彈性力學-用差分法和變分法解平面問題-文庫吧
2025-07-31 21:42 本頁面
【正文】 變勢能、外力勢能），又稱為 能量法 。 泛函 －－是以函數為自變量的一類函數。 變分法， 是研究泛函及其極值的求解方法。 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性力學變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法，分為： ?位移變分法： 取位移函數為自變量，并以勢能極小值條件導出變分方程。 ?應力變分法： 取應力函數為自變量，并以余能極小值條件導出變分方程。 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 11 （ 2）因應力和應變均從 0增長到 ，故 單位體積上，應力所做的功是 非線性 關系－－ 線 性 關系－－ ,ζ??~ζ?~ζ,d01 ?? ? ?ζU.211 ?ζU ?（ 1）作用于微小單元上的應力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。 １、應力的功和形變勢能（內力勢能） 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 12 ??????εζ ??εζ線性的應力與應變關系 非線性的應力與應變關系 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 １、應力的功和形變勢能（內力勢能） 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 13 （ 3）對于 平面應力問題 或 平面應變問題 單位體積上應力所做的功 都是 )0( ??? zyzxz ηηζ),0( ??? zyzxz γγε(c) 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 １、應力的功和形變勢能（內力勢能） ? ?zxzxyzyzxyxyzzyyxxU ???????????? ?????? 211? ?xyxyyyxxU ?????? ??? 211彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 14 1U彈性體的形變勢能和外力勢能 二 １、應力的功和形變勢能（內力勢能） （ 4）假設沒有轉化為非機械能和動能，則應力所做的功全部轉化為彈性體的 內力勢能 ，又稱為 形變勢能 ，或 應變能 ， 存貯于物體內部。 單位體積的形變勢能（ 形變勢能密度 ）。 （ 5）整個彈性體的形變勢能 .dd)(21dd1 ???? ???? A xyxyyyxxA yxγηεζεζyxUU(d) 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 15 （ 6）將物理方程代入， 平面應力問題的形變勢能密度 ，可用 形變 表示為 對于平面應變問題， 將 2 2 21 21( 2 ) . (e)2 ( 1 ) 2x y x y x yEU ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??21EE??變?yōu)?， .1????變?yōu)?U1U? ?221 21( ) ( ) 2 ( ) . ( f )221E u v u v μ v uU μx y x y x yμ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ??再將幾何方程代入， 可用 位移 表示為 1U U d x d y? ??整個彈性體的形變勢能為 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 １、應力的功和形變勢能（內力勢能） (516) 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 16 （ 1） U 是應變或位移的二次泛函， 故不能應用疊加原理。 （ 2）應變或位移發(fā)生時， U 總是正的，即 （ 3） U 的大小與受力次序無關。 （ 4） 對應變的導數，等于對應的應力： .0?U. , , 111 xyxyyyxxUζUζU ?????????????1U(515) 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 形變勢能 Ｕ 的性質 彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率，等于相應的應力分量。 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 17 外力勢能 ─外力做了功，必然消耗了相同 值的勢能。當取 時的外力功和能為零，則： ( ) d d ( ) d . (a )ζxy xyAsW f u f v x y f u f v s? ? ? ??? ?0?? vuWV ??.d)(dd)( ??? ?????ζs yxA yx svfufyxvfuf(b) 外力功： 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性體上的外力功和外力勢能 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 18 ? 彈性體的總勢能 ， 是外力勢能和內力（形變）勢能之和， .p VUE ??(h) 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性體的總勢能 彈性力學 用差分法和變分法解平面問題 19 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 例題 1 試證明，在同樣的應變分量 下，平面應變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應力情況下的形變勢能。 xyyx ??? ,對于平面應變情況，只需將上式中 ， 變換為 ? ?2 2 221( 3 ) .221 x y x y x yAEU d x d y?? ? ? ? ? ???? ? ? ????2 , . ( b )1E μE μμ 1 μ????E ?解： 平面應力情況下，單位厚度的形變勢
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