【正文】 為初始解，再依次投影到 ()式中表示的各個超平面上，獲得 MX2 ，如此重復(fù)。Tanabe ]15[ 證明，若方程 ()有唯一解 ?X ，則有 ??? ? XX kMklim （ ） 當(dāng)式 ()描繪的 M 個超平面彼此正交，且原方程有唯一解，經(jīng)一次迭代 循環(huán)便能收斂。若 M 個超平面彼此成很小的夾角，則解的收斂速度較慢。很明顯，超平面間的夾角很大程度上影響了求解的收斂速度。由此可知，為了快速得到收第四章 迭代重建算法 25 斂解，有兩種途徑可以解決：⑴采用 GramSchmidt 過程超將平面正交化，如Ramakrishnan 等 ]11[ 提出了一種兩兩正交的方案；⑵仔細(xì)選擇投影超平面的順序，以增大兩次投影超平面間的夾角 ]12[ ]13[ 。 當(dāng) MN，式 ()則 不會收斂到唯一解，而在超平面交點(diǎn)附近產(chǎn)生振蕩效應(yīng)；當(dāng) MN，式 ()式無唯一解，可能會有無限多個解。 在 ()式基礎(chǔ)上發(fā)展了一系列其他的迭代重建法，很多都是其的近似表達(dá)。為了在后面部分更好的說明，不妨將式 ()重新整理， ikNk ikiiijij aazyxx ??? ???1 21 （ ） 式中 ?? ?? ?? Nk ikikiii xaXAz 1 11 （ ） 式 ()說明將第 1?i 次迭代解投影到第 i 個超平上時，第 j 個像素的灰度值（其當(dāng)前值為 1?ijx ）可以通過差值 ?ijx 得到， ?ijxikNk ikiiijij aazyxx ????????121 （ ） 代數(shù)重建法 ART 上一節(jié)介紹了迭代算法的基本原理，我們知道迭代法的要旨是：從一個假設(shè)的初始圖像出發(fā)，采用迭代的方法，將根據(jù)人為設(shè) 定并經(jīng)理論計算得到的投影值同實(shí)驗測得的投影值比較，不斷進(jìn)行逼近，按照某種最優(yōu)化準(zhǔn)則尋找最優(yōu)解。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是更容易把與空間幾何相關(guān)的、與測量值條件相關(guān)的各種校正因子包括進(jìn)去。例如容易進(jìn)行 空間分辯的不均勻性校正； 散射衰減的校正； 物體幾何形狀約束和平滑性約束等操作。 現(xiàn)在講述有上述原理提出的迭代算法。首先介紹 ART方法。本文用三種算法實(shí)現(xiàn)了 ART迭代重建。 第四章 迭代重建算法 26 Kaczmarz 方法 Kaczmarz 算法是 ART 類算法中最經(jīng)典的一種算法 ]16[ 。這種 方法是一種所謂的行的操作方法，因為每次迭代都要“掃過”矩陣 A 中所有的行。這種方法引入的松弛參數(shù) k? 。 它的實(shí)現(xiàn)公式為：., . . . ,2,1,|||| ,1221,1,0,mkkiiikiikixikkkxxmiaa xabxxxx??????????? ? （ ） 其中 為迭代次數(shù)k ，松弛參數(shù) k? =1， i 為射線總條數(shù)。 其基本步驟為： ⑴設(shè)定任一初始圖像向量 NRX ?0 ，一般情況下取 TX )0,...,0,0(0 ? ； ⑵迭代步驟：式 ()，射線號循環(huán)選擇 1)mod( ?? Mii 。 Tanabe[Tanabe1971]證明了，若測量方程 ()是相合的，上述迭代算法收斂到 bAX? 的一個解。否則， Eggermont ]17[ 及 Censor ]18[ 引進(jìn)了松弛系列 k? ，目的是有效的減小噪聲。松弛系數(shù)通常是一個關(guān)于迭代次數(shù) i 的一個函數(shù)，隨著 i 的增大而減小，且滿足 1?i? 。由此引出了下面兩種 ART 方法 —— Randomized Kaczmarz 方法（隨機(jī) Kaczmarz 方法）和 symmetric Kaczmarz 方法（對稱 Kaczmarz方法）。通過改變從此系數(shù)和迭代次數(shù)來改善重建圖像的質(zhì)量。跟 Kaczmarz 相比，不 同之處在于 symmetric Kaczmarz 方法的 .2,3, . . . ,1,1, . . . ,2,1 ??? mmmi 而Kaczmarz 方法的 i 只取 .,...,2,1 mi? 