【導讀】分形是描述不規(guī)則幾何形態(tài)的有力工具。不言而喻，不規(guī)則的幾何形態(tài)在。我們的周圍處處可見，諸如花草、山脈、煙云、火焰等舉目皆是。幾何形態(tài)，它們往往都是分形幾何的研究對象。樣描述復雜的自然表象？恰恰是分形幾何學，它把自然形態(tài)看作是具有無限嵌。迭代中得到描述自然形態(tài)的有效方法。如果不是計算機圖形圖像處理功能的增強，不。象可以產(chǎn)生具有無限細結(jié)的自然景物和高度真實感的三維動畫。學的發(fā)展上產(chǎn)生一定的影響。下面我們將以MATLAB為平臺，講述用M語言實?，F(xiàn)分形圖形的繪制。特別向我的導師及搭檔致以誠摯的謝意。軟件接口，此即用FORTRAN編寫的萌芽狀態(tài)的MATLAB。當其以商品形式出現(xiàn)。閉式軟件包紛紛淘汰，而改以MATLAB為平臺加以重建。MATLAB已經(jīng)成為國際控制界公認的標準計算軟件。的第一個元素，而K為向量的最后一個元素，INC為向量元素遞增的步長。在表達式中忽略INC，則默認的遞增步長為1。INC可以為正數(shù)也可以為負數(shù)，訪問向量的元素只要使用相應元素的索引即可。

　　

【正文】 且對上式運用時間逃逸法后，便得到一 幅 Julia 圖了。 Julia 集的算法設計 選一個復數(shù) c，在對 min(x , )miny 到 max(x , )maxy 平面區(qū)域內(nèi)每個點jyxz *00 ?? 做如下映射 zcz ??2 之后，如果變換的點仍有界的，則再繼續(xù)上述的映射。進行若干次映射后，我們可以得出一個新的復數(shù)，我們可以把它進行變換后賦給 ),( 00 yxz 。為了處理方便，我們可以定于一個測度zeyxz ??),(? 00 來表示高度。 這樣的集合稱為一種 Julia 集。很顯然，用 MATLAB 處理后，如果某個映射點是無界的，則其值將自動變換成 NaN，從而在圖形繪制時被剪切掉。 我們可以根據(jù)這樣的算法編寫一個 MATLAB 函數(shù) julia()，其清單為： function W=Julia(X,Y,c,n_iter) Z=X+i*Y。 for k=1:n_iter,z=z?. 2+c。 end W=exp(abs(z))。 其中， X 和 Y 可以是 min(x , )miny 到 max(x , )maxy 平面區(qū)域內(nèi)接受某種方式分隔的網(wǎng)絡， c 為指定的常數(shù) c， n_iter 是允許最大的映射次數(shù)，返回的 W 是),(? 00 yxz 的值構(gòu)成的矩陣。 選擇 30 次映射，我們可以給出下面的 MATLAB 語句來計算 Julia 集。 x=linspace(,300)。y=x。[X,Y]=meshgrid(x,y)。 n_iter=30。c=。 W=Julia(X,Y,c,n_iter)。 這樣得出的 z矩陣中有很多元素為 NaN。 MATLAB 在解決這樣問題中的優(yōu)勢就是它能有效地處理計算過程中的 NaN，所以用 MATLAB 語言來計算這樣的問 第 19 頁 題是合適的。 我們可以調(diào)用 pcolor()函數(shù)用為彩色描述得出的 z 矩陣。如果我們將色調(diào)設置成 prism(),則最終可以由下面的 MATLAB 語句繪制出 Julia 分形圖，如圖 (a)所示。 pcolor(X,Y,W),shading flat。 axis(‘ square’ )。 colormap prism(256)。 (a) n_iter=30 (b) n_iter=300 圖 不同映射次數(shù)下的 Julia 圖 選擇 300 次映射，則可以繪制出如圖 (b)所示的結(jié)果。 n_iter=300。 W=Julia(X,Y,c,n_iter)。 pcolor(X,Y,W),shading flat。 axis(‘ square’ )。 colormap prism(256)。 max(max(abs(WW1))) ans = 仔細比較這兩個圖，則可以看出它們之間是有很大區(qū)別的。