彈性力學(xué)-用差分法和變分法解平面問題-文庫吧
2025-07-31 21:42 本頁面
【正文】 變勢能、外力勢能），又稱為 能量法 。 泛函 －－是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。 變分法， 是研究泛函及其極值的求解方法。 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法，分為： ?位移變分法： 取位移函數(shù)為自變量，并以勢能極小值條件導(dǎo)出變分方程。 ?應(yīng)力變分法： 取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 11 （ 2）因應(yīng)力和應(yīng)變均從 0增長到 ，故 單位體積上，應(yīng)力所做的功是 非線性 關(guān)系－－ 線 性 關(guān)系－－ ,ζ??~ζ?~ζ,d01 ?? ? ?ζU.211 ?ζU ?（ 1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。 １、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 12 ??????εζ ??εζ線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系 非線性的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 １、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 13 （ 3）對于 平面應(yīng)力問題 或 平面應(yīng)變問題 單位體積上應(yīng)力所做的功 都是 )0( ??? zyzxz ηηζ),0( ??? zyzxz γγε(c) 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 １、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） ? ?zxzxyzyzxyxyzzyyxxU ???????????? ?????? 211? ?xyxyyyxxU ?????? ??? 211彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 14 1U彈性體的形變勢能和外力勢能 二 １、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） （ 4）假設(shè)沒有轉(zhuǎn)化為非機械能和動能，則應(yīng)力所做的功全部轉(zhuǎn)化為彈性體的 內(nèi)力勢能 ，又稱為 形變勢能 ，或 應(yīng)變能 ， 存貯于物體內(nèi)部。 單位體積的形變勢能（ 形變勢能密度 ）。 （ 5）整個彈性體的形變勢能 .dd)(21dd1 ???? ???? A xyxyyyxxA yxγηεζεζyxUU(d) 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 15 （ 6）將物理方程代入， 平面應(yīng)力問題的形變勢能密度 ，可用 形變 表示為 對于平面應(yīng)變問題， 將 2 2 21 21( 2 ) . (e)2 ( 1 ) 2x y x y x yEU ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??21EE??變?yōu)?， .1????變?yōu)?U1U? ?221 21( ) ( ) 2 ( ) . ( f )221E u v u v μ v uU μx y x y x yμ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ??再將幾何方程代入， 可用 位移 表示為 1U U d x d y? ??整個彈性體的形變勢能為 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 １、應(yīng)力的功和形變勢能（內(nèi)力勢能） (516) 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 16 （ 1） U 是應(yīng)變或位移的二次泛函， 故不能應(yīng)用疊加原理。 （ 2）應(yīng)變或位移發(fā)生時， U 總是正的，即 （ 3） U 的大小與受力次序無關(guān)。 （ 4） 對應(yīng)變的導(dǎo)數(shù)，等于對應(yīng)的應(yīng)力： .0?U. , , 111 xyxyyyxxUζUζU ?????????????1U(515) 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 形變勢能 Ｕ 的性質(zhì) 彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率，等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 17 外力勢能 ─外力做了功，必然消耗了相同 值的勢能。當取 時的外力功和能為零，則： ( ) d d ( ) d . (a )ζxy xyAsW f u f v x y f u f v s? ? ? ??? ?0?? vuWV ??.d)(dd)( ??? ?????ζs yxA yx svfufyxvfuf(b) 外力功： 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性體上的外力功和外力勢能 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 18 ? 彈性體的總勢能 ， 是外力勢能和內(nèi)力（形變）勢能之和， .p VUE ??(h) 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 彈性體的總勢能 彈性力學(xué) 用差分法和變分法解平面問題 19 彈性體的形變勢能和外力勢能 二 例題 1 試證明，在同樣的應(yīng)變分量 下，平面應(yīng)變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應(yīng)力情況下的形變勢能。 xyyx ??? ,對于平面應(yīng)變情況，只需將上式中 ， 變換為 ? ?2 2 221( 3 ) .221 x y x y x yAEU d x d y?? ? ? ? ? ???? ? ? ????2 , . ( b )1E μE μμ 1 μ????E ?解： 平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變勢
規(guī)章制度相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1