【正文】 那種勇于向傳統(tǒng)挑戰(zhàn)的精神，那種鍥而不舍、奮斗不息的精神，對(duì)于即將步入社會(huì)中的我們來講，也不失為種鼓勵(lì)，在此，與所有的讀者共勉。首先，通過 MATLAB的學(xué)習(xí)，讓我對(duì)其有了一定的了解，在知識(shí)上這是一筆巨大的財(cái)富；然后，隨著對(duì)分形的逐漸了解，在自己動(dòng)手繪制出第一幅分形圖的那一刻，就被它的美深深吸引，悠然而生的感覺則變成了以后的動(dòng)力，原以為枯燥乏味的數(shù)學(xué)竟然與視覺上的美結(jié)合的如此融洽。壓縮因子 2/2?r ，旋轉(zhuǎn)矩陣 ?????? ?? ?? ?? c ossin sinc osA 其中 4/??? 然后令線段 p0p1按上述比例變成 p0p3p5p2p4p3p1，就完成一次細(xì)分?；ɑ@簇的主型則如圖 的 (b)所示。則p0、 p p2 構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，將 p1 等分為 12 段，在 1/2處做垂線，將 p3取在其 1/3 處。 第 21 頁 圖 Mandelbort 上的 Julia 信息 圖 分形圖的自相似性 第 22 頁 第七章 花籃簇的繪制 現(xiàn)在我們自己來給定一個(gè)花籃簇主型的參數(shù)。 事實(shí)上， Mandelbort 集已經(jīng)蘊(yùn)含了無窮多不同的 Julia 集的信息，從這個(gè)意義上說可以認(rèn)為 Mandelbort 集具有無限精細(xì)的結(jié)構(gòu)。由于Mandelbort 集和 Julia 集都源于同一個(gè)變換，因此它們之間必定有非常復(fù)雜的關(guān)系。如圖 (b) colormap summer(256)。 第 20 頁 colormap prism(256)。 pcolor(X,Y,W1),shading flat。 c=。 選擇不同的參數(shù)和著色方案，我們可以看出分別由下面的 MATLAB 命令繪制出 Julia 集，如圖 (a)所示。 max(max(abs(WW1))) ans = 仔細(xì)比較這兩個(gè)圖，則可以看出它們之間是有很大區(qū)別的。 axis(‘ square’ )。 W=Julia(X,Y,c,n_iter)。 (a) n_iter=30 (b) n_iter=300 圖 不同映射次數(shù)下的 Julia 圖 選擇 300 次映射，則可以繪制出如圖 (b)所示的結(jié)果。 axis(‘ square’ )。如果我們將色調(diào)設(shè)置成 prism(),則最終可以由下面的 MATLAB 語句繪制出 Julia 分形圖，如圖 (a)所示。 MATLAB 在解決這樣問題中的優(yōu)勢(shì)就是它能有效地處理計(jì)算過程中的 NaN，所以用 MATLAB 語言來計(jì)算這樣的問 第 19 頁 題是合適的。 W=Julia(X,Y,c,n_iter)。 n_iter=30。y=x。 選擇 30 次映射，我們可以給出下面的 MATLAB 語句來計(jì)算 Julia 集。 end W=exp(abs(z))。 我們可以根據(jù)這樣的算法編寫一個(gè) MATLAB 函數(shù) julia()，其清單為： function W=Julia(X,Y,c,n_iter) Z=X+i*Y。 這樣的集合稱為一種 Julia 集。進(jìn)行若干次映射后，我們可以得出一個(gè)新的復(fù)數(shù)，我們可以把它進(jìn)行變換后賦給 ),( 00 yxz 。當(dāng) 0z 遍歷像素 (p,q)的所有點(diǎn)且對(duì)上式運(yùn)用時(shí)間逃逸法后，便得到一 幅 Julia 圖了。因此他的工作并不為世人重視。這種復(fù)平面上的變換能產(chǎn)生出一系列令人眼花繚亂的圖形變化。 ? 圖 另一個(gè) Mandelbort 圖 (800*600) 第六章 Julia集的繪制 第 18 頁 Julia 集簡介 Gaston Julia(18931978)，法國數(shù)學(xué)家。 qmin=。 pmin=。 v2=[0 1/sqrt(3) 1/sqrt(3) 1/sqrt(3)]39。 第 17 頁 下面我們?cè)诹硗獾?v1 和 v2 下再繪制一幅圖，其它參數(shù)不變。第一個(gè)建議是 v1 和 v2 最好是正交﹝類似互相垂直﹞，否則求得的圖形會(huì)有類似平行四邊形扭成長方形的變形。% 若有任何一個(gè)值超過 100,則認(rèn)為是發(fā)散的，并記入 out(i,j) end end image(out39。 end。2*k(1)*k(3)]+c。2*k(1)*k(2)。 n64。 c=u。 n=0。 for j=1:b+1。 % 用 (a+1)*(b+1)零矩陣來記錄每個(gè)發(fā)散的點(diǎn) out=zeros(a+1,b+1)。 delta_p=(pmaxpmin)/a。 % 假設(shè)顯示器的分辨率是 a*b點(diǎn)，則 a、 b便決定了圖的精細(xì)度 a=800。 qmax=。 pmax=。 offset=[0 0 0 0]39。圖如 (a) % 由 v v2 和 offset 來決定一個(gè)平面 v1=[1 0 0 0]39。 利用上面的過程，靈活地選取畫面窗口，就可以觀察到 Mandelbort 集的精細(xì)結(jié)構(gòu)。 如果 r? M，且 kK，轉(zhuǎn)至步驟 2。0 00 ??? yxk 第 14 頁 步驟 2： 用式 ()從 ( kk yx, )得出 ( 11, ?? kk yx ),計(jì)數(shù) k： =k+1 步驟 3： 計(jì)算 r= 22 kk yx ? 如果 rM,則選擇顏色 k，轉(zhuǎn)至步驟 4。 選定 ?minp , ?maxp , ?minq , ?maxq ,M=100。我們假設(shè)顯示器的分辨率是 a*b 點(diǎn)。 Mandelbort 集算法設(shè)計(jì) 對(duì)于 ??? 2zz ，分離 z及 ? 的實(shí)部與虛部，記 iyxz ?? ， iqp??? 相應(yīng)地，第 k個(gè)點(diǎn) zk 意味著 xy 平面上的點(diǎn) (xk ,yk ),從 zk 到 z 1?k 的迭代過程 ()就是 pyxx kkk ???? 221 qxyyk ??? 21 () 其中 p 和 q 在各步迭代中都保持為常數(shù)。實(shí)際上， Mandelbort 集和同樣震驚世界的 Julia集僅僅是映射 ??? 2zz 的無窮次迭代。 在第二節(jié)中，我們將看到幾幅 Mandelbort 圖，它們具有多姿荊棘的圓盤，彎曲纏繞的螺線和細(xì)絲，掛著微細(xì)顆粒的鱗莖，無盡的斑斕色彩，意料外的精細(xì)結(jié)構(gòu)，處處顯示出分形奇特之美。當(dāng)像素位于 (p,q)且 n=N 時(shí) , nz 仍然小于給定的一個(gè)值 K,則在 (p,q)位置著色為 1,否則當(dāng) nN 時(shí) ,已有 nz ? K,則在 (p,q)位置描色為n。從上述的復(fù)反饋過程得到如下迭代公式 ?pqnn zz ??? 21 () 式中 z0=(0,0)， cpq為計(jì)算機(jī)熒屏位于 (p,q)位置的像素。 h=plot(x(1:10000),y(1:10000),’ .’ ) set(h,’markersize’,4)