控制參數設定及 MATLAB 仿真 對于 PID 控制參數，我們采用以下的方法進行設定。 由實際系統(tǒng)的物理模型： ? ?? ?20 . 0 2 7 2 50 . 0 1 0 2 1 2 5 0 . 2 6 7 0 5sVs s? ? ? 在 Simulink 中建立如圖 44 所示的直線一級倒立擺模型： 圖 44 直線一級倒立擺 PID 控制 MATLAB 仿真模型 先設置 PID 控制器為 P 控制器，令 9K?P ， 0IK? ， 0DK? ，得到圖 45 仿真結果 。 圖 45 P控制仿真結果圖（ 9K?P ） 從圖 45中可以看出，控制曲線不收斂，因此增大控制量，令 40PK? ， 0IK? ， 0DK? ，得到如圖 46 仿真結果 。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 18 圖 46 P 控制仿真結果圖（ 40PK? ） 從圖 46 中可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)持續(xù)振蕩，周期約為 。為消除系統(tǒng)的振蕩，增加微分控制參數 DK ，令： 0IK? ， 4DK? ，得到圖 47 仿真結果 。 圖 47 PD 控制仿真結果圖（ 40PK ? ， 4DK? ） 從圖 47 中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定時間過長，大約為 4 秒，且在兩個振蕩周期后才能穩(wěn)定，因此再增加微分控制參數 DK ，令： 40PK? ， 0IK? ， 10DK? ，仿真得到圖48 仿真 結果 。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 19 圖 48 PD 控制（ 40PK? ， 10DK? ） 從圖 48 可以看出，系統(tǒng)在 秒后達到平衡，但是存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差。為消除穩(wěn)態(tài)誤差，我們增加積分參數 IK ，令： 40PK? ， 20IK? ， 10DK? ，得到圖 49 仿真結果。 圖 49 PID 控制（ 40PK? ， 20IK? ， 10DK? ） 從上面仿真結果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但由于積分因素的影響，穩(wěn)定時間明顯增大。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 20 雙擊 “Scope1”，得到小車的位置輸出曲線如圖 410 所示 。 圖 410 PD控制（小車位置曲線） 可以看出，由于 PID 控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會往一個方向運動。 5 直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置控制器設計 經典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出系統(tǒng)，現代控制理論將其概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。 現代控制理論是一種“時域法”，它引入了“狀態(tài)”的概念，用“狀態(tài)變量”及“狀態(tài)方程”描述系統(tǒng)，從而理論上解決了系統(tǒng)的可控性、可觀測性及許多復雜問題的控制問題。 極點配置法通過設計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。 由經典控制理論可知，閉環(huán)系統(tǒng)性能與閉環(huán)極點密切相關，用調整開環(huán)增益及引入串并、聯校正裝置來配置閉環(huán)極點，以改善系統(tǒng)性能 。但 由于經典控制是用傳遞函數來描述的，它只能用輸出量作為反饋量。而現代控制理論由于采用系統(tǒng)內部的狀態(tài)變 量來描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還經常采用狀態(tài)反饋 ，因為它能提供更多的校正信息和可供選擇的自由度，因而