彈性力學(xué)-用差分法和變分法解平面問(wèn)題(編輯修改稿)
2024-09-11 21:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 能： (a) 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 20 ? 代入，得 顯然，方括號(hào)內(nèi) 將式 (a)中的 ， 都作為式 (b)的變換，整理后得平面應(yīng)變情況下的形變勢(shì)能公式， ? ?? ?? ?2222 2 2211( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ,1 1 1 1 21E E E??? ? ? ????? ?? ? ? ???推出? ? .1]211[ 2 ???μμ? ? ??????? A yxEU )(21 )1([1 2222 ?????.]21)21 1(2 2 d x d yxyyx ??????? ????E ?(c) 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 二 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 21 ? 從式 (c)可見(jiàn)，在平面應(yīng)變情況下，形變勢(shì)能 中的第 1， 2， 3項(xiàng)均大于平面應(yīng)力情況下的值，而第 4項(xiàng) 不變。因此，平面應(yīng)變的形變勢(shì)能 大于平面應(yīng)力的形變勢(shì)能 U 。 2xyγ2μ1?U?U?彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 二 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 22 lC D E F A B 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 二 例題 2 圖示一板塊，在鉛直方向均布拉力作用下發(fā)生拉伸變形，并使之兩端固定下來(lái)，若在其中切開(kāi)一小口 AB時(shí)，試說(shuō)明板的形變勢(shì)能將發(fā)生什么變化？ 解： ⑴當(dāng) AB線切開(kāi)時(shí)， AB線上的應(yīng)力趨于 0，而形變勢(shì)能是正定， ，當(dāng)應(yīng)力 時(shí)，相應(yīng)的形變勢(shì)能也失去。因此，板的總的形變勢(shì)能減少。 0?U0? 趨近于彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 23 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 二 ⑵ 當(dāng) AB線切開(kāi)后，邊界 CD和 EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態(tài)： ? AB切開(kāi)后， AB線 仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生張開(kāi)，這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。 ? AB線張開(kāi)，出現(xiàn)裂紋，這是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。由于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)與鄰近的狀態(tài)相比，總勢(shì)能處于極小值，而 (a)， (b)兩種狀態(tài)的外力勢(shì)能不變，因此， (b)的形變勢(shì)能小于 (a)，即形變勢(shì)能將減少。 一、差分公式的推導(dǎo) 二、彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能 三、位移變分方程 四、位移變分法 五、位移變分法例題 第五章 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 內(nèi)容提要 彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程 (第三版 ) 徐芝綸院士 (19111999) 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 25 ， ，必須滿足 ⑴ 用位移表示的平衡微分方程（在 A中） 。 ⑵ 用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在 上 )。 ⑶ 位移邊界條件（在 上）。 usζsu v(a) 其中⑴，⑵屬于 靜力平衡條件 ，⑶屬于 約束條件 。 對(duì)于實(shí)際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴，⑵是充分條件。 位移變分方程 三 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 26 （在 上）。 ? ⑴ 虛位移（數(shù)學(xué)上稱為位移變分） ， 表示在約束條件允許下，平衡狀態(tài)附近的微小位移增量，虛位移應(yīng)滿足 上的約束邊界條件，即 ,v?,0?? vu ??(b) ususu?位移變分方程 三 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 27 ? 虛位移不是實(shí)際外力作用下發(fā)生的，而是假想由其他干擾產(chǎn)生的。因此，虛位移狀態(tài) 就構(gòu)成實(shí)際平衡狀態(tài)附近的一種鄰近狀態(tài)。 ,** vvvuuu ?? ????(c) 位移變分方程 三 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 28 .ddd yyuxxuu?????? (d) ⑵ 變分與微分的比較 位移變分方程 三 微分 －－是在同一狀態(tài)下，研究由于位置 (坐標(biāo) )改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量 x,y，而因變量為函數(shù)，如位移，有 變分 －－是在同一點(diǎn)位置上， 由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。 其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如 ， ， ，有 U V pE.vvUuuUU ??? ??????(e) 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 29 由于微分和變分都是微量，所以 運(yùn)算方式相同 ， 如 式 (d)， (e)； ，如 ).()( uxxu ?? ?????( f ) 位移變分方程 三 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 30 當(dāng)發(fā)生 虛位移 （位移變分） 時(shí)， ( ) d d ( ) d . ( g )yxy xAsW f u f v x y f u f v s?? ? ? ? ?? ? ? ??? ?. ( h )VW?? ??, , . ( i )x y x yu v v ux y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?vu ?? , 由于虛位移引起 虛應(yīng)變 ， 外力勢(shì)能的變分 ： 外力的虛功 （外力功的變分）： 位移變分方程 三 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問(wèn)題 31 ? 形變勢(shì)能的變分 ，即
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