【正文】 將 markersize 設(shè)置為 5； 第 12 頁(yè) set(h,’markersize’, 5) markersize=4 markersize=5 圖 分形樹(shù) 第五章 Mandelbort集的繪制 第 13 頁(yè) Mandelbort 集簡(jiǎn)介 1980 年， Mandelbort 給世人提供了一幅無(wú)與倫比的杰作： Mandelbort 集。 N=10000； v=rand(N,1)。y(i)=*y(i1)+。y(i)=*(x(i1)y(i1))。y(i)=+*(x(i1)+y(i1))。 if vv, y(i)=*y(i1)。zeros(N1,1)]。zeros(N1,1)]。 假設(shè)我們想根據(jù)這樣的方式產(chǎn)生 N個(gè)點(diǎn)，則可以由下面的 MATLAB 語(yǔ)句編寫(xiě)一個(gè)函數(shù)。假設(shè)我們可以生成一個(gè)在 [0， 1]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù) ? i ，那么根據(jù)其取值的大小，可以按下面的公式生成一個(gè)新的坐標(biāo)點(diǎn) (x1 ,y1 )。 n=0 n=1 第 10 頁(yè) n=2 n=10 圖 Koch 曲線 如果改變變換矩陣中的旋轉(zhuǎn)角度，將會(huì)產(chǎn)生另一張圖形，見(jiàn)圖 。 Ptemp(:,flag+2)=p4。 Ptemp(:,flag)=p0。 ptemp(1)*sin(pi/3)+ptemp(2)*cos(pi/3)]+p2。 ptemp=p3p2。 下面由 p0、 p1計(jì)算其它點(diǎn) p2=2*p0/3+p1/3。其中 ?????? ?? )3/c os ()3/s in( )3/s in()3/c os ( ?? ??A 主要算法如下： 取點(diǎn) p0=(0,0),點(diǎn) p1=(1,0) 如果令 P=[p0,p1]，則有 p0=P(:,i)。首先由 p0、 p1計(jì)算出 p p3， p4=ptemp* TA 。 假設(shè)生成元的頂點(diǎn)為 p0、 p p p3，其中 p0=p3，這樣構(gòu)成的等邊三角形則是閉合的。利用這一生成元迭代的作下去，迭代步數(shù)記為 n，可以得到圖 第 9 頁(yè) 所示的結(jié)果。第二步，既 n=2，對(duì) E1 的四條折線段重復(fù)上述過(guò)程，得到一條 16折線段多邊形 E2 。 W(x)的缺點(diǎn)是極難繪圖，顧不夠直觀。首先解決這個(gè)問(wèn)題的是大數(shù)學(xué)家Weierstrass，他于 1872 年設(shè)計(jì)了如下的一個(gè)函數(shù)： ???? 0 2 )2c os ()( k k xbaxW ? 13456 圖 W(x) (a=,b=3) Weierstrass 證明了對(duì)某些 a和 b的值，該函數(shù)無(wú)處可微。所以說(shuō)，分形幾何也就是自然幾何，以分形或分形的組合的眼光來(lái)看待周?chē)奈镔|(zhì)世界就是自然幾何觀。作為多個(gè)學(xué)科的交叉，分形幾何對(duì)以往歐氏幾何不屑一顧（或說(shuō)是無(wú)能為力）的“病態(tài)”曲線的全新解釋是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客體不斷開(kāi)拓的必然結(jié)果。在此意義上，人們可以認(rèn)為一種植物對(duì)應(yīng)一個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng)，人們甚至可以通過(guò)改變?cè)撓到y(tǒng)中的某些參數(shù)來(lái)模擬植物的變異過(guò)程。那么決定一片蕨葉需要多 少條件？如果把蕨葉看成是由線段拼合而咸，那么確定這片蕨葉的條件數(shù)相當(dāng) 可現(xiàn)，然而當(dāng)人們以分形的 眼光來(lái)看這片蕨葉時(shí)，可以把它認(rèn)為是一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)果，而確定該系統(tǒng)所需的條件數(shù)相比之下要少得多．這說(shuō)明用特定的分形擬合蕨葉比用折線擬合蕨葉更為有效。 e. 在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡(jiǎn)單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。 c. 分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統(tǒng)計(jì)的自相似。 a. 分形集都具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)，或者說(shuō)它具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)。