層次分析法和軟件應(yīng)用的介紹(編輯修改稿)
2025-09-11 22:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 矩陣 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 26 判斷矩陣標(biāo)度及其含義 當(dāng)比較兩個(gè)具有不同性質(zhì)的因素 Ai和 Aj對(duì)于上一層因素 Ck的影響時(shí)，采用什么樣的相對(duì)尺度較好呢？ Saaty提出用數(shù)字 1～ 9及其倒數(shù)作為標(biāo)度，理由如下： ?在估計(jì)事物的區(qū)別性時(shí)，人們常用五種判斷來表示：即相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng)，當(dāng)需要更高精度時(shí)，還可在相鄰判斷之間作出比較。這樣總共有個(gè)數(shù)據(jù)，既保持了連貫性，又便于在實(shí)踐中應(yīng)用； 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 27 判斷矩陣標(biāo)度及其含義 層次分析法的模型和步驟 標(biāo)度 aij 含義 1 表示兩個(gè)元素相比，具有同樣的重要性 3 表示兩個(gè)元素相比，一個(gè)元素比另一個(gè)元素 稍微重要 5 表示兩個(gè)元素相比，一個(gè)元素比另一個(gè)元素 明顯重要 7 表示兩個(gè)元素相比，一個(gè)元素比另一個(gè)元素 強(qiáng)烈重要 9 表示兩個(gè)元素相比，一個(gè)元素比另一個(gè)元素 極端重要 2,4,6,8 2， 4， 6， 8為上述相鄰判斷的中值 倒數(shù) 表示相應(yīng)兩因素交換次序比較的重要性 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 28 判斷矩陣示例 a12＝ 1/2 —— 表示景色 A1與費(fèi)用 A2對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo) C的重要性之比為 1:2。 a13＝ 4 —— 表示景色 A1與居住條件 A3之比為 4:1。 a23＝ 7 —— 表示費(fèi)用 A2與居住條件 A3之比為 7:1。 ?????????????????1135131112513131211714155712334211A 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 29 計(jì)算權(quán)重向量并做一致性檢驗(yàn) 這一步是要解決在準(zhǔn)則 Ck 下， n 個(gè)元素A1, …, An 排序權(quán)重的計(jì)算問題。 對(duì)于 n 個(gè)元素 A1, …, An，通過兩兩比較得到判斷矩陣 A，解特征根問題 Aw = ?maxw 所得到的 w 經(jīng)歸一化 后作為元素 A1, …, An在準(zhǔn)則 Ck 下的排序權(quán)重，這種方法稱為計(jì)算排序向量的特征根法。 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 30 計(jì)算權(quán)重向量 設(shè)想把一塊單位重量的大石頭 C砸成 n塊小石頭 C1, C2, … , C n，各小塊石頭的重量為 wi(i=1,2, … , n)， 則 C1, C2, … , Cn在 C中占的比重可用其重量排序， w ? ( w1 , w2 , … , wn ) n 且 ?wi ? 1 i ? 1 Ci與 Cj的相對(duì)重量為 aij= wi / wj ， 得到判斷矩陣： ????????????????????????????????????????nnnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwA1112121212221212111?????????滿足一 致條件 的正互 反矩陣 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 31 簡(jiǎn)化的計(jì)算方法 理論上講，層次單排序計(jì)算問題可歸結(jié)為計(jì)算判斷矩陣的最大特征根及其特征向量（特征根法）的問題。但一般來說，計(jì)算判斷矩陣的最大特征根及其對(duì)應(yīng)的特征向量，并不需要追求較高的精確度。這是因?yàn)榕袛嗑仃嚤旧碛邢喈?dāng)?shù)恼`差范圍。而且，應(yīng)用層次分析法給出的層次中各種因素優(yōu)先排序權(quán)值從本質(zhì)上來說是表達(dá)某種定性的概念。因此，一般用迭代法在計(jì)算機(jī)上求得近似的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。我們這里給出一種簡(jiǎn)單的計(jì)算矩陣最大特征根及其對(duì)應(yīng)特征向量的方根法的計(jì)算步驟。 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 32 方根法 (1)計(jì)算判斷矩陣每一行元素的乘積 Mi (2)計(jì)算 Mi的 n次方根： (3)對(duì)向量 正規(guī)化 (歸一化處理 ) 則 即為所求的特征向量 。 (4)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根（其中 (AW)i表示向量 AW的第 i個(gè)元素） ??? njiji aM1n ii MW ?39。? ?TnWWWW ?21???? njjiiWWW139。39。??? ni iinWAW1m a x)(?? ?TnWWWW 39。39。239。139。 ?? 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 33 和積法 (1)計(jì)算判斷矩陣每一行元素的和 Mi (2)計(jì)算 Mi的 n次方根： (3)對(duì)向量 正規(guī)化 (歸一化處理 ) 則 即為所求的特征向量 。 (4)計(jì)算判斷矩陣的最大特征根（其中 (AW)i表示向量 AW的第 i個(gè)元素） ??? njiji aM1nMW ii ?39。? ?TnWWWW ?21???? njjiiWWW139。39。??? ni iinWAW1m a x)(?? ?TnWWWW 39。39。239。139。 ?? 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 34 一致性檢驗(yàn) 在特殊情況下，判斷矩陣 A 的元素具有傳遞性，即滿足等式 aij ? ajk = aik 例如當(dāng) Ai 和 Aj 相比的重要性比例標(biāo)度為 3，而 Aj 和 Ak 相比的重要性比例標(biāo)度為 2，一個(gè)傳遞性的判斷應(yīng)有 Ai 和 Ak 相比的重要性比例標(biāo)度為 6。當(dāng)上式對(duì)矩陣 A 的所有元素均成立時(shí)，判斷矩陣 A 稱為 一致性矩陣 。 層次分析法的模型和步驟 Copyright 169。 2022 All Rights Reserved，管理科學(xué)與工程學(xué)院 35 一致性檢驗(yàn) 一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識(shí)的多樣性所決定的。 但在構(gòu)造兩兩判斷矩陣時(shí)，要求 判斷大體上的一致是應(yīng)該 的。出現(xiàn)甲比乙極端重要，
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