【正文】 于是有 等式右邊第一項和前面推導歐拉方程的形式很像。但是，在推導歐拉方程時利用分部積分的時候第一項為零是因為p(0)=p(T)=0，這里p(T)=0不成立，所以消掉的那一項必須加上。于是，右邊第一項為 同時，右邊第二項 于是有=0 因為p(t)和ΔT是任意的，要保證等式成立，只能是三項分別為零。第一項為零，就是歐拉方程。后兩項就是我們要推導的橫截條件，我們要用終結(jié)水平和終結(jié)時間來表示p(T)，因為橫截條件只跟終結(jié)時間和終結(jié)狀態(tài)相關(guān)。 由圖可見。 從而，我們將代入前面一階條件等式中，后兩項可整理為一般性橫截條件。（2）垂直終結(jié)線問題 因為，所以橫截條件為=0（3）水平終結(jié)線問題 因為，所以橫截條件為=0（4）終結(jié)曲線問題，即因為，于是代入一般性橫截條件得橫截條件（5）截斷的垂直終結(jié)線問題在一個垂直終結(jié)線問題（終結(jié)時間固定）中，如果最終狀態(tài)受限。那么，當時，該問題跟沒有終結(jié)狀態(tài)約束時是一樣的。但是，當沒有約束時的最優(yōu)終結(jié)狀態(tài)時，因為約束，只能取。在這種情況下，對終結(jié)狀態(tài)的擾動不是任意的，只能大于零。給定p(t)大于零，這意味著ε≥0。于是，原有的以V(ε)為目標函數(shù)的無約束極值問題就加上了非負約束。于是，對于由dV(ε)/dε=0導出的一階條件，要變成帶有互不松弛條件的庫恩塔克條件。對于最大化的問題，橫截條件變?yōu)椋?；? 對于最小化的問題，橫截條件變?yōu)?；；?）截斷的水平終結(jié)線問題 比如，增加限制后，對于最大化的問題，橫截條件變?yōu)椋?；? 對于最小化問題，橫截條件變?yōu)椋?；；?）多變量和高階導數(shù)情形 如果有n個變量，比如F(t, y1, y2,…,yn, y’1, y’2,…, y’n)，則一般性橫截條件變?yōu)椋? 高階導數(shù)的情況相對復雜，我們只給出F(t, y, y’, y’’)的一般性橫截條件：（四）二階條件（充分條件）（1）固定端點問題的二階條件及其二次型檢驗 由，得 被積部分是一個二次型，那么只在在0到T的每一個時刻，二次型都是負定的，則d2V/dε20，極值曲線使得目標泛函取最大值；如果都是正定，則d2V/dε20，極值曲線使得目標泛函取最小值。（2）凹凸性充分條件 定理：對于固定端點問題，如果被積函數(shù)F(t, y, y’)關(guān)于(y, y’)是聯(lián)合凹（凸）的，則歐拉方程對于識別V[y]的最大（?。┲凳浅浞值?。 證明（僅證明最大值的情形）： 由連續(xù)可微凹函數(shù)的性質(zhì)，有 不等式兩邊關(guān)于t積分，得 上述等式的推導類似于歐拉方程推導過程中的分部積分，先將不等式右邊寫成積分的和，然后將后一部分分部積分，因為p(0)=p(T)=0，所以有一項消掉，再將剩余的一項寫進積分中?？梢姡琕[y]≤V[y*]，得證。 易見，如果是嚴格凹（凸）的，那么求出來的最大（?。┲凳俏ㄒ坏?。垂直終結(jié)線問題的推導中，和固定端點問題不同在于p(T)可以不為零，因此分部積分中有一部分消不掉。因為。于是，將其帶入不等式中，得，其中是沿最優(yōu)路徑取值?？梢?，之前的充分條件中必須加上非正進行補充。但是，在垂直終結(jié)線問題中，橫截條件=0保證了該條件必定滿足。而截斷的垂直終結(jié)線問題中，如果約束條件是松的，則本質(zhì)上是一個垂直終結(jié)線問題；而如果約束條件是緊的，則本質(zhì)上是一個固定終結(jié)點問題。而水平終結(jié)線問題，則必須要求該補充條件滿足，才能保證最大值。（3）變分 由前面的內(nèi)容可以看出，變分法涉及到的是路徑（函數(shù)）所發(fā)生的偏離。比如，y對y*的偏離所導致的偏差是 我們將等式右邊第一項被積部分在（t, y*, y*’）處泰勒展開如下： 其中(tt)項為零，我們再代入yy*=εp(t)，y’y*’=εp’(t)，得 將展式代入積分，然后合并積分，可消掉第一項，忽略高階項，得 上式的第一項積分為一階變分： 第二項積分為二階變分： 在求最大值的問題中，需要，則必然需要，因為ε可以任意取正負值。這等價于dV/dε=0，也就推導出歐拉方程。在滿足歐拉方程之后，我們要求，因為ε2/2始終大于零，這等價于，也就是二階條件。 （想想我們在靜態(tài)優(yōu)化中介紹的分析學的一般思路，如果要嚴謹推導，那么在泛函分析中，如何定義距離或者測度？如何定義收斂？然后如何得到上面的變分？）（五）無限期界問題 對于無限期界問題（終結(jié)時間為無窮大），我們主要考慮兩點：一是目標泛函是否收斂，二是橫截條件應如何變化。（1）收斂性定理1（充分條件）：給定廣義積分，如果被積函數(shù)F在整個積分區(qū)間上有限，且存在時刻t0，當t t0時，F(xiàn)=0，則積分收斂。 