實(shí)際上，對(duì)于什么是分形，到目前為止還不能給出一個(gè)確切的科學(xué)定義，正如生物學(xué)中對(duì)“生命”也沒(méi)有嚴(yán)格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來(lái)加以說(shuō)明。 第 7 頁(yè) (2) 部分與整體以某種形式相似的形，稱(chēng)為分形。 其中， Dim(A)為集合 A的 Hausdoff 維數(shù)（或分維數(shù)）， dim(A)為其拓?fù)渚S數(shù)。直觀而粗略地說(shuō)，這些對(duì)象都是分形。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無(wú)常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯(cuò)的血管，令人眼花僚亂的滿天繁星等。因此，取拉丁詞之頭，擷 英文之尾的 fractal，本意是不規(guī)則的、破碎 的、分?jǐn)?shù)的。此外與英文的 fraction（ 碎片 、 分?jǐn)?shù)）及 fragment（碎片 ）具有相同的詞根。 Fractal(分形 )一詞的由來(lái) 據(jù) Mandelbort教授自己說(shuō)， fractal一詞是 1975年夏天的一個(gè)寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時(shí)突然想到的。當(dāng)然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。 (2) 在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。 分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有何特點(diǎn) (1) 從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普 遍存在的，因此分形幾何又稱(chēng)為描述大自然的幾何學(xué)。 第 6 頁(yè) 第二章 分形入門(mén)知識(shí) 分形理論 誰(shuí)創(chuàng)立了分形幾何學(xué) 1973 年，美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家 在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。這就是所謂的“數(shù)組運(yùn)算”。對(duì)一般的計(jì)算語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，必須采用兩層循環(huán)才能得到結(jié)果，不但程序復(fù)雜，而且那些討厭的循環(huán)十分費(fèi)時(shí)。這一方面使 MATLAB 程序可以被高度“向量化”，另方面使用戶易讀易寫(xiě)。 MATLAB 語(yǔ)言的傳統(tǒng)優(yōu)點(diǎn) MATLAB 自問(wèn)世起，就以數(shù)值計(jì)算稱(chēng)雄。在 MATLAB 中 for 循環(huán)的基本結(jié)構(gòu)如下： 第 5 頁(yè) for index=start:increment:end MATLAB 語(yǔ)句 end 其中， index 的取值取決于 start 和 end 的值， increment 為步長(zhǎng)，默認(rèn)的數(shù)值為 1。 (3) if(關(guān)系表達(dá)式 a) MATLAB 語(yǔ)句 A elseif(關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式 b) MATLAB 語(yǔ)句 B else(關(guān)系表達(dá)式 c) ? end 這種選擇結(jié)構(gòu)可以判斷多條 關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果，然后按照?qǐng)?zhí)行的邏輯關(guān)系執(zhí)行相應(yīng)的語(yǔ)句。 1. if 語(yǔ)句的基本語(yǔ)法結(jié)構(gòu)有三種，分別如下： (1) if(關(guān)系運(yùn)算表達(dá)式 ) MATLAB 語(yǔ)句 end 這種形式的選擇結(jié)構(gòu)表示，當(dāng)關(guān)系 運(yùn)算表達(dá)式計(jì)算的結(jié)果為邏輯真的時(shí)候，執(zhí)行 MATLAB 語(yǔ)句，這里的 MATLAB 語(yǔ)句也可以是多個(gè) MATLAB 表達(dá)式。結(jié)構(gòu)化的程序主要有三種基本的程序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。