在兩種影射次數(shù)下的結(jié)果中的矩陣之間也有較大的偏差 — 30 次映射是沒有完全收斂的。 選擇不同的參數(shù)和著色方案，我們可以看出分別由下面的 MATLAB 命令繪制出 Julia 集，如圖 (a)所示。 n_iter=300。 c=。 W=Julia(X,Y,c,n_iter)。 pcolor(X,Y,W1),shading flat。 axis(‘ square’ )。 第 20 頁 colormap prism(256)。 給定 c=+，選用 summer 色調(diào)。如圖 (b) colormap summer(256)。 (a) c= (b) c=+ 圖 參數(shù)變化時的 Julia Julia 集與 Mandelbort 集 一幅 Julia 集的圖完全依賴于常數(shù) c，所以我們常常把它簡記為cJ。由于Mandelbort 集和 Julia 集都源于同一個變換，因此它們之間必定有非常復雜的關系。由于每一個常數(shù) c 都對應一個cJ，而 M集上的每個點都是一個 c，所以 M集合的所有點就對 應著數(shù)以萬計的 cJ 。 事實上， Mandelbort 集已經(jīng)蘊含了無窮多不同的 Julia 集的信息，從這個意義上說可以認為 Mandelbort 集具有無限精細的結(jié)構(gòu)。圖 正顯示了他們兩者之間的這種關系。 第 21 頁 圖 Mandelbort 上的 Julia 信息 圖 分形圖的自相似性 第 22 頁 第七章 花籃簇的繪制 現(xiàn)在我們自己來給定一個花籃簇主型的參數(shù)。給定一個單位長線段 p0p1，如圖 (a),將其逆時針旋轉(zhuǎn) 4/? ，再壓縮為原來長度的 2/2 ，得到 p2。則p0、 p p2 構(gòu)成一個等腰直角三角形，將 p1 等分為 12 段，在 1/2處做垂線，將 p3取在其 1/3 處。 p3p p3p5 的長度均為 p0p1 的 1/12?；ɑ@簇的主型則如圖 的 (b)所示。 (a) (b) 圖 花籃簇的主型 下面我們算出它的比例： ]01[1]00[0 ?? pp 令 01 ppp ?? )]*)4/c o s (*)4/( s i n (2/2)*)4/s i n (*)4/( c o s (2/2[**2yxyxppppAprp???????? 3/212/0512/0312/353/212/1312/0512/343/)210(3pppppppppppppppp????????????? 其中 xp 、 yp 為 p 在 x、 y 上的分量。壓縮因子 2/2?r ，旋轉(zhuǎn)矩陣 ?????? ?? ?? ?? c ossin sinc osA 其中 4/??? 然后令線段 p0p1按上述比例變成 p0p3p5p2p4p3p1，就完成一次細分。 用 MATLAB編程， 細分 8次得到的圖像如下： 第 23 頁 圖 花籃圖 總 結(jié) 初次涉足 MATLAB 和分形生成，沒能為分形理論本身的奠基揮鍬舞鎬，對設計的結(jié)果亦不敢加以斷論，但就過程而言，從中受益匪淺。首先，通過 MATLAB的學習，讓我對其有了一定的了解，在知識上這是一筆巨大的財富；然后，隨著對分形的逐漸了解，在自己動手繪制出第一幅分形圖的那一刻，就被它的美深深吸引，悠然而生的感覺則變成了以后的動力，原以為枯燥乏味的數(shù)學竟然與視覺上的美結(jié)合的如此融洽。 分形幾何學的創(chuàng)建人 Mandelbort 經(jīng)歷了從微賤到成 名 30 余年的人生旅途。那種勇于向傳統(tǒng)挑戰(zhàn)的精神，那種鍥而不舍、奮斗不息的精神，對于即將步入社會中的我們來講，也不失為種鼓勵，在此，與所有的讀者共勉。 主要參考文獻： [1] 齊東旭 . 分形及其計算機生成 . 北京：科學出版社， 1994 [2] 李水根 . 分形 . 北京：高等教育出版社， 2020 [3] 金以文，魯世杰 . 分形幾何原理及其應用，杭州：浙江大學出版社， 1998 [4] 張 威， MATLAB 基礎與編程入門，西安：西安電子科技大學出版社， 2020