但是，“t→∞，F(xiàn)→0”是廣義積分收斂的既非充分又非必要的條件。非充分，比如發(fā)散。非必要，比如，但被積部分并不收斂到0。定理2（經(jīng)濟學的耍賴）：給定廣義積分，如果被積部分可以寫成G(t, y, y’)eρt，其中是ρ正的貼現(xiàn)率，而G是有界的，則積分收斂。這是收斂的充分條件，其實G不需要有界，只要增長的速度沒有貼現(xiàn)因子下降得快就行。經(jīng)濟學里G通常意味著效用函數(shù)或者生產(chǎn)函數(shù)等，一般是（擬）凹的，而貼現(xiàn)因子是指數(shù)下降，因此收斂性問題就回避了。但是，最開始運用動態(tài)優(yōu)化進行經(jīng)濟分析的拉姆齊并不認為這種做法是對的……（2）橫截條件 按照原有的推導過程，一般性橫截條件如下： 如果終結(jié)狀態(tài)是自由的，那么橫截條件必須要求兩部分的極限值都等于零。但是，有些問題隱含著“終結(jié)狀態(tài)”收斂于某值，類似于水平終結(jié)線問題，這意味著ΔyT→0，從而第二項極限部分不要求等于零。如果對終結(jié)狀態(tài)有要求，比如必須大于ymin，那么可以先按照沒有約束的方法求解，如果自然滿足就完成求解，如果約束是緊的，那么就按照固定終結(jié)點的方法求解。（3）充分條件 固定端點問題中，F(xiàn)(t, y, y’)關(guān)于(y, y’)是凹（凸）的，則歐拉方程對于最大（?。┲凳浅浞值摹Ｈ绻K結(jié)點不固定，則必須要補充條件，雖然該條件在垂直終結(jié)線和截斷的垂直終結(jié)線問題中自動滿足。 在無限期界問題中，按照同樣的推導過程，補充條件應該為：，其中在最優(yōu)路徑上取值。（六）帶約束的優(yōu)化問題（1）等式約束. … 相應的邊界條件 這里有m個獨立的等式約束，mn以防約束方程本身將n個y全部決定，就沒有優(yōu)化選擇的意義了。約束方程的獨立性意味著，存在一個非零的m階雅克比行列式： 構(gòu)造一個拉格朗日函數(shù)： 從而，新的目標泛函為，我們用無約束極值問題的方法求解。易見，當所有約束都滿足時，新目標泛函的值和原有目標泛函值是相等的。 對y的歐拉方程有n個： j=1,…,n 對拉格朗日乘子的歐拉方程有m個： i=1,…,m 因為，中沒有，所以該歐拉方程為，即約束方程本身。于是，n個歐拉方程加上m個約束方程一起，共同決定了y和λ的最優(yōu)路徑。當然，待定常數(shù)由邊界條件決定。 如果這m個等式中包含了y的導數(shù)，也就是說有m個微分方程約束。那么，仍然可以適用上述方法，但是要有適當?shù)倪吔鐥l件。（2）不等式約束. … 相應的邊界條件因為是不等式約束，所以不要求mn。（想想為什么？）參考靜態(tài)優(yōu)化中庫恩塔克條件，我們構(gòu)造輔助函數(shù)： 對于變量y，仍有n個歐拉方程： j=1,…,n 然而，對于乘子，要用到互補松弛條件：；； i=1,…,m（3）積分約束（等周問題）. … 相應的邊界條件 這里仍然不用要求mn。該類問題有一個重要的特點，就是乘子是常數(shù)。我們以一個n=m=1的例子來說明。令變量，于是有。這意味著積分約束變換成了一個（微分方程）等式約束。我們按之前的方法求解。 我們發(fā)現(xiàn)其中有兩個變量y和，其歐拉方程分別為：； 第二個歐拉方程實際上是，從而乘子是一個不隨時間變化常數(shù)。而第一個歐拉方程可寫成，于是我們可以將以上過程簡化為：（注意：是常數(shù)），然后按照之前的方法求解。該方法還可推廣到m個約束：三、最優(yōu)控制理論（一）最優(yōu)控制理論導論古典變分法一般只能處理內(nèi)點解，而更現(xiàn)代的基于龐特里亞金等人工作的最優(yōu)控制理論則能處理角點解（邊界解）、碰碰解等情況，而且控制論的視角也更容易和實際問題發(fā)生聯(lián)系。最優(yōu)控制理論通過控制變量u來影響狀態(tài)變量y的變動，從而來最大（?。┗繕朔汉?。而且控制路徑u(t)不要求連續(xù)，僅要求分段連續(xù)即可，比如下圖。 此外，利用最優(yōu)控制原理時，可以直接處理對控制變量的約束?？刂谱兞康目尚屑梢允且粋€閉凸集，于是可能出現(xiàn)角點解的情況，還有可能出現(xiàn)碰碰解（bangbang solution）這種有趣的情況，比如： 最后，從控制論的角度來看，最簡單問題就不再是變分法所處理的固定端點問題。因為，我們需要通過u來控制y，因此對于固定端點問題，y的終結(jié)時間和狀態(tài)固定，因此對u在終結(jié)時刻的運動提出了更高要求。從這個意義上講，終結(jié)狀態(tài)自由的垂直終結(jié)線問題才是最優(yōu)控制理論的最簡單情況。（二）最大值原理及其橫截條件（1）最簡單問題