而 Randomized Kaczmarz 方法（隨機(jī) Kaczmarz方法 ）隨機(jī)選擇 i ，但選中的概率正比于 2||||ia 。 聯(lián)立迭代重建法 SIRT 對于 ()式方程組，還可以采用數(shù) 值計算中的 Jacobi 迭代 ]19[ 法來求解，與ART 迭代法不同， Jacobi 迭代法采用的是并行迭代，即僅當(dāng)所有投影數(shù)據(jù)都計算完以后，才對圖像值進(jìn)行更新。具體來說，采用 ()式計算 ?ijx ，但 jx 的值并不立即改變，在經(jīng)歷完所有的等式計算后，才修正 jx 的值，由此可以看出這種修正是每個像素對應(yīng)于所有迭代變化的平均值。這種迭代重 建算法被稱為同步迭代重建法 SIRT。具體步驟： ⑴設(shè)定任一初始圖像向量 NRX ?0 ，一般情況下取 TX )0,...,0,0(0 ? ； ⑵迭代步驟： 第四章 迭代重建算法 27 iMi iiiiiii AAA XAyXX ???????? 111 () 此算法以減慢收斂速度換取比 ART 較好的圖像質(zhì)量。 本論題模擬圖像重建時應(yīng)用的類似的方法有聯(lián)合代數(shù)重建法 SART（ Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique） ]20[ ]23][22][21[ 、平均分量法（ Component Averaging method） ]25[ 、 Cimmino 投影法（ Cimmino’s Projection method） ]26[ 、對角松弛征正交投影法（ Diagonally Relaxed Orthogonal Projections）]24[ 和經(jīng)典 Landweber 法（ The Classical Landweber method） ]29][28][27[ ?？梢詤⒖枷嚓P(guān)文獻(xiàn)，在此不一一贅述。 全差分迭代算法（ TV） 在上面 ART的算法基礎(chǔ)上，再加一些約束條件形成的另一種算法 — TV（ total variation)算法。待重建的圖像表示為一個含有 imageN 維的向量 f 它的運(yùn)算公式如下： ? ? ??? ?????? ts ts tststststsTVts ffffff , , 21,2,1, )()(|||||| （ ） 其中 。,...,2,1。,...,2,1 WtHs ?? WH和 表示二維圖像寬和高； imageN W? H 。 迭代重建算法的實(shí)現(xiàn)和對比分析 針對 ，本文進(jìn)行了計算機(jī)模擬重建，采用的是自定義的 Sheep Logan 頭模型，大小為 128 128，如圖 。 圖 Sheep—Logan 頭模型 第四章 迭代重建算法 28 利用旋轉(zhuǎn)角度為 0： 5： 180，平行射線束為 75 的平行掃描投影數(shù)據(jù)，進(jìn)行Kaczmarz 算法、 Symmetric Kaczmarz 算法、 Randomized Kaczmarz 算法的重建圖像如下。 圖 ART三種算法分別迭代 10次的重建效果 對于迭代法，迭代次數(shù)，掃描的角度和每個角度下射線的條數(shù)都會影響圖像重建的效果。下面將從重建圖像的視覺效果上用控制變量法分析比較迭代次數(shù)，掃描的角度以及每個角度下射線的條數(shù)對重建圖像的具體影響。圖 是其他條件一樣但每個角度的射線條數(shù) 不同的情況下采用 ART 迭代算法重建的圖像。圖 和圖 是比較掃描的角度對迭代重建圖像的影響。圖 和圖。 第四章 迭代重建算法 29 圖 lena 圖像 ART 迭代重建圖像 圖 cortex 圖像 ART 迭代重建圖像 第四章 迭代重建算法 30 圖 centaur2圖像 ART迭代重建圖像 圖 mri 圖像 ART 迭代重建圖像 第四章 迭代重建算法 31 利用旋轉(zhuǎn)角度為 0： 5： 180，平行射線束為 75 的平行掃描投影數(shù)據(jù)，進(jìn)行SIRT 中的聯(lián)合代數(shù)重建法 SART （ Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique） ]20[ ]23][22][21[ 、平均分量法（ Component Averaging Method） ]25[ 、 Cimmino投影法（ Cimmino’s Projection Method） ]26[ 、對角松弛征正交投影法（ Diagonally Relaxed Orthogonal Projections） ]24[ 和經(jīng)典 Landweber 法（ The Classical Landweber Method） ]29][28][27[ 的重建圖像如圖 。 圖 SIRT 各種算法的圖像對比 第四章 迭代重建算法 32 圖 barb 圖像 SIRT 迭代重建 圖 mri 圖像 SIRT 迭代重建 圖 cameraman 圖像 SIRT 迭代重建 圖 cortex 圖像 SIRT 迭代重建 第四章 迭代重建算法 33 如圖 、圖 、圖 、圖 所示。它們重建的條件如表 所示。 表 各圖像進(jìn)行 SIRT 迭代重建的條件 圖片名稱 圖片大小 迭代次數(shù) 旋轉(zhuǎn)角度 射線條數(shù) barb 128 20 1:2:180 175 mri 128 20 1:2:180 250 cameraman 128 20 1:1:180 250 cortex 128 50 1:1:180 250 通過上述重建的圖像效果和表 各圖像重建的條件一一對比分析發(fā)現(xiàn)：其他條 件相同時，旋轉(zhuǎn)的角度越多重建的圖像效果越好；同理射線條數(shù)越多，重建的圖像效果也越好。 對像素個數(shù)為 128,掃描角度為 0:2:178,每個方向掃描的平行射線束為 75的Sheep Logan 頭模型進(jìn)行上述所有重建算法的計算機(jī)模擬實(shí)現(xiàn)的圖像如圖 。 圖 FBP、 ART、 SIRT 以及 TV 算法重建圖像的比較 第四章 迭代重建算法 34 圖 圖像 peppersbw各種算法重建 圖像對比 圖 圖像 mri 各種算法重建圖像對比 圖 圖像 barb 各種算法重建圖像對比 圖 圖像 mri 各種算法重建圖像對比 圖 圖像 lena 各種算法重建圖像對比 如圖 、圖 、圖 、圖 、圖 所示，它們重建的條件如表 所第四章 迭代重建算法 35 示。 表 各圖像進(jìn)行 ARTTV 算法迭代重建的條件 圖片名稱 圖片大小 迭代次數(shù) 旋轉(zhuǎn)角度 射線條數(shù) peppersbw 128 10 1： 2： 180 175 mri 128 10 1： 2： 180 250 barb 128 10 1： 2： 180 250 mri 128 10 1： 1： 180 250 lena 128 50 1： 1： 180 250 通過上述重建的圖像效果和表 各圖像重建的條件一一對比分析發(fā)現(xiàn)：其他條件相同時，旋轉(zhuǎn)的角度越多重建的圖像效果越好；同理射線條數(shù)越多，重建的圖像效果也越好；通過圖 和圖 的對比可以發(fā)現(xiàn)圖像的重建效果不一定與迭代次數(shù)成正比，而通過圖 和圖 的對比可以發(fā)現(xiàn) TV 算法可以通過改變參數(shù)改變圖像的噪聲水平，減少偽跡。 表 給出了以上各種重建的迭代次數(shù)、時間以及和自定義 Sheep— Logan頭模型之間的三個誤差測度 , fde 它們作為重建質(zhì)量好壞的三種評判標(biāo)準(zhǔn)，定義如下： ?? ???jjjjjXXXe 22)()( （ ） ???????jjjjjjXXXXd22)()( （ ） 22|||| bAXf ?? （ ） 其中 jX 表示標(biāo)準(zhǔn)原圖， jX? 表示重建圖像， ?X 表示標(biāo)準(zhǔn)原圖的均值 。 此外還求出了圖像視覺相似度的評估值 SSIM ]8[ 。 第四章 迭代重建算法 36 表 各種算法重建誤差、相似度及時間比較 重建算法 迭代 次數(shù) 誤差 相似度 迭代時間（秒） e d f SSIM ART 算法 kaczmarz 10 symkaczmarz 10 randkaczmarz 10 kaczmarz 20 symkaczmarz 20 randkaczmara 20 SIRT 算法 Landweber 50 Cimmino 50 CAV 50 DROP 50 SART 50 各種算法比較 FBP —— —— ART 10 SIRT 10 TV 10 通過上述表格中各項數(shù)據(jù